104 學年度臺北市 (麗山高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）試題參考解答
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 49 分。
2. 考試時間：2 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。
問題一：
設 ABCD 為平行四邊形，其中 A
B
。
試證：若
P
為
AD
上的任一點，則
P A
P B
P C
P D
A B
A C
A D
。 (12 分)
【證明】：
示意圖如下圖實線所示：
(一) 當 P
A
時， PA PB PC PD
AA
AB
AC
AD
AB
AC
AD
。
當 P
D
時，
.
P A
P B
P C
P D
D A
D B
D C
D D
A D
D B
A B
A D
A C
A B
(
B
A
,
180
B
A
,
90 ,
90
B
A
,
而知
2
2
2
,
AC
AB
BC
2
2
2
BD
AB
AD
AC
BD
)
(二) 當 P 為
AD
邊非端點 A, D 時，過 P 作 PE AB 且交
BC
於 E，則 ABEP 為平行
四邊形，故
PE
AB
。
欲證
.
PA
PB
PC
PD
AD
AC
AB
PA
PD
PB
PC
AD
AC
AB
PB
PC
AC
AB
連
AE
, 在平行四邊形 ABEP 中，二內角
A
B
, 故亦知
PB
AE
。
(三) 在四邊形 AECP 中
AC
與
PE
為相交的對角線，故得
AC
PE
PC
AE
PC
PB
。
即得
PB
PC
AC
AB
。
問題二：
設
ABC
為邊長 1 的正三角形，
BC
上有
n
等分點，沿點 B 到點
C
的方
向，依次為
1
P
，
2
P
，
…，
1
n
P
，其中
2
n
；並令向量內積的和
n
S
為
1
1
2
2
3
1
n
n
S
AB AP
AP AP
AP
AP
AP
AC
。
試求
n
S
的值 (以
n
表示)。 (12 分)
【解答】：
為了方便計算，令
0
,
n
P
B P
C
，根據向量分點公式，得
0
(
)
n
k
n k AP
k AP
AP
n
。
因為正
ABC
的邊長為
1
，所以
0
0
0
1
1,
1 1 cos 60
2
n
n
n
AP AP
AP AP
AP AP
。
此時，
0
0
1
1
1
(
1)
(
1)
(
)
n
n
n
n
n
k
k
k
k
n k
AP
k
AP
n k AP
k AP
S
AP
AP
n
n
；
即
1
1
2
2
2
1
(
1)(
)
(
1)
(
1)(
) (
1)
n
n
k
n k
n k
n k
k
k
n k
k
k
S
n
。
整理可得
2
2
2
2
1
(
1)
(
)
n
n
n
k
k
n
k
n
S
n
。
代入平方和公式，得
2
2
2
(
1)(2
1)
(
1)
2
1
2
6
2
n
n n
n
n n
n
S
n
n
；
即
2
5
2
6
n
n
S
n
。
問題三：
試找出所有可能的正整數
p
及數列
0
1
2
, ,
,
,
m
a a a
a 同時滿足以下條件：
(1)
0
1
2
, ,
,
,
{0,1, 2,
,
1}
m
a a a
a
p
，
(2)
0
1
2
0
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
k
k
m
k
a p
a
a
a
a
。 (12 分)
【解答】：
當
1
p
時，
0
1
0
m
a
a
a
，都不會滿足(2)式。以下考慮
2
p
的
情況。注意：當數列
0
1
2
, ,
,
,
m
a a a
a 滿足題設條件時，數列
0
1
2
, ,
,
,
,0,0,
,0
m
a a a
a
也
會滿足題設條件，故僅須考慮
0
m
a
的情況。
(i) 當
0
m
時，
0
0
1
a
a
，不可能。
(ii) 當
1
m
時，
0
1
0
1
(1
)(1
)
a
a p
a
a
，得知：
1
0
(
1
)
1
a p
a
。故
1
0
1
1
a
p
a
，即
0
1
2,
1
a
p
a
。
(iii) 以下證明：當
2
m
時，數列都不存在。假設
0
1
2
0
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
k
k
m
k
a p
a
a
a
a
。
利用
0
1
2
( 1
) ( 1
) ( 1
)
( 1
)
m
a
a
a
a
0
1
2
1
0
1
2
1
(1
)(1
)(1
)
(1
)
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
2
2
1
0
1
2
2
(1
)(1
)(1
)
(1
)
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
2
1
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
m
a
a
a
a
a
0
1
0
2
0
1
0
1
2
1
(1
)
(1
)
(1
)(1
)
(1
)(1
)(1
)
(1
)
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
0
1
0
(1
)
(1
)
m
k
k
i
k
i
a
a
a
。
可得：
1
0
0
1
0
(1
)
(1
)
m
m
k
k
k
k
i
k
k
i
a p
a
a
a
。移項整理得：
1
1
0
(1
)
1
m
k
k
k
i
k
i
a
p
a
。
(1)若
0
1
2
1
1
m
a
a
a
a
p
，則
1
1
0
(1
)
0
m
k
k
k
i
k
i
a
p
a
，不合。
(2)若
0
1
2
1
, ,
,
,
m
a a a
a
中有一項不等於
1
p
，則
1
1
1
0
0
(1
)
(1
)
1
m
k
m
k
m
k
i
m
i
m
k
i
i
a
p
a
a
p
a
a
，不合。
綜合以上討論，所求為
2
p
，而數列為：
2,1 ,
2,1,0 ,
,
2,1,0,0,
,0
p
p
p
。
問題四：
設
△ABC 是銳角三角形且
AB
AC
，其外心為 O、垂心為 H。設點 D 是
BAC
的分角線與外接圓的另一交點， DE 是△ABC 的外接圓直徑，M 是
BC
的中點，N 是 EH 的中點。試證：直線 MN 與直線 AE 垂直。 (13 分)
P
M
N
N
E
E
M
H
H
F
D
D
B
B
C
C
A
O
O
A
【證明】：
設直線 CO 與外接圓的另一交點為 P。
因為
CP
是
△ABC 外接圓的一直徑，所以，
BC
PB
、
CA
PA
。因為直線 PB、
直線 AH 都與直線 BC 垂直，所以， PB 與 AH 平行。同理，因為直線 PA、直線 BH
都與直線 AC 垂直，所以，PA 與 BH 平行。於是，
□
PAHB 為平行四邊形，
PB
AH
。
其次，在
△BCP 中，因為點 O 與點 M 分別是
PC
與
BC
的中點，所以，
OM
PB
2
。
於是，可得
2
AH
PB
OM
。
在直線 DE 上作點 F 使得點 M 成為 DF 的中點。因為 A
是銳角，所以，邊
BC
的中點 M 必在半徑
OD
上。於是，可得
2
2(
)
2
2
DE
DO
DM
OM
DM
FM
OM
DF
OM
，
所以，可得
2
EF
DE
DF
OM
AH
。因為直線 AH 與直線 EF 都與直線 BC 垂
直，所以， EF 與 AH 平行。由此可知：
□
AEFH 為平行四邊形，其對角線 AF 與 EH
互相平分於 EH 的中點 N。
在
△ADF 中，因為點 M 與點 N 分別是 DF 與 AF 的中點，所以，直線 MN 與直
線 AD 平行。因為 DE 是
△ABC 外接圓的一直徑，所以，直線 AD 與直線 AE 垂直。
於是，直線 MN 與直線 AE 垂直。