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104 學年度台灣省北二區 (新竹高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科口試試題
參考解答
【試題一】
設
n
a
為
4
4
4
1
2
n
的個位數字, 證明：小數
1 2 3
0.a a a
為有理數。
【證明】：.
其實只要證明此小數為循環小數即可。
因為
4
4
4
1
2
10
的個位數
10
a
等於
4
4
4
11
12
20
, 到
4
4
4
91
92
100
都相
等，所以
101
1
10
1
10
a
a
a
a
。(註：其實
n
a
真的是 100 一循環。)
【試題二】
現有一台有效位數為八位數的計算機(即小數點前後一共有八位)，假設我們按了 2
之後不斷按
按鍵，請問最終計算機的螢幕會呈現甚麼數字？陳述你的理由。可否
估計要按幾次
按鍵才會變成你所認為的數字？
【解答】
原問題可以轉換為
1
1
,
2
n
n
x
x
x
由數學歸納法可以得知:
1
1
n
n
x
x
並且
lim
1
n
n
x
因此最後螢幕上顯示的數字是 1。現在我們估計要讓螢幕顯示為 1 所需要的按鍵次
數，這邊我們留意，要按出
n
x
來只需要 n-1 次。同時我們利用迭代關係可得出以下
不等式
1
1
1
1
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
因此，
(
1)
7
(
1)
2
10
n
n
x
因此我們可以估計出
10
7
1
23.25
log 2
n
所以至多需要 24 次即可達成。