101 學年度台灣省(花蓮區)
高級中學數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）試題
編號：
（學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 46 分。
2. 考試時間：2 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將過程依序填寫在答案卷內。
問題一：
將長
240
AB
，寬
288
BC
的長方形紙張對摺，讓頂點 C 剛好落在線
段
AB
的中點
M
上，如下圖所示：
若
EF
是摺線，則摺線
EF
的長度為多少？
(10 分)
A
B
C
D
E
F
M
問題二：
設數列
n
a 滿足遞迴關係式
1
6
a
,
1
6
n
n
a
a
,
(
1)
n
.
(1)利用數學歸納法證明：對任何正整數 n ，不等式
3
n
a
恆成立。
(2)證明：對任何正整數 n ，不等式
1
0
n
n
a
a
恆成立。
(12 分)
問題三：
甲、乙、丙三個隊伍在運動會的獎牌榜上共得 186 塊獎牌！甲隊贏得了
最多的金牌，乙隊贏得的金牌和銅牌數相等；甲隊和乙隊贏得的銀牌數
相等。丙隊的銀牌比銅牌多了 2 塊；而丙隊的金牌數比甲隊的銅牌數多
了 1 塊。甲隊的金牌數和乙、丙兩隊的銅牌數之和相等，也剛好是乙隊
獎牌數的四分之三。三隊所贏得的總金牌數比甲隊獎牌數少 1 塊。請問
甲、乙、丙三隊各贏得金、銀與銅牌各幾塊？
(12 分)
問題四：
(1)設
1
1
, ,
,
均為 0
與180
之間的角度使得
1
1
。若
1
1
，證明
1
1
sin
sin
sin
sin
。
(2)設
, ,
均為 0
與180
之間的角度。證明
sin
sin
sin
3sin
3
。
(12 分)