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112 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
高雄區複賽物理科實驗試題參考解
一.實驗設計:
(一) 請利用下列器材與題目說明設計實驗，量測待測彈簧的單圈與整條彈簧的彈性常數:
根據題目之提示，彈簧伸長量 Sn 與彈簧圈數 n 有以下之關係:
S
n =
𝐿 = 𝑛 𝑚𝑔
𝑛
𝑚𝑔
𝑀𝑔
將下方懸掛質量 M＝（N
0
-n）m 代入上式:
S
n =
𝐿 = 𝑛 𝑚𝑔
𝑛
𝑚𝑔
𝑁
𝑛 𝑚𝑔
=
𝑚𝑔𝑛
𝑁
𝑚𝑔𝑛
為了方便量測決定以每五圈記錄一次彈簧總長度，另外為了能夠更準確得出單圈彈簧的彈性係
數 k 之近似解,故採取有限差分法方式(微分的概念)進行分析。
𝛥𝑠 = 𝑠
𝑠
=
𝑚𝑔 𝑛
5
𝑁
𝑚𝑔 𝑛
5 -
𝑚𝑔𝑛
𝑁
𝑚𝑔𝑛
=
𝑛 +
因此只要量測每五圈彈簧之距離差與彈簧圈數之關係，利用其斜率關係即可求得
單圈彈簧係數 k,再利用彈簧串聯之關係式便可求取整條彈簧之彈性係數 K。
(二) 利用(實驗一)之彈簧，測量待測物之重量:
根據虎克定律 F=kX，將彈簧掛上待測物量其伸長量，便可求得待測物之重量；但如果利用
整條彈簧量測，掛上待測物後彈簧伸長量會使待測物接觸地面，此時會需要再考慮地板的支撐
力，為了方便測量，故改變彈簧圈數進行量測。
(三) 測量待測物之密度:
從題二中已經求出待測物之重量，所以只要將重量/重力加速度就可得
待測物之質量，再利用游標尺量測待測物之邊長進一步求得體積，
最終將質量(M)/體積(V)便可得到待測物之密度(ρ)。
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二.實驗步驟:
(一) 請利用下列器材與題目說明設計實驗，量測待測彈簧的單圈與整條彈簧的彈性常數:
1.架設支架並利用直角夾固定橫桿。
2.用膠帶將皮尺一端黏在橫桿上，另一端黏在地面，並適當調整橫桿之高度。
3.數彈簧總圈數。
4.將彈簧夾在橫桿並利用膠帶固定。
5.以第三圈為參考點並記錄其位置。
6.往下每五圈紀錄彈簧的位置，記錄至第 75 圈。
7.分析每五圈彈簧之距離差與彈簧圈數之關係，其斜率關係即可求得
單圈彈簧係數 k,再利用彈簧串聯之關係式
1
𝐾
1
𝑘
1
1
𝑘
2
⋯
1
𝑘
𝑛
便可求取整條彈簧之彈性係數 K。
(二) 利用(實驗一)之彈簧，測量待測物之重量:
1.選擇減少彈簧圈數的彈簧掛在橫桿上並用膠帶固定。
2.記錄彈簧無掛待測物時之最下方位置點。
3.利用棉線將待測物綁在彈簧最下方。
4.待彈簧穩定後記錄彈簧之最下方位置點。
5.根據虎克定律 F=kx，計算彈簧之伸長量並代入公式便可
得到代測物之重量。
(注意:這裡的 k 值為減少彈簧圈數後的 k 值)
(三) 測量待測物之密度:
1.利用游標尺測量待測物之邊長、內徑、厚度。
2.將測量之待測物邊長
𝑎帶入正六邊形面積公式:
√
𝑎 ,
再扣除中心圓形面積，最後乘以厚度便可得到待測物之體積。
3.將題二得到的重量除以重力加速度得到待測物之質量。
4.將待測物質量除以待測物體積便可以得到待測物之密度。
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三、數據分析:
(一) 請利用下列器材與題目說明設計實驗，量測待測彈簧的單圈與整條彈簧的彈性常數:
單圈彈簧的彈性係數 k:
每五圈彈簧之距離差(ΔS)與彈簧圈數(n)之關係式為 ΔS = - 4.62 * 10
-4
n + 4.10 * 10
-2
對照每五圈彈簧之距離差(ΔS)與彈簧圈數(n)之理論公式
𝛥𝑠 =
𝑛 +
，
可得斜率 a =
，則 k =
=
∗
.
∗
. ∗
= 38.64 (N/m)。
ΔS = ‐4.62E‐04n + 4.10E‐02
R² = 9.95E‐01
0.00E+00
5.00E‐03
1.00E‐02
1.50E‐02
2.00E‐02
2.50E‐02
3.00E‐02
3.50E‐02
4.00E‐02
4.50E‐02
0
10
20
30
40
50
60
70
80
每
五
圈彈簧
之距離
差
Δ
S(
m)
彈簧圈數n
每五圈彈簧之距離差(ΔS)與彈簧圈數(n)之關係圖
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整條彈簧的彈性係數 K:
⋯
=
38.64
38.64
⋯
38.64
=
38.64
則
K=
38.64
=
0.3942 (N/m)。
(二) 利用(實驗一)之彈簧，測量待測物之重量:
68 圈彈簧之彈性係數 k
68
為:
.
68
=
0.5682 (N/m)
則待測物之重量為:
k
68
*Δx = 0.5682 * 1.1060= 0.6284 (N)。
(三) 測量待測物之密度:
待測物之密度為:
7.21 * 10
3
± 1.90 * 10
1
(kg/m
3
) = 7.21 ± 0.02 (g/cm
3
)
四、實驗討論：
1.分析單圈彈簧係數 k 時，也可利用截距
來求得 k 值，但經過計算的 k 值約為 40.49
(N/m)，而整條彈簧之彈性係數 K 為 0.41(N/m)，與用斜率求得 k 值與 K 值並不一樣，原因可能是
因為所用的關係式是忽略單圈的彈簧質量，再加上分析方法本身就是求得近似解，並非正確解，
故會存在一點誤差。
2.因為彈簧之彈性係數是用實驗求得的，加上皮尺也並非完全呈一直線，計算伸長量時亦會產生誤
差，所以可能會使得測得之待測物重量誤差被放大。
3.利用游標尺量測並計算待測物體積的過程中，是假設待測物是一個中心為中空圓形的正六邊形，
已經忽略掉中空圓形內部的螺紋部分，所以所求得的體積可能為高估的數值，進而造成密度為低
估的數值。