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110 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）試題
編號： （學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為 46 分。
2. 考試時間：2小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將演算過程依序填寫在答案卷內。
問題一：已知
,ab
為正整數，
22
ab+
除以
ab+
的商為
q
，餘數為
r
，求所有滿足
22021qr+=
的數對
( )
,ab
。
(12 分)
問題二：設
,,,,,abcABC
為實數，且
0, 0
aA
≠≠
。假設對所有的實數
x
，不等式
22
ax bx c Ax Bx C+ +≤ + +
恆成立，試証明
22
44b ac B AC− ≤−
。
(12 分)
《背面尚有試題》
問題三：已知
1z=
（
z
為複數），求
3
2
zz
−+
的最大值。
(10 分)
問題四：(1)設
()px
為一個整係數多項式。若
m
為
()px
的一個整數根，則
() 2px+
（或
() 2px−
）的整數根只有可能為
1m±
或
2m±
。 (4 分)
(2)設
()px
為一個
n
次的整係數多項式。試証明
()
() () 2px px+
最多只有
2
n+
個整數根。 (8分)
《試題結束》
110 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）解答
問題一：已知
,ab
為正整數，
22
ab+
除以
ab+
的商為
q
，餘數為
r
，求所有滿足
22021qr+=
的數對
( )
,ab
。 (12 分)
【解】
按題意，我們有
(1) 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2=𝑞𝑞(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+𝑟𝑟, 0≤𝑟𝑟≤𝑎𝑎+𝑏𝑏
(2) 𝑞𝑞2+𝑟𝑟=2021
(3) 𝑞𝑞2≤2021 <𝑞𝑞2+𝑎𝑎+𝑏𝑏（由(1),(2)）
(4) 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2<(𝑞𝑞+ 1)(𝑎𝑎+𝑏𝑏)…（由(1)）
由(4)，by 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2≥2𝑎𝑎𝑏𝑏，得2𝑎𝑎𝑏𝑏<(𝑞𝑞+ 1)(𝑎𝑎+𝑏𝑏).
因此，(𝑎𝑎+𝑏𝑏)2< 2(𝑞𝑞+ 1)(𝑎𝑎+𝑏𝑏)
⇒𝑎𝑎+𝑏𝑏< 2(𝑞𝑞+ 1)
⇒𝑎𝑎+𝑏𝑏≤2𝑞𝑞+ 1.
由(3)，𝑞𝑞2≤2021 <(𝑞𝑞+ 1)2.
Check 442=1936,452=2025 ⇒𝑞𝑞=44.
r = 2021 −𝑞𝑞2=85.
代入(1)，𝑎𝑎2+𝑏𝑏2=44(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+85
⇒(𝑎𝑎−22)2+(𝑏𝑏−22)2=1053
檢查：1053 =182+272.（唯一的兩平方和表示）
i.e. (|𝑎𝑎−22|,|𝑏𝑏−22|) =(18,27) or (27,18).
得(𝑎𝑎,𝑏𝑏)可能為(4,49), (49,4), (40,49), (49,40)
𝑎𝑎+𝑏𝑏=53 <𝑟𝑟
（不合）
Ans: (𝑎𝑎,𝑏𝑏)=(40,49) or (49,40)
問題二：設
,,,,,
abcABC
為實數，且
0, 0aA≠≠
。假設對所有的實數
x
，不等式
22
ax bx c Ax Bx C
+ +≤ + +
恆成立，試証明
22
44b ac B AC
− ≤−
。
(12 分)
【證明】
首先代入大的𝑥𝑥值⇒|𝐴𝐴|≥|𝑎𝑎|.
Case(1): 𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐴𝐴> 0
則𝐴𝐴𝑥𝑥2+𝐵𝐵𝑥𝑥+𝐴𝐴有兩個相異實根𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2
由|𝑎𝑎𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐|≤|𝐴𝐴𝑥𝑥2+𝐵𝐵𝑥𝑥+𝐴𝐴|，知𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2亦為𝑎𝑎𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐的根。
∴𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐> 0.
𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐴𝐴=𝐴𝐴2(𝛼𝛼1−𝛼𝛼2)2
≥𝑎𝑎2(𝛼𝛼1−𝛼𝛼2)2=𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐（根與係數的關係）
Case(2): 𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐴𝐴≤0且𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐≤0
不失一般性可假設𝐴𝐴≥𝑎𝑎> 0且𝐵𝐵= 0（變數𝑥𝑥取代為𝑥𝑥+常數）
𝐴𝐴𝑥𝑥2+𝐵𝐵𝑥𝑥+𝐴𝐴≥𝑎𝑎𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐≥0 for all 𝑥𝑥.
∴𝐴𝐴≥𝑐𝑐≥0.
4𝐴𝐴𝐴𝐴−𝐵𝐵2= 4𝐴𝐴𝐴𝐴≥4𝑎𝑎𝑐𝑐≥4𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑏𝑏2.
Case(3): 𝐵𝐵2−4𝐴𝐴𝐴𝐴≤0且𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐> 0.
𝑦𝑦=𝐴𝐴𝑥𝑥2+𝐵𝐵𝑥𝑥+𝐴𝐴的圖形不超過𝑥𝑥軸，則𝑦𝑦=(𝐴𝐴𝑥𝑥2+𝐵𝐵𝑥𝑥+𝐴𝐴)±(𝑎𝑎𝑥𝑥2+𝑏𝑏𝑥𝑥+𝑐𝑐)的圖
形也不超過𝑥𝑥軸。
∴(𝐵𝐵−𝑏𝑏)2−4(𝐴𝐴−𝑎𝑎)(𝐴𝐴−𝑐𝑐)≤0
(𝐵𝐵+𝑏𝑏)2−4(𝐴𝐴+𝑎𝑎)(𝐴𝐴+𝑐𝑐)≤0�相加得2(𝐵𝐵2−4𝑎𝑎𝑐𝑐)+ 2(𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐)≤0
∴𝑏𝑏2−4𝑎𝑎𝑐𝑐≤4AC −𝐵𝐵2.
問題三：已知
1z=
（
z
為複數），求
3
2zz−+
的最大值。
(10 分)
【解】
設𝑧𝑧=cos 𝜃𝜃+𝑖𝑖sin 𝜃𝜃, 0≤θ<2π.
設𝑓𝑓(𝑧𝑧)=|𝑧𝑧3−𝑧𝑧+ 2|=|(cos 𝜃𝜃+𝑖𝑖sin 𝜃𝜃)3−(cos 𝜃𝜃+𝑖𝑖sin 𝜃𝜃)+ 2|
=�(cos 3𝜃𝜃−cos 𝜃𝜃+ 2)2+(sin 3𝜃𝜃−sin 𝜃𝜃)2
=√6 + 4 cos 3𝜃𝜃−2cos 2𝜃𝜃−4cos 𝜃𝜃 ←中間用和角公式
令𝑡𝑡=cos 𝜃𝜃.
則𝑓𝑓(𝑧𝑧)=�6 + 4(4𝑡𝑡3−3𝑡𝑡)−2(2𝑡𝑡2−1)−4𝑡𝑡
= 2�4𝑡𝑡3−𝑡𝑡2−4𝑡𝑡+ 2
= 2�(2𝑡𝑡+ 1)2�𝑡𝑡−5
4�+13
4
∵𝑡𝑡−5
4< 0 ∴當t = −1
2時𝑓𝑓(𝑧𝑧)得最大值2�13
4=√13
Ans: √13
問題四：(1)設
()px
為一個整係數多項式。若
m
為
()px
的一個整數根，則
() 2px+
（或
() 2px−
）的整數根只有可能為
1
m±
或
2m±
。 (4 分)
(2)設
()px
為一個
n
次的整係數多項式。試証明
()
() () 2
px px+
最多只有
2n+
個整數根。 (8分)
【證明】
(1) Say 𝑝𝑝(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥−𝑚𝑚)𝑞𝑞(𝑥𝑥)，其中𝑞𝑞(𝑥𝑥)為整係數多項式。
若𝑙𝑙為𝑝𝑝(𝑥𝑥)± 2的整數根，則0 = 𝑝𝑝(𝑙𝑙)± 2 = (𝑙𝑙−𝑚𝑚)𝑞𝑞(𝑙𝑙)± 2.
因此𝑙𝑙−𝑚𝑚|2⇒𝑙𝑙−𝑚𝑚= ±1 or 𝑙𝑙−𝑚𝑚= ±2
Hence 𝑙𝑙=𝑚𝑚± 1 or 𝑙𝑙= m ± 2.
(2) 如果𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2)沒有整數根，敘述明顯成立。
設𝑚𝑚為𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2)的最小整數根
○
1若𝑚𝑚為𝑝𝑝(𝑥𝑥)的整數根，由引理知𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2的整數根只有可能是𝑚𝑚+ 1, 𝑚𝑚+ 2。
所以𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2)最多只有𝑛𝑛+ 2個整數根。
○
2若𝑚𝑚為𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2的整數根，把引理用到𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2，則𝑝𝑝(𝑥𝑥)的整數根只有可能是
𝑚𝑚+ 1, 𝑚𝑚+ 2。所以𝑝𝑝(𝑥𝑥)(𝑝𝑝(𝑥𝑥)+ 2)最多只有𝑛𝑛+ 2個整數根。