112 學年度普通型高級中等學校
數理及資訊學科能力競賽
物理科學科決賽
中 華 民 國 112 年 12 月
主辦單位：教育部國民及學前教育署
協辦單位:國立高雄師範大學
承辦單位：國立高雄師範大學物理學系
目錄
1
壹、實施計畫
112 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
物理科決賽實施計畫
一、依據：教育部 112 年 4 月 12 日臺教國署高字第 1120039499 號函辦理。
二、宗旨：
加強輔導公私立普通型高級中等學校推動物理科教育，以提高學生對物理研究的興趣，激
發其思考與創造能力，藉以鼓勵學生與校際間相互觀摩學習，提昇科學教育品質。
三、參加對象及名額：
（一）參加對象：全國公私立高級中學各年級學生，經參加國教署、市教育局舉辦之複賽，
獲選為優勝者。
（二）決賽名額：台北區 11 人、新北區 7 人、中投區 7 人、高雄區 4 人、國教署負責區
22 人，共計 51 人。
四、主辦及承辦單位：
（一）主辦單位：教育部國民及學前教育署
（二）承辦單位：國立高雄師範大學物理學系
五、競賽日期及地點：
中華民國
112 年 12 月 13 日（週三）至 12 月 15 日（週五）於國立高雄師範大學物理學系
舉行（燕巢校區地址：
82444 高雄市燕巢區深中路 62 號 高斯大樓）
六、競賽方式及命題範圍：
（一）競賽命題範圍：以普通型高級中等學校課程教材範圍為原則，並包含部分相關基礎
科學理論題目，以評測參加者潛能。
（二）競賽方式：
1. 筆試：共二場，每場二小時。
2. 實驗設計與操作：共一場，每場三小時。
3. 口試：共一場，方式與時間由評審教授協調決定。
七、評審：
（一）評審委員：由承辦單位聘請物理學及相關領域專家學者組成命題及評審委員會。
（二）競賽評分方式：筆試每場一百五十分為滿分，二場共三百分；實驗設計一場一百五
2
十分為滿分；口試一百分為滿分。總計四場成績，滿分為五百五十分。競賽名次按
四場成績高低排序。
八、獎勵：
（一）凡參加者均由教育部國民及學前教育署發給參賽證明。
（二）優勝者由教育部國民及學前教育署發給獎狀及獎學金（獎勵標準如附表）。
附表：普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽物理科決賽績優學生獎學金給獎標準
獎別
人數 獎金數額（每人）
備註
第一等獎 3 人
新台幣 15,000 元 1. 本項獎學金以學生為發給對象。
2. 在不超過獎學金總金額前提下，得由
評審委員會視競賽成績酌予調整得
獎人數（或從缺）。
第二等獎 7 人
新台幣 10,000 元
第三等獎 10 人 新台幣
7,500 元
（三）未入選為優勝者，得增列「表現優良獎」若干名，核發國教署獎狀(不提供獎金)。
（四）獲得前三等獎學生之指導教師由教育部國民及學前教育署發給獎狀，並由主管教育
行政機關酌予敘獎。
（五）獲第一、二等獎由承辦單位推薦參加國際物理奧林匹亞研習營、亞洲物理奧林匹亞
研習營。
九、經費預算：
由承辦單位編列人事費、業務費、獎學金、行政管理費及雜支等各項目費用，業務費各項
目間得相互流用。
3
十、決賽程序表：
112 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽物理科決賽程序表
日期
時間
12 月 13 日
〈星期三〉
日期
時間
12 月 14 日
〈星期四〉
日期
時間
12 月 15 日
〈星期五〉
07:00-08:00
07:00-08:30
早餐
07:00-08:00
早餐
08:00-11:30
試題
審查
高斯 201
08:30-09:10
上遊覽車
(前往考場)
08:00-08:40
上遊覽車
(前往考場)
09:00-09:10
筆試一預備
08:30-08:50
口試前會議
09:10-11:10
筆試一
高斯 107
高斯 305
09:00-12:00
口試
紅組 高斯 204-1 高斯 201 高斯 201-1
藍組 高斯 204-2 高斯 205 高斯 202
綠組 高斯 103-1 高斯 102 高斯 107-1
橘組 高斯 108 高斯 109 高斯 110
11:30-14:20
報到
高斯大樓一樓玄關
12:0 0-13:30
評審
會議
高斯 201
11:10-12:00
實驗講解
12:00-13:30
午餐
高斯 101
12:00-14:00
午餐
高斯 101
14:20-14:50
開幕式
高斯 101
13:30-13:40
筆試二預備
14:00-15:30
閉幕式
頒獎
高斯 101
13:40-15:40
筆試二
高斯 107
高斯 305
14:50-15:00
器材檢視
15:00-18:00
實驗競試
高斯 107
高斯 305
15:30-18:30
參賽心得交流
高斯 101
賦歸
15:40-16:10
高斯 101
休息
18:00-18:40
搭車回飯店
16:10-18:30
筆試一、二
講解
高斯 101
18:40-21:00
晚餐(便當)
18:30-21:00
晚餐(便當)
21:00-
就寢
21:00-
就寢
十一、本計畫由教育部國民及學前教育署核定後實施。
4
貳、指導委員名單
指導委員會：4 人
姓 名
職 稱
彭 富 源
教育部國民及學前教育署署長
王 政 彥
國立高雄師範大學校長
李 昭 蓉
國立高雄師範大學副校長
唐 硯 漁
國立高雄師範大學副校長
洪 振 方
國立高雄師範大學理學院院長
5
參、評審委員名單
姓 名
職 稱
柯景元(召集人)
國立高雄師範大學物理學系副教授兼系主任
江府峻
國立臺灣師範大學物理學系教授
陳正中
國立清華大學物理學系教授
柯宜謀
國立彰化師範大學物理學系副教授兼系主任
周忠憲
國立成功大學物理學系副教授
林仕鑫
國立中山大學材料與光電科學學系副教授
許華書
國立屏東大學應用物理系教授
任中元
國立高雄師範大學物理學系教授
李孟恩
國立高雄師範大學物理學系教授
邱志偉
國立高雄師範大學物理學系教授
利見興
國立高雄師範大學物理學系副教授
趙松柏
國立高雄師範大學物理學系副教授
陳美瑜
國立高雄師範大學物理學系助理教授
6
肆、助理評審與輔導員名單
助理評審
姓 名
職 稱
蔡志宏
國立高雄師範大學物理學系助教
温政齊
國立高雄師範大學物理學系助教
蔡碧容
國立高雄師範大學物理學系助教書記
蕭國才
國立高雄師範大學物理學系技士
周欣儒
國立高雄師範大學物理學系碩士生
徐彩寧
國立高雄師範大學物理學系大四生
駱品晴
國立高雄師範大學物理學系大四生
楊祥義
國立高雄師範大學物理學系大四生
鄭安婷
國立高雄師範大學物理學系大四生
7
輔導員名單
姓 名
職 稱
邱樹泉
軍訓專員
黃意傑
國立高雄師範大學物理學系大四學生
吳哲宇
國立高雄師範大學物理學系大四學生
陳昭予
國立高雄師範大學物理學系大四學生
王同
國立高雄師範大學物理學系大四學生
黃郁惠
國立高雄師範大學物理學系大三學生
温倩芸
國立高雄師範大學物理學系大三學生
8
伍、競賽規則
一、
競賽場地除配戴識別証件的參賽學生、評審委員及工作人員外其他人士一律不准進入。
二、
參加競賽學生請著平常外出服裝，勿著學校制服及實驗衣，除配戴識別証外，應攜帶
就讀學校學生證或國民身份證，經查驗無誤，始准參加競賽。
三、
參賽學生除指定的實驗器材、文具、非可程式電子計算機外，不得攜帶其他物品進
場。行動電話與計時器等器材務必關機不得發出聲響，違者視其使用情節扣分或扣減
其該科全部成績。
四、
實驗題作答前應先對題目所列儀器、藥品及器材逐項清點，如有缺損應即舉手請評審人
員處理。
五、
參賽學生應按規定之考試開始前
10 分鐘進入所編定之試場或實驗室，按編號入座。
考試開始鈴（鐘）響之後始可進行實驗或作答；考試結束鈴（鐘）聲響畢，應立即停
止作答。違者視其情節予以扣分或扣減其該科全部成績。
六、
參賽學生考試開始
10 分鐘後不得入場；考試開始後 60 分鐘內不得離場，強行入場
或離場者，取消其競賽資格。
七、
考生不得擾亂試場秩序影響他人作答，違者初次予以勸告，不聽勸告者，即請其出場，
且該科成績不予計算。
八、
參賽學生如發現試題本（答案本）錯誤、缺漏、污損或印刷不清時，應即舉手請監試
人員處理，但不得要求解釋題意。
九、
參賽學生於考試開始後至繳卷前，未經許可不得藉故擅自離場，否則取消競賽資格。
如有突發事故（如因病等）
，必須暫時離開競賽試場者，須由工作人員陪同處理，但
不得請求延長時間或補考。
十、
參賽學生應於考試離場前將試題與答案卷一併繳交給監試人員，不得攜出試場外。
十一、 競賽時如有偶發事件，應即向監試人員報告。
十二、 參賽學生對競賽場地設備必須妥善使用，如器材損壞以致無法進行實驗時，應立刻報
告補充，不予扣分；但如有故意損毀或應注意而未注意以致損毀者，應予扣分並課以
賠償責任。
十三、 實驗報告應於測驗結束時，隨即繳交評審人員，否則不予計分。
十四、 實驗競賽結束後，須將實驗器材清理歸位，如有破損應立即向監試人員報告。
十五、 本規則如有未盡事宜，得隨時修正並補充之。
9
陸、考試場地
一、開閉幕及試題解答場地
10
二、試場一
11
三、試場二
12
四、口試場地紅藍組
13
五、口試場地綠橘組
14
六、口試流程
考生 試場
編號
時間
試場紅-1
試場紅-2
試場紅-3
考生 試場
編號
時間
試場綠-1
試場綠-2
試場綠-3
09:00
36
27
46
09:00
22
25
42
09:10
46
36
27
09:10
42
22
25
09:20
27
46
36
09:20
25
42
22
09:35
4
1
18
09:35
44
20
2
09:45
18
4
1
09:45
2
44
20
09:55
1
18
4
09:55
20
2
44
10:10
43
47
28
10:10
7
16
38
10:20
28
43
47
10:20
38
7
16
10:30
47
28
43
10:30
16
38
7
10:45
21
12
31
10:45
11
40
14
10:55
31
21
12
10:55
14
11
40
11:05
12
31
21
11:05
40
14
11
考生 試場
編號
時間
試場藍-1
試場藍-2
試場藍-3
考生 試場
編號
時間
試場橘-1
試場橘-2
試場橘-3
09:00
5
6
15
09:00
23
33
35
09:10
15
5
6
09:10
35
23
33
09:20
6
15
5
09:20
33
35
23
09:35
45
26
10
09:35
13
17
8
09:45
10
45
26
09:45
8
13
17
09:55
26
10
45
09:55
17
8
13
10:10
24
9
41
10:10
19
37
30
10:20
41
24
9
10:20
30
19
37
10:30
9
41
24
10:30
37
30
19
10:45
48
49
29
10:45
32
3
39
10:55
29
48
49
10:55
39
32
3
11:05
49
29
48
11:05
3
39
32
11:15
34
11:25
34
11:35
34
112學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
物理科決賽口試流程表
15
七、評審委員口試試場配置表
二樓
試場
紅-1
高斯 204-1
試場
紅-2
高斯 201
試場
紅-3
高斯 201-1
江府峻 委員
陳正中 委員
柯宜謀 委員
二樓
試場
藍-1
高斯 204-2
試場
藍-2
高斯 205
試場
藍-3
高斯 202
任中元 委員
李孟恩 委員
趙松柏 委員
一樓
試場
綠-1
高斯 103-1
試場
綠-2
高斯 102
試場
綠-3
高斯 107-1
周忠憲 委員
許華書 委員
林仕鑫 委員
一樓
試場
橘-1
高斯 108
試場
橘-2
高斯 109
試場
橘-3
高斯 110
陳美瑜 委員
邱志偉 委員
利見興 委員
參賽學生休息室： 101 教室
16
柒、參賽學生分組名冊
編號 組別
學校
參賽科別
姓名
備註
仁組
國立高雄師範大學物理學系
吳哲宇
輔導員
1
國立鳳山高級中學
物理
魏嘉佑
2
國立臺南第一高級中學
物理
張丞漢
3
國立臺南第一高級中學
物理
林庭光
4
國立新營高級中學
物理
蕭勝遠
5
國立臺南第一高級中學
物理
李遠皜
6
國立新竹科學園區實驗高級中等學校
物理
蕭鼎霖
7
國立新竹科學園區實驗高級中等學校
物理
張誠光
8
國立新竹科學園區實驗高級中等學校
物理
廖又誠
9
國立新竹高級中學
物理
羅景鴻
義組
國立高雄師範大學物理學系
王 同
輔導員
10
國立新竹科學園區實驗高級中等學校
物理
黃佐恩
11
桃園市立武陵高級中等學校
物理
林子均
12
國立中央大學附屬中壢高級中學
物理
李佑宸
13
國立新竹科學園區實驗高級中等學校
物理
何重進
14
彰化縣私立精誠高級中學
物理
林家弘
15
國立嘉義高級中學
物理
何承祐
16
國立嘉義高級中學
物理
方浩宇
17
國立嘉義高級中學
物理
賴竑斌
18
國立彰化高級中學
物理
李翊豪
19
國立彰化高級中學
物理
楊仕安
禮組
國立高雄師範大學物理學系
陳昭予
輔導員
20
國立羅東高級中學
物理
蔡和恩
21
國立宜蘭高級中學
物理
曾柏睿
22
南山學校財團法人新北市南山高級中學
物理
陳禹諾
23
南山學校財團法人新北市南山高級中學
物理
高 宇
24
新北市立板橋高級中學
物理
曹嵎榿
25
新北市立板橋高級中學
物理
陳信安
26
剛恆毅學校財團法人新北市天主教恆毅高級中學
物理
李展宇
27
臺北市私立薇閣高級中學
物理
余寬騏
28
新北市立板橋高級中學
物理
陳柏融
29
高雄市立高雄高級中學
物理
陳育承
智組
國立高雄師範大學物理學系
温倩芸
輔導員
30
高雄市立高雄女子高級中學
物理
黃宇晨
31
高雄市立高雄高級中學
物理
金存澤
32
高雄市立高雄高級中學
物理
鄭棣洋
33
臺中市立臺中第一高級中等學校
物理
賴政存
34
臺中市立臺中第一高級中等學校
物理
連柏宇
35
臺中市立臺中第一高級中等學校
物理
蔡忠達
36
臺中市立臺中第一高級中等學校
物理
廖弈閎
37
臺中市立臺中第一高級中等學校
物理
徐士恩
38
臺中市私立明道高級中學
物理
王敬銜
39
臺中市立臺中第一高級中等學校
物理
李承恩
信組
國立高雄師範大學物理學系
黃郁惠
輔導員
40
臺北市立建國高級中學
物理
郭宸璿
41
國立臺灣師範大學附屬高級中學
物理
張嘉宸
42
國立臺灣師範大學附屬高級中學
物理
毛彥翔
43
國立臺灣師範大學附屬高級中學
物理
黃胤禎
44
臺北市立建國高級中學
物理
王冠宇
45
臺北市立建國高級中學
物理
吳席綸
46
臺北市立建國高級中學
物理
林柏安
47
臺北市立建國高級中學
物理
曹祖恩
48
國立臺灣師範大學附屬高級中學
物理
簡睿均
49
國立臺灣師範大學附屬高級中學
物理
黃翊峰
112學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽分組名單
教官:邱樹泉教官
總輔導員:黃意傑 同學
17
捌、決賽試題及參考解
教育部 112 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（一）
編號： .
說明：（1）請先核對答案卷上之編號和你的編號是否一致。
（2）本試題卷共五大題，請依題號在答案卷上指定位置作答，試題卷需隨
答案卷繳回。
【第一題】
今地面有一準備垂直升空的火箭，此火箭由火箭本體(包括駕駛艙、燃料艙、推進引擎
等等)及燃料艙內之燃料兩部份組成，如圖(一)所示。火箭的質量𝑀會隨燃料消耗噴發而逐
漸減少。
圖(一)
火箭的升空推力取決於兩因素：燃料的噴發率
( 𝑏(𝑡) = −
𝑑𝑀
𝑑𝑡
> 0 )
及用多少速率
𝑣
𝑟
噴
發(
𝑣
𝑟
為相對引擎而言)。通常
𝑣
𝑟
由引擎決定並設為一常數，而
𝑏
則可由電腦調控，為時
間
𝑡
的函數。在飛行期間，重力加速度變化不大而視為常數
𝑔
，且忽略空氣阻力。並令火箭
初始及燃料用盡時的質量分別為
𝑀
𝑖
及
𝑀
𝑓
。
(a) 令一開始的燃料噴發率
𝑏
(0)
= 𝑏
0
，請問
𝑏
0
至少要多少才能使火箭升空?
[
5 分]
駕駛艙
燃料
引擎
燃料艙
18
(b) 當火箭一開始升空時，即保持固定的推力大小。求
𝑀 對時間
𝑡
的函數，並求燃料耗盡時
的時間 𝑇、高度 𝐻、及速率
𝑣
𝑓
。
[10 分]
(c) 若當火箭一開始升空時，即保持固定的加速度大小，求解(b)小題中的所有問題。 [10
分]
(d) 你認為在燃料量相同下，(b)與(c)兩種噴發方式，何者可以在火箭燃料耗盡時，得到較大
的速度?
[5 分]
19
【第二題】
四個在 x 軸上的點電荷，其所帶電量為−𝑄
、
+ 2𝑄
、
− 2𝑄及 + 𝑄，其所在位置，如下圖
(二)所示。試問
圖(二)
(a) 此四個點電荷在 P 點所造成的電位
𝑉
𝑃
為何?你的答案請以 𝜃
，
𝑟
，
𝑎，𝑄 表示之，並詳列計
算過程。 [
10 分]
(b) 當
𝑟 ≫ 𝑎 時，證明 𝑉
𝑃
可表示為 (請詳列計算過程)
𝑉
𝑃
~
3𝑄
𝜋𝜀
0
𝑎
3
𝑟
4
𝑃
3
(cos 𝜃)。
[20 分]
提示：
1
√1−2𝑥𝑡+𝑡
2
= 1 + ∑
𝑃
𝑛
(𝑥) 𝑡
𝑛
∞
𝑛=1
，|𝑥| ≤ 1
，其中 𝑃
𝑛
(𝑥) 為第 n 階的 Legendre 多項
式。你不須要知道 𝑃
𝑛
(𝑥) 的詳細表示式。
20
【第三題】
魯夫一行人搭乘烏坦探測號，並使用側掃聲納在海底找尋寶物(側掃聲納通常拖於船
後，當其運作時，由底拖音鼓兩舷沿海床平面發射聲波，聲波經物體反射回之訊號由底拖音
鼓本身的接收器接收並透過電纜傳至紀錄器。)，假設該區海床平整，聲納和海底寶物近似
位於水平面上，且該航道附近風平浪靜，海水流速趨近於零。水下側掃聲納移動速度和船速
u 相同，側掃聲納發出的聲頻固定為 𝑓
0
，由寶物反射回的聲訊(每秒取一次訊號)，其頻率 f
和時間 t 關係如下圖(三)：
圖(三)
已知該區海水聲速為 1500 m/s，試求：
(a) 側掃聲納發出聲頻
𝑓
0
？ [
10 分]
(b) 船隻航行速度 u 的大小為何？ [10 分]
(c) 聲納最接近寶物的距離為多少？ [10 分]
上列答案請記得標註合適單位，否則不予給分。
Frequency f (kHz)
t (s)
21
【第四題】
一個材質均勻，半徑為 R 公尺的透明半球體，由折射率 n = √5的材料製作而成。今將
其平面部分呈水平置於空氣中。假設在半球體與空氣之間介面的反射光太微弱，可忽略不
計，試求解以下情況：
(a) 如下圖(四)，有一束恰好涵蓋半球體水平截面積的平行光，由下方鉛直向上入射，試求半
球面上透光的面積為多少平方公尺？ [10 分]
圖(四)
(b) 如下圖(五)，若有另一束恰好涵蓋半球體水平截面積的平行光，改由上方鉛直向下入射，
試求半球體下方平面透光的面積為多少平方公尺？ [20 分]
圖(五)
22
【第五題】
考慮一個利用密閉氣體腔室做為推進系統的簡單模型：一絕熱腔室體積為
0
V
內存有單原
子理想氣體，左側有熱源持續提供能量給氣體，其右側則有無摩擦的活塞 (質量為 M ，截面
積為 A ，厚度為 D ，熱傳導係數為
) 以兩條相同的彈簧連接(彈力常數為
k
)，如圖(六)。最
初此腔室壓力與溫度皆與外界相同，分別為
0
P
與
0
T
，並且彈簧在原長狀態。活塞右側有一待
推動物體，其質量為
m
。當熱源開始提供能量，此腔室內氣體溫度瞬間增加為原來
n
倍，並
且之後一直維持等溫，則暴增的壓力將推動活塞與物體向右移動，如圖(七)。當推動的距離為
L
時
，所花的時間恰好為
0
t
，且質量為
m
的物體之速度大小恰為
v
，則：
(a) 在
0
t
這段時間內，左側熱源一共提供多少能量？
[15 分]
(b) 離開腔室瞬間質量為
m
的物體的加速度大小為多少？
[15 分]
圖(六) 圖(七)
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教育部 112 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（一）參考解
【第一題參考解】
參考下圖，
24
垂直發射也是類似的分析手法，如下圖所示，
(1)
(2)
(a)
(b)
因為火箭一開始靜止，
υ
0
= 0，Eq.(1) 變成
25
將 T 代入上式，得燃料耗盡時的速度大小為
(3)
(c) from eq.(2)，
26
(d)
(4)
27
【第二題參考解】
(a)
𝑉
𝑝
=
1
4𝜋𝜀
0
(−
𝑄
𝑟
1
+
2𝑄
𝑟
2
−
2𝑄
𝑟
3
+
𝑄
𝑟
4
)
，其中
𝑟
1
= √𝑟
2
+ 4𝑎
2
+ 4𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟
2
= √𝑟
2
+ 𝑎
2
+ 2𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟
3
= √𝑟
2
+ 𝑎
2
− 2𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟
4
= √𝑟
2
+ 4𝑎
2
− 4𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
(b)
當𝑟 ≫ 𝑎
, 可得到
1
𝑟
1
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (− 2𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
−2𝑎
𝑟 )
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
−2𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
1
𝑟
2
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (−
𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
−𝑎
𝑟 )
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
−𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
1
𝑟
3
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (
𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
𝑎
𝑟)
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
1
𝑟
4
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (2𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
2𝑎
𝑟 )
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
2𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
利用這些公式，我們可得到
𝑉
𝑝
~
3𝑄
𝜋𝜀
0
𝑎
3
𝑟
4
𝑃
3
(𝑐𝑜𝑠 𝜃)
28
【第三題參考解】
(a) 由因相對運動造成的都普勒頻移： 𝑓 =
u+v cos(θ)
u−v cos(θ)
𝑓
0
此式中 cos(θ) 是水下聲納運動速度
和聲納到寶物位置所構成的向量兩者間的夾角(如下示意圖)，由遠處接近時，θ 趨近於
零，因此 cos(θ) → 1 ；最接近點為 θ = π / 2 ; 遠離寶物時 θ 趨近於 π ，於此時
cos(θ) → −1 。由此觀念可知所測頻率和時間關係圖中 𝑓 的中間值即為聲源所發出之頻
率，故由圖可知
𝑓
0
= 500𝑘𝐻𝑧
。
v θ
(b) 由所測頻率和時間關係圖中的最大和最小頻率外推可知在
θ趨近於零與θ趨近於 π 時的
頻率比滿足
𝑓
𝑚𝑎𝑥
𝑓
𝑚𝑖𝑛
= (
u+v
u−v
)
2
帶入𝑓
𝑚𝑎𝑥
= 506.5 (507) 及𝑓
𝑚𝑖𝑛
= 493.5 (493)，u = 1500 可求出
v = 9.75
(10.5) (m/s)
(較大 v 值約 214000 需捨去，因大於聲速會有其他現象)
(c) 由所測頻率和時間關係圖中的中間值到下一秒的資料求出距離：利用下
Δt 秒時：
cos(θ) =
−uΔt
√(uΔt)
2
+𝑑
2
帶入
𝑓 =
u+v cos(θ)
u−v cos(θ)
𝑓
0
= 499.4 =
1500−9.75
9.75
√(9.75)2+𝑑2
1500+9.75
9.75
√(9.75)2+𝑑2
500
可求出
d=105.1 或 -105.1。故最短距離為
105.1 m
。
(附註：根據不同採樣，
(b)和(c)會有些許偏差，數值解(b)～10，(c)～100 均可)