加載中. ..
PDF
1
北北基高級中等學校 113 學年度學測模擬考數學 A(113-E3)
第壹部分：選擇題(占85 分)
一、單選題(占30 分)
1. 在生態學上的研究指出島嶼的物種數量與島嶼面積有明顯的關聯性，物種數 S(單位：種)
與島嶼面積 A(單位：平方公里)的關條式為 logS=logc+zlogA，其中 c與z均為常數，且
0c>
。已知甲島嶼和乙島嶼的面積分別為 36000 平方公里與 450 平方公里，若常數
z=0.25，則甲島嶼的物種數除以乙島嶼的物種數最接近下列何者？
(1) 0.5 (2) 2 (3) 3 (4) 8 (5) 80
2. 動漫製作公司為了回饋長期支持的粉絲，打算舉辦動漫回饋祭的活動，只要參加活動的
粉絲即可免費獲得某角色的公仔一隻。已知該角色公仔頭上的帽子、身上穿的披風、左
手的手環、右手的手套、腰上的包包共五個配件，每個配件的顏色均有 16 種不同顏色可
供選擇其中一種，且顏色可重複選擇。設該角色公仔的五個配件顏色共有 n種不同的搭
配情形，試問下列何者正確？ (1)
2
10 10n≤<
(2)
45
10 10n≤<
(3)
67
10 10n≤<
(4)
9 10
10 10
n≤<
(5)
11 12
10 10n≤<
3. 設宇集為所有實數 R，已知
{ | 3 8}, { | 3 8}A x xa B x x
= − ≤ = −≤ ≤
，試問有多少個整數 a使
得
AB⊆
？ (1) 17 個 (2) 18 個 (3) 19 個 (4) 20 個 (5) 21 個
4. 在銳角△ABC 中，已知
AB AC BC>>
，則 sinB的最大範圍為下列何者？
(1)
1
0 sin 2
B<<
(2)
2
0 sin 2
B<<
(3)
1sin 1
2B<<
(4)
2sin 1
2B<<
(5)
3sin 1
2B<<
5. 設三次函數
3
( ) 3( 2) ( 2)f x x ax b= − + −+
，已知
()y fx=
圖形的對稱中心位於第一象限，
且將
()
y fx=
的圖形做適當平移後會與 x軸交於相異三點。試問
()y fx
=
的圖形在對稱中
心附近可能會近似下列哪一直線？ (1)
23
yx= +
(2)
4
yx= −
(3)
2yx=−−
(4)
23yx=−+
(5)
38yx=−+
6. 假設實數
12345678
,,,,,,,aaaaaaaa
是一個公比為 r的等比數列，其中
10, 1ar> <−
。試問從
這8個數中隨機選出 2個數的總和為負數的機率為下列何者？
(1)
3
14
(2)
2
7
(3)
5
14
(4)
3
7
(5)
4
7
二、多選題(占30 分)
7. 設
22
log(log2024), log(2024 ), (log2024)a bc= = =
，
試選出正確的選項。
(1)
6
b>
(2)
bc<
(3)
ab>
(4)
log 2ba=
(5)
10ac=
8. 設a, b, c皆為實數，已知多項式
43
()f x x ax bx c=+ ++
除以
3
1x+
的餘式為
31x−
，且
()fx
除以
1
x−
的餘式為
2−
，試選出正確的選項。 (1)
()fx
除以
1x+
的餘式為 2
(2)
()fx
除以
2
1xx−+
的餘式為
31x−
(3)
3abc++=−
(4)
ac<
(5) 不等式
() 3 1fx x>−
的解為
1x>−
9. 某公司七位員工原來月薪的平均數為 41000 元，標準差為 8000 元，而敏恩、慧志、亞丞
為其中三位員工，其月薪分別為 53000 元、33000 元、29000 元。今年因為公司營運方式
改變，老闆將七位員工的月薪以
y ax b= +
的方式來調整，其中
0a>
，且 x，y分別代表
七位員工調整前後的月薪(單位：元)。已知調整後七位員工月薪的平均數為 42800 元，標
RA3100
2
準差減少 1600 元，試選出正確的選項。 (1)
1a>
(2) 慧志調整後的月薪為 36400 元
(3) 慧志與亞丞調整後的月薪差距比調整前的月薪差距大 (4) 該公司七位員工調整後的
月薪高低排名與調整前相同 (5) 該公司七位員工調整後的月薪均比調整前的月薪多
10.在坐標平面上，設△ABC 的外心為 M(a, b)，其中兩頂點坐標為
( 10, 5), ( 14,5)AB−− −
。已
知外心 M到x軸、y軸的距離比為 2:1，試選出正確的選項。 (1)
| | 2| |ab=
(2) M點必位於直線
2 5 24 0xy−+=
上 (3) M點必位於直線
20xy−=
上 (4) M點不可能
位於第四象限 (5)
CM
長的最小值為
290
11.某校數理資優班有 5位同學參加校內數學競賽的培訓測驗，測驗內容分為筆試一與筆試
二，亦程因為考試當天腸胃炎，所以只能參加補考。設 x, y分別表示當天其餘 4位同學
筆試一與筆試二的分數，其中筆試一與筆試二的平均分數分別為 60 分與 40 分，筆試一
的標準差為
25
分，x與y的相關係數為
4
5
，y對x的迴歸直線為
2
: 16
5
Ly x= + 。已知亦
程筆試一與筆試二的補考成績分別為 60 分與 40 分，假設含亦程等 5位同學筆試一與筆
試二的分數分別為
x′
與
y′
，其平均分數分別為
x
µ
′
與
y
µ
′
、標準差分別為
x
σ
′
與
y
σ
′
，試
選出正確的選項。 (1)除亦程以外的 4位同學筆試二的標準差為 5分 (2)
60
x
µ
′=
(分)
(3)
25
x
σ
′
=
(分) (4) 含亦程等 5位同學筆試一與筆試二的相關係數為
2
5
(5)
y′
對
x′
的迴歸直線為
216
5
yx
′′
= +
12.設I為△ABC 的內心，已知
3, 7, 8AB BC AC= = =
，且直線 AI 與△ABC 的外接圓
Г
交於
點D，試選出正確的選項 (1)
1
cos 3
BAC∠=
(2) 圓
Г
的半徑長為
7
3
(3) 劣弧
BC
的
弧長為
73
9
π
(4)
7
3
BD =
(5)
11 3
3
AD =
三、選填題(占25 分)
13.設遞迴數列
n
a
滿足
1
1
,2
nn
a
a a kn
α
−
=
=+≥
，其中
α
與k均為正數。若
35
2 60
aa+=
，則
k
α
×
的最大值為 。
14.在長方形 ABCD 中，
6, 2AB AD= =
，且 E，F分別位於
AB
與
CD
上，其中四邊形 BCFE
為正方形。若將正方形 BCFE 以E點為中心順時針旋轉 15°後得到正方形
BCFE
′′′
，如下
圖所示，則
DEC′
∆
的面積為 。(化為最簡根式)
15.當兩個整數除以同一個正整數 m，若得相同餘數，則稱此二整數同餘於模 m。今將所有
的正整數中，除以 5餘4的數，由小至大排列成一個數列
n
a
，即這些數均同餘於模 5。
若將數列
n
a
中可被 2整除的數，由小至大排列成一個數列
n
b
，則
22 2
1 2 10
bb b++ +
。
3
16.連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 a, b，在坐標平面上，將直線
:3 4 0Lx y+=
向右平移 a單位，再向上平移 b單位後得直線
L′
，則直線
L′
與圓
22
: 25xyΓ +=
交點個數的期望值為 個。(化為最簡分數)
17.在△ABC 中，已知
60A
∠=
，D在
AC
上，且滿足
: 1:3AD CD =
。若△ABD 的外接圓直
徑為 2，則
AB AC
+
的最大值為 。(化為最簡根式)
第貳部分：混合題或非選擇題(占15 分)
18-20 題為題組
卡帕利用假日到附近的國家公園健走，已知入口處位於公園的坐標地圖上 A點，卡帕自
A點出發沿著方向
(1, 3)
u=
前進 2 10 個單位長後，抵達位於 B點的觀霧瀑布步道稍作休
息，再從 B點沿著方向 (2, 1)v= −
前進
||kv
個單位長後到達 C點的榛山步道，其中
0k>
，
試回答下列問題。
18. 試問
BA
在
BC
上的正射影長為下列何者？(單選題，3分)
(1)
10
10
(2)
2
5
(3)
5
5
(4)
10
5
(5)
25
5
19. 試求
||AC
的最小值及此時的 k值。(非選擇題，4分)
20. 設卡帕自 C點朝向 A點前進的途中會經過 D點，已知
: 2:1AD DC =
，且
15k≤≤
，試求
||
BD
的最小值及此時的 k值。(非選擇題，8分)
參考數值：
2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.449, 3.142
π
≈ ≈ ≈ ≈≈
。
指對數值：
log 2 0.3010, log3 0.4771, log5 0.6990, log7 0.8451≈≈≈≈
。
4
RA3100 北北基高級中等學校 113 學年度學測模擬考數學 A(113-E3)
參考答案
選擇題：1. (3) 2. (3) 3. (2) 4. (4) 5. (5) 6. (5) 7. (1)(2)(5) 8. (2)(3)
9. (2)(4) 10. (2)(4) 11. (1)(2)(5) 12. (2)(4)(5)
選填題：13. 30 14.
22 6+
15. 32260 16.
37
36
17.
2 21
混合題：18. (5) 19. 最小值
14 5
5
，此時
2
5
k=
20. 最小值
2 17
3
，此時
1k=