第
11 之 1 頁
教育部
111 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（一）參考解
【第一題參考解】
(a)
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(b)
方法二的Δ
υ 小於方法一的Δυ！
(c)在低軌道時，耗較少能量即可得到脫逃速度(至無限遠處)
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【第二題參考解】
(a) Q’/2r=q1/r=q2/r 且 Q’+q1+q2=QQ’=Q/2, q1=q2=Q/4
置於中間的大球受力為
-kQ’*q1/(d-x)
2
+ kQ’*q1/(d+x)
2
(kQ
2
/8)(-1/(d
2
-2dx)+ 1/(d
2
+2dx))
(kQ
2
/8 d
2
)(-1-2x/d+ 1-2x/d)
= -kQ
2
x/2d
3
受力和位移呈現性正比，可知其為簡協震盪，其"彈性常數
K"為 kQ
2
/2d
3
，
週期和彈性係數及質量
M 的關係為 (2π/T)
2
=K/M= kQ
2
/2Md
3
M= k(TQ)
2
/8π
2
d
3
(b) 球殼和實心球有相同的電位公式，中央大球的電荷 Q’=Q/2，
面電荷密度為
Q’/4π(2r)
2
=Q/32πr
2
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【第三題參考解】
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【第四題參考解】
V = 340 m/s 單邊開口管的共鳴的基頻(fundamental frequency)條件為
V/4L
0
= 212.5 L
0
為空氣管的長度
代入得 L
0
= 340/（4 * 212.5） = 0.4m
在單邊開口的空氣管中，只有單數的
諧波
(harmonic)才能存在
所以
其它可以共鳴的頻率為
n*(V/4L
n
) = 212.5 n = 3, 5, 7, 9, ………
分別代入可得
L
3
= 1.2m(3
rd
Harmonic) L
5
= 2.0m (5
th
harmonic) L
7
=2.8m (7
th
harmonic)
L
9
=3.6m (9
th
harmonic)
所以總共可以聽到
5 次聲音的共鳴（包括只剩下空氣柱）
也就是水柱高為 3.6-0.4= 3.2m 3.6-1.2 = 2.4m 3.6-2.0 =
1.6m 3.6-2.8 = 0.8m 跟 0 時會有共鳴
因為水的不可壓縮，水密度相同 所以水流量守恆 （每單位
時間流過面的水量相同）
如右圖
則
ρ
ρ
aV
A (-dH/dt） = a V
2
H 為向上為正
(V
2
為小孔出水的速率
)
且因為水沒有黏滯性即能量不會因為跟管壁有摩擦而損耗（能量守恆）
所以
在上端的總能為
ρ
v
ρ
gH ,
其中 v
dH/dt = - a/A V
2
在底端的總能為
ρ
v
因為
所以
a/A ~1/1000 所以 v 可以看是～0 ρ
gH
𝜌𝑉
所以
𝐯
𝟐
𝟐𝐠𝐇
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因此
也就是說管中的水隨時間的下降為
𝒅𝑯
𝒅𝒕
𝒂
𝑨
𝟐𝒈𝑯
代入
a, A, g
𝒅𝑯
𝒅𝒕
𝟏. 𝟏𝟏 𝟏𝟎
𝟐
√𝑯
聽到第一個共鳴所需時間為
𝒅𝑯
𝑯
𝟏. 𝟏𝟏 𝟏𝟎
𝟐
𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝟑.𝟐
𝟑.𝟔
𝟐 √𝟑. 𝟐 √𝟑. 𝟔
𝟏. 𝟏𝟏 𝟏𝟎
𝟐
𝒕
t~ 19.5 s
聽到第
2 個共鳴所再需時間為
𝒅𝑯
𝑯
𝟏. 𝟏𝟏 𝟏𝟎
𝟐
𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝟐.𝟒
𝟑.𝟐
𝟐 √𝟐. 𝟒 √𝟑. 𝟐
𝟏. 𝟏𝟏 𝟏𝟎
𝟐
𝒕
t~ 43 s
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【第五題參考解】
(a) 設有兩個黑體 X 和 Y，平衡溫度分別為 T
1
和 T
2
，且 T
1
> T
2
，
C 為連接兩個
黑體的真空圓筒，筒中有兩個自由滑動的活塞
A、B，圓筒內壁和活塞 A、B
的兩個平面都是理想的反射面，最初活塞
A 和 B 的平面分別貼緊於黑體 X
和
Y 的位置 1 和 2。
先將
B 移出筒 C，讓黑體 Y 的輻射能充滿 C，再將 B 移回到位置 2，並把 A
移出筒
C 然後推動活塞 B，如果沒有光壓，推動 B 時，外界不需作功，當 B
移到位置
1 時，筒 C 的輻射能全部被黑體 X 吸收。此時，筒中又充滿了黑體
Y 的輻射能，把活塞 A 和 B 輪流移入和移出，重複上述過程，黑體 Y 的輻
射能不斷地被黑體
X 吸收而使得黑體 X 之溫度上升、黑體 Y 之溫度下降。
這樣相當於能量自發地從低溫熱源（黑體
Y）流入高溫熱源（黑體 X），而不
引起其他變化，這顯然違反熱力學第二定律的克勞修斯表述。上述實驗事實
的理論解釋，錯誤在於沒有考慮輻射對活塞平面產生的光壓，若把光壓納入
考慮，在推動活塞時外界必須作功。因此輻射場中必存在光壓。
(b) 熱機以熱輻射為工作物質，熱機有光滑無摩擦的活塞 P、活門 G 和底部小孔
H，可讓熱輻射進出熱機。
進行微卡諾循環：
當熱輻射（光子）為工作
物質時，
1
3
P
u T
，等
溫線亦為等壓線。
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1. 等溫膨脹過程（isothermal expansion）：
活門
G 開啟，熱機自溫度 T
1
的平衡熱輻射源
E
1
吸收熱輻射，輻射壓
1
1
1
3
P
u T
，
體積自 V
1
膨脹到 V
2
，對外作功
1
1
2
1
1
2
1
1
3
W
P V
V
u T
V
V
，
內能增加
1
2
1
U
u T
V
V
，由熱力學第一定律：熱機自
E
1
吸收輻射能
為
1
1
1
2
1
4
3
Q
W
U
u T
V
V
2. 絕熱膨脹過程（adiabatic expansion）：
活門
G 關閉，體積自 V
2
絕熱膨脹到 V
3
，溫度降到 T
2
、輻射壓降到
2
2
1
3
P
u T
3. 等溫壓縮過程（isothermal compression）：
活門
G 開啟，體積自 V
3
等溫壓縮到 V
4
，熱機對溫度 T
2
的熱輻射源
E
2
釋
出熱輻射。
4. 絕熱壓縮過程（adiabatic compression）：
活門
G 關閉，體積自 V
4
絕熱壓縮回到 V
1
，溫度回升到 T
1
。
設 T
1
和 T
2
之間微差
dT，V
1
和 V
2
之間微差
dV，
熱機對外作功
1
d
d
d d
3
W
P
V
u
V
熱機自
E
1
吸收的熱輻射
1
1
1
2
1
1
4
4
d
3
3
Q
W
U
u T
V
V
u T
V
熱機效率
1
1
d d
d
3
4
4
d
3
u
V
W
u
Q
u
u
V
又由卡諾定理（
Carnot's theorem）知熱機效率為
dT
T
d
d
4
u T
T
u T
T
，兩邊積分得：
d
d
4
u T
T
u T
T
4
ln
ln
u T
aT
得：
4
u T
aT
，其中 a 為常量。 Q.E.D.
(c) 地球接收到太陽之輻射能流
2
4
2
17
E
SE
S
S
E
2
SE
π
J
4π
1
2.69 10
s
4π
R
q
aT
R
r
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地表所受到太陽的輻射壓之總力為
17
8
SE
8
2.69 10
8.98 10 N
3.0 10
q
F
c
(d) 將地球、海王星視為灰體，根據克希何夫熱輻射定律（Kirchhoff's law of
thermal radiation），吸收率與發射率相等。
熱平衡條件：
2
4
2
4
2
E
S
S
E
E
E
E
2
SE
π
4π
1
4π
1
4π
R
aT
R
aT
R
r
2
2
8
S
4
4
E
S
2
11
SE
1 7.0 10
6000 290K
4
4 1.5 10
R
T
T
r
2
4
2
4
2
N
S
S
N
N
N
N
2
SN
π
4π
1
4π
1
4π
R
aT
R
aT
R
r
2
2
8
S
4
4
N
S
2
12
SN
1 7.0 10
6000 53K
4
4 4.5 10
R
T
T
r