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110 學年度新北市(新店高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（二）試題
編號：___________（學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共七題填充題，每題 3分，滿分為 21 分。
2. 考試時間：1小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將答案填寫於對應題號欄內。
問題一：如圖，在三角形 ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵中， D 為 AC 邊上的一點。已知
𝐵𝐵𝐵𝐵
�
�
�
�
= 6，𝐴𝐴𝐷𝐷
�
�
�
�
= 5，𝐵𝐵𝐷𝐷
�
�
�
�
=𝑥𝑥，∠ABD =∠DBC，以及∠BCD 為直角。
則 𝑥𝑥 之值為 (一) 。
問題二：已知多項式 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥4−5𝑥𝑥3+ 3𝑥𝑥2+19𝑥𝑥 − 30 有一個複
數根 2+i，若實數 a 滿足 f (a) < 0，則 a 的範圍為 (二) 。
問題三：令 f (n) 為正整數 n 的各位數和，如 f (12345) = 15、
f ( f ( 12345)) = 6。試求 f ( f ( f (1234567892021))) = (三) 。
<背面尚有試題>
問題四：大圓桌旁有 18 張相異的椅子，圍成正 18 邊形放置，現有
5 人入坐，因為疫情關係，必需彼此不相鄰，且任意 1/3 圓都至少
有1位置坐人的方法有 (四) 種。
問題五：求 ∑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(𝛼𝛼+2𝜋𝜋
𝑛𝑛𝑘𝑘)
𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=0 = (五) 。
問題六：已知複數數列 ≪ 𝑧𝑧𝑛𝑛≫ 滿足 𝑧𝑧1= 1，𝑧𝑧𝑛𝑛+1 =𝑧𝑧𝑛𝑛+ 1 + 𝑛𝑛𝑛𝑛，
𝑛𝑛= 1,2,3, ⋯，其中 𝑛𝑛=√−1， 𝑧𝑧𝑛𝑛 為 𝑧𝑧𝑛𝑛 的共軛複數。
試求 𝑧𝑧2021 =U (六) 。
問題七：三角形 𝛥𝛥𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 滿足 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴+𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴 − 2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐵𝐵+𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐵𝐵= 0，
試求 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴=U (七) 。
<試題結束>
110 學年度新北市(新店高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（二）解答
問題一：如圖，x之值為 ？
【參考解答】
由題意知，
2
2
5 2tan 6
tan2
6 1 tan 136
x
xx
θ
θθ
+= = =
−−
化簡得到
32
5 36 180 0xx x
++−=
即，
2
( 3)( 8 60) 0x xx
− ++ =
因此，x = 3。
問題二：已知多項式 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥4−5𝑥𝑥3+ 3𝑥𝑥2+19𝑥𝑥 − 30 有一個複
數根 2+i ，若實數 a
滿足 f (a) < 0，則 a
的範圍為 ？
【參考解答】
實係數多項式，根必定共軛出現，所以多項式
()
fx
有因式
22
4 5 ( 2) 1 0xx x− + = − +>
，
22
( ) ( 4 5)( 6)fx x x x x= − + −−
得到
23a−< <
。
問題三：大圓桌旁有 18 張相異的椅子，圍成正 18 邊形放置，幾
個朋友共 5 人入坐，因為疫情關係，必需彼此不相鄰，且任意 1/3
圓都要至少有 1 位置有坐人的方法有幾種 ？
【參考解答】
先解
13xyzwu+++ +=
，滿足
1 ,,, , 5xyzwu≤≤
的整數解有幾組?
利用排容原理得
5 5 5 12 7
13 5 1 13 10 4 4
5 320
H CH C C
−−
− =−=
因為人不同，所以再乘以
185
即為答案 1152 種。
(若要簡單一點可以改成:12 張椅子，3人入座，任意半圓都要有
人。)
問題四：f (n) 為正整數 n
的各位數和，如 f (12345) = 15，而 f ( f
(12345)) = 6。試求 f ( f ( f (1234567892021))) = ？
【參考解答】
為了方便，設
2021
123456789 =a
。
因為
9
123456789 10<
，所以 a 最多
9 2021 18189×=
位數，
每位最大是9，所以
( ) 9 18189 163701fa<× =
，頂多是6位數。
所以
( ( )) 9 6 54f fa <×=
，頂多是2位數。
又 a 為9的倍數，所以
()fa
亦為 9的倍數，
( ( ))f fa
有可能為
9,18,27,36,45,54，
( ( ( ))) 9fffa =
。
問題五：求 ∑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐2(𝛼𝛼+2𝜋𝜋
𝑛𝑛𝑘𝑘)
𝑛𝑛−1
𝑘𝑘=0 = ？
【參考解答】
令
S
12
0
2
= cos ( )
n
k
k
n
π
α
−
=
+
∑
首先，我們先化簡有限級數
S
，利用倍/半角公式
2
1 cos2
cos 2
θ
θ
+
=
可得
S
1
0
12
= cos2( )
22
n
k
n
k
n
π
α
−
=
++
∑
現在我們令
S’
1
0
2
= cos2( )
n
kk
n
π
α
−
=
+
∑
在此我們利用和/分角公式
11
sin( ( ) ) sin( ( ) )
22
cos( )sin 22
kk
k
α θα θ
θ
αθ
++ − +−
+=
可得
1
0
11
sin( ( ) ) sin( )
22
cos( ) sin 2
n
k
n
k
α θ αθ
αθ θ
−
=
+− − −
+=
∑
則我們藉由
4
( 2, )
2
π
α αθ
←←
可得
'0S=
則
2
n
S=
。
問題六：已知複數數列{𝑧𝑧𝑛𝑛}滿足 𝑧𝑧1= 1，𝑧𝑧𝑛𝑛+1 =𝑧𝑧𝑛𝑛+ 1 + 𝑛𝑛𝑛𝑛，𝑛𝑛=
1,2,3 ⋯，其中𝑛𝑛=√−1，𝑧𝑧𝑛𝑛 為 𝑧𝑧𝑛𝑛 的共軛複數。試求
𝑧𝑧2021 = ？
【參考解答】
𝑧𝑧𝑛𝑛+2 =𝑧𝑧𝑛𝑛+1 + 1 + (𝑛𝑛+ 1)𝑛𝑛=𝑧𝑧𝑛𝑛+1+𝑛𝑛𝑛𝑛 + 1 + (𝑛𝑛+ 1) 𝑛𝑛=𝑧𝑧𝑛𝑛+ 2 + 𝑛𝑛
所以
𝑧𝑧2021 =𝑧𝑧2019 +2+𝑛𝑛=𝑧𝑧2017 + 2(2 + 𝑛𝑛) = ⋯=𝑧𝑧1+1010 ⋅(2 + 𝑛𝑛)
=2021 +1010𝑛𝑛.
問題七：三角形𝛥𝛥𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 滿足 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴+𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴 − 2
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐵𝐵+𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛 𝐵𝐵= 0，試求
𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴= ？
【參考解答】
由√2𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛(𝐴𝐴+𝜋𝜋
4)−√2
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛(𝐵𝐵+𝜋𝜋
4)= 0
得到 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛(𝐴𝐴+𝜋𝜋
4)⋅𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛(𝐵𝐵+𝜋𝜋
4) = 1，
因為0≤𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛(𝐴𝐴+𝜋𝜋
4)、
sin( ) 1
4
B
π
，
所以只有𝐴𝐴=𝐵𝐵=𝜋𝜋
4滿足條件，故𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴=𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜋𝜋
4=1
√2.