104 學年度臺北市 (麗山高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）試題
編號：
（學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 49 分。
2. 考試時間：2 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。
問題一：
設
ABCD
為平行四邊形，其中 A
B
。
試證：若
P
為
AD
上的任一點，則
P A
P B
P C
P D
A B
A C
A D
。 (12 分)
問題二：
設
ABC
為邊長 1 的正三角形，
BC
上有
n
等分點，沿點 B 到點
C
的方
向，依次為
1
P
、
2
P
、
…、
1
n
P
，其中
2
n
；並令向量內積的和
n
S
為
1
1
2
2
3
1
n
n
S
AB AP
AP AP
AP
AP
AP
AC
。
試求
n
S
的值 (以 n 表示)。 (12 分)
《
背面尚有試題
》
問題三：
試找出所有可能的正整數
p
及數列
0
1
2
, ,
,
,
m
a a a
a 同時滿足以下條件：
(1)
0
1
2
, ,
,
,
{0,1, 2,
,
1}
m
a a a
a
p
，
(2)
0
1
2
0
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
k
k
m
k
a p
a
a
a
a
。 (12 分)
問題四：
設
△ABC 是銳角三角形且
AB
AC
，其外心為 O、垂心為 H。設點 D 是
BAC
的分角線與外接圓的另一交點，DE 是
△ABC 的外接圓直徑，M 是
BC
的中點，N 是 EH 的中點。試證：直線 MN 與直線 AE 垂直。
N
H
E
M
D
C
B
O
A
(13 分)
《
試題結束
》