101 學年度台灣省第二區(新店高中)
高級中學數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）試題【參考解答】
問題一：
給定正整數 ,
m n，其中
2
3
m
n
。假設袋子中有 m 個白球(W)及 n 個
黑球(B)，每次取一球，取出的球由左而右排成一列，直到連續取到 3 個白球，
即停止取球。設隨機變數
,
m n
X
表示被取到的白球中，恰好是 2 白球(WW)連接
一起的次數，例如：若被取到的 16 個球依序為
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
W B W W B B B W W B W W B W W W
則有 3 次恰好出現連接的 2 個白球，此時隨機變數
m n
X
,
的值為 3。
(1) 試求
5 1
,
X
及
7 2
,
X
的數學期望值。
(2) 試求
101 45
,
X
的數學期望值。
【解】顯然，對
3
m
，期望值
0
0
m
E X
,
(
)
。考慮開始取到球的四種可能情況：
,
,
,
B WB WWB WWW
，其發生的機率分別
( ), (
), (
), (
)
P B P WB P WWB P WWW
。
其
中，最後一種情況(即一開始就出現
WWW
)不會有連接一起的 2 白球，於
是，
對
5
m
，
, 1
, 0
1 , 0
2 , 0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) ( 1
(
) )
m
m
m
m
E X
P B E X
P W B E X
P W W B
E X
1
1
1
1
1
0
0
( 1
0 )
1
1
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
。
同理，對
7
m
，可得
,2
,1
1,1
2,1
(
)
( ) (
)
(
) (
)
(
)(1
(
))
m
m
m
m
E X
P B E X
P WB E X
P WWB
E X
2
1
2
1
1 2
1
2
(1
)
2
1
2
1
2
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
。
因此，猜測 : 對正整數
2
3
m
n
，恆有
,
(
)
1
m n
n
E X
m
。
以下對
0,1, 2,
n
作數學歸納法：假設
,
(
)
1
m n
n
E X
m
都成立，則可
推得
,
1
,
1 ,
2 ,
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) ( 1
(
) )
m n
m n
m
n
m
n
E X
P B E X
P W B E X
P W W B
E X
1
1
1
1
(1
)
1
1
1
1
1
1
n
n
m
n
n
m
m
n
n
m n
m
m n
m n m
m n
m n m n
m
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
m
n
n
n
m
n
m
m
n
m
n
m
n
m
m
。
因此，所求
101 45
,
X
的數學期望值
101,45
45
15
(
)
102
34
E X
。
問題二：
設
2
2
2
sin
ab
a
b
，其中
0
2
，
,
a b
為兩相異正整數且
2
2
(
) sin
n
n
A
a
b
n
。試證：對任意正整數 n，
n
A 均為整數。
【証明】：
解 1
令
2
2
(
) cos
n
n
B
a
b
n
。
當
1
n
時，
2
2
1
1
2
,
A
ab B
a
b
均為整數。(假設
a
b
)
由
sin(
1)
sin
cos
sin cos
,
k
k
k
cos(
1)
cos
cos
sin
sin
k
k
k
得到關係式
1
1
1
k
k
k
A
A B
B A
和
1
1
1
k
k
k
B
B B
A A
。
利用數學歸納法證明
n
A
和
n
B
均為整數。
解 2 可設
。由
，得到
。
為整數。
利用隸美弗定理，得知
是
的虛數部分。
因此，
剛好是
的虛數部分。
又
，
由二項式定理得知其虛數部分為
，
顯然是一個整數，因此得證。
a
b
2
2
2
sin
ab
a
b
2
2
2
2
cos
a
b
a
b
2
2
1
(
)sin
2
A
a
b
ab
sin n
(cos
sin )
n
i
2
2
(
) sin
n
n
A
a
b
n
2
2
(
) (cos
sin )
n
n
a
b
i
2
2
2
2
2
(
) (cos
sin )
(
2
)
(
)
n
n
n
n
a
b
i
a
b
abi
a
bi
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
( 1)
n
n
n
k
k
k
k
k
C
a
b
問題三：
如圖，在凸四邊形 ABCD 中，分別以
AB
與
CD
為一對角線的兩正
方形有一共同的頂點 P 位於四邊形 ABCD 的內部。試證：過點 P 與
AD
中點
M 的直線 PM 必與直線 BC 垂直。
【証明】：
在直線 BP 上作點 E 使得點 P 成為
BE
的中點，再連接
CE
。在
△APD
與
△EPC 中，因為
EP
BP
AP
、
PC
PD
而且
EPC
DPE
DPC
DPE
DPE
APE
APD
90
，
所以，
△APD 與△EPC 全等。
設
EC
的中點為 F。因為 M 是
AD
的中點而且
△APD 與△EPC 全等，所以，△APM
與
△EPF 全等。於是，得
90
APE
APM
MPE
EPF
MPE
MPF
。
亦即：直線 PM 與直線 PF 垂直。另一方面，因為點 P 與點 F 分別是
△EBC 中邊
BE
與邊
CE
的中點，所以，直線 PF 與直線 BC 平行。於是，直線 PM 與直線 BC 垂直。
M
A
D
P
C
B
F
E
N
M
A
D
C
P
B