1
臺北區
臺北區
臺北區
臺北區 111 學年度第一學期第二次學測模擬考
學年度第一學期第二次學測模擬考
學年度第一學期第二次學測模擬考
學年度第一學期第二次學測模擬考
數學
數學
數學
數學 A(111-B2)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
1. 在坐標平面上，直線
y
mx k
=
+
的圖形如右圖所示，其中 m、k
皆為實數，則下列哪一個式子是正確的？
(1)
1
mk
< − (2)
1
0
mk
− <
< (3)
0
mk
=
(4) 0
1
mk
<
< (5)
1
mk
>
2. 小明、小美與小強三人進行籃球戰術訓練。訓練過程中，小明在戰術板上以三角形 ABC
中的 A 點為起點，繞一圈再回到 A 點。小明先行測出
(1, 2)
AB
=
，小美測出
5
BC
= ，小
強測出
(2 ,
)
CA
x
x
=
−
且 x 為大於 0 的實數，請問 x 之值為何？
(1)
1
2
(2)
3
4
(3) 1 (4) 2 (5)
6
2
3. 某國有一個經濟學家提出一個觀察：年收人超過 x 美元(x 為正整數)的人數占全體人數的
k
c
x
(其中
1
3
k
=
，c 為一常數)。己知該國人民年收人的第 50 百分位數為 8000 美元，則該
國人民年收人的第 75 百分位數約為多少美元？ (1)2300 美元 (2) 6400 美元
(3) 12000 美元 (4) 23000 美元 (5) 64000 美元
4. 已知
3
( )
4
3
f x
x
x
= −
+
，若
(sin )
sin 2
f
θ
θ
=
且
θ
為銳角，試問 cos
θ
為下列哪一個選項中方
程式的根？ (1)
2
1 0
x
x
− − =
(2)
2
2
1 0
x
x
− − =
(3)
2
4
2
1 0
x
x
−
− =
(4)
2
4
2
1 0
x
x
+
− =
(5)
2
1 0
x
x
+ + =
5. 已知正立方體 ABCD-EFGH，將其六個面之中心點 P、Q、R、
S、M、N 相連，形成正八面體，如右圖所示，請問平面 MQR
與平面 BCF 夾角的餘弦值為多少？
(1)
1
3
±
(2)
1
2
±
(3)
2
2
±
(4)
3
2
±
(5)
3
3
±
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
6. 坐標平面上三點
(1, 0)
P
、
1
3
(
,
)
2
2
Q
−
、
1
3
(
,
)
2
2
R
−
−
且原點為
(0, 0)
O
，對於下列二階方陣
的敘述，請選出正確的選項。
1
0
0
1
A
=
−
，
1
3
2
2
3
1
2
2
B
−
−
=
−
，
1
3
0
1
C
=
，
2
0
0
3
D
=
，
4
3
2
1
E
=
(1) Q 點經過 B 的變換後，變換至 R 點 (2) 「△PQR 經過 B 的變換後所得圖形面積」=
「△PQR 經過 C 的變換後所得圖形面積」 (3) 若 Q 點經過 C 的變換後，變換至
Q′
點，
則「Q 點到原點的距離」＝「
Q′
點到原點的距離」 (4) △PQR 經過 A, B, C, D, E 的各自
變換後，其中有 3 個變換保持△PQR 原本的形狀和大小 (5) △PQR 經過 E 的變換後所
得圖形面積為
3 3
2
RA4102
x
y
y
mx
k
=
+
O
(1, 0)
(0,1)
(0, 2)
2
7. 對於下列的敘述， 請選出正確的選項。 (1) 若 0
1
b
<
< ，則
6
7
b
b
−
−
>
(2) 若 0
b
a
<
< ，
則
1
1
2
2
1
1
log
log
b
a
>
(3)
若 0 b a
<
< ，則
1
1
1
2
2
2
1
log
log
log
2
2
a
b
a
b
+
+
<
(4)
4
2 log
y
x
=
的
圖形可經平移後與
2
log 4
y
x
=
的圖形重合
(5)
方程式
2
log
1
0
x
x
+ − = 恰有兩個實數解
8.
如右圖所示，
90
B
∠ =
。已知
8
DE
= ，
5 3
tan
11
CDE
∠
=
，
7
CD
=
，
5
BC
= ，
10
AB
=
，請選出正確的選項。
(1)
11
cos
14
CDE
∠
=
(2)
0
30
CDE
< ∠
<
(3)
30
BAC
∠
=
(4)
5
CE
=
(5)
5( 5 1)
AE
=
−
9.
已知有
A
，
B
，
C
三個袋子，各有三種色球若干個，其組成個數如下：
A
袋
(
綠球
4
個，藍球
5
個，白球
3
個
)
﹔
B
袋
(
綠球
5
個，藍球
5
個，白球
2
個
)
﹔
C
袋
(
綠球
6
個，藍球
3
個，白球
3
個
)
，有一抽獎遊戲規則如下：
先從
A
，
B
，
C
三個袋子中取出一袋，每個袋子被取出的機會相同，再從袋中一次取兩球
，每個球被取出的機會亦相同。若取出兩個綠球或兩個藍球可得
100
元，若取出兩個白
球可得
150
元。若取出綠白各一球或藍白各一球可得
200
元，若取出綠藍各一球可得
250
元。對於下列的敘述，請選出正確的選項。
(1)
在
A
，
B
，
C
三個袋子中，
B
袋取出兩個白球的機率最小
(2)
在
A
，
B
，
C
三個袋子中，
C
袋取出異色兩球的機率最大
(3)
在
A
袋中，至少獲得獎金
150
元的機率大於
5
6
(4)
在
A
袋中，獎金期望值小於
200
元
(5)
在
A
，
B
，
C
三個袋子中，從
C
袋獲得獎金的期望值為最高
10.
關於函數
( )
3 cos(2
) sin 2
3
f x
x
x
π
=
+
+
，請選出正確的選項。
(1)
( )
f x
的最小值為
1
− (2)
( )
f x
是一個週期函數，其週期為
π (3)
( )
y
f x
=
的圖形對
稱於鉛垂線
6
x
π
= −
(4)
在
5
0
12
x
π
≤ <
範圍內，
( )
y
f x
=
的圖形為遞減
(5)
把
cos 2
y
x
=
的圖形向左平移
12
π
單位後，可得
( )
y
f x
=
的圖形
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題(占
占
占
占 35 分
分
分
分)
11.
設
0,
0
a
b
>
>
且
49
ab
=
，則
9
4
1
a
b
+
−
的最小值為
。
(
化為最簡分數
)
12.
已知等比數列
n
a 的每一項均為實數，前
9
項的乘積為
1
，且
13
1
16
a
=
，則
1
3
5
7
9
11
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
=
。
(
化為最簡分數
)
13.
設
( ,1)
(1, )
(2,3)
A a
B
b
P
、
、
為坐標平面上三點，已知
PA
與
PB
互相垂直，當行列式
2
2
a
b
b
a
−
的值為最小值時，則此時△
PAB
的面積為
。
14.
為了有效防止
COVID-19
疾病傳播及降低染病後的重症率和死亡率，某國政府通過
A
、
M
、
B
、
G
四種
COVID-19
疫苗的緊急授權
(EUA)
，供符合年齡的該國國人施打第
1
劑。依
據該國政府規定，民眾以完成同一廠牌
COVID-19
疫苗
2
劑
(
基礎劑
)
接種為原則，若第
2
劑要實施混打的民眾，施打規定如下表一；另外，第
3
劑
(
追加劑
)
的施打規定如下表二，
A
B
C
D
E
3
其中，若前兩劑疫苗混打，第 3 劑規定只可選擇已經施打過的疫苗廠牌，不可施打第三
種疫苗廠牌。請間，依該國的規定，民眾若都接種完整的三劑疫苗，請問在疫苗接種紀
錄卡上，最多可以看到 種不同的接種結果。
表一：第 2 劑混打的施打規定 表二：第 3 劑(追加劑)的施打規定
15.某遊樂園擬於矩形泳池 ABCD 區域中，設置一滑水道，上視圖如圖(一)，上視圖中滑水道
矩形區城，其長邊平行 CD 。此高 20 公尺的滑水道縱剖面圖形為三次函數圖形的一部分
，如圖(二)所示，且滑道中點恰為三次函數圖形的對稱中心。又為安全考量，在中點附近
的圖形近似於斜率為
1
2
的直線，在水道接近水面附近的圖形近似於斜率為
1
4
的直線。則
邊長 CD 至少為 公尺。(四捨五入至整數位)
16.若在空間中
(1, 2,
1)
a
x
=
−
、
( 1, 2,
3)
b
x
= −
+
與
(4,1,
)
c
x
=
−
，三個向量皆互相垂直，
則 x 為 。
17.某國海軍潛艇在兩國邊界巡邏時被魚雷打中擊沉，搜尋小隊經過分析後得出：潛艇殘骸
有 20%的機率落在本國海城，此時打撈殘骸的成功機率為 80%，另外有 80%的機率落在
敵國海域，則打撈作業較為危險，只有 20%的成功機率。當在本國海城打撈失敗時，會
重新進行第二次打撈，若還是失敗，會重新進行第三次打撈後即停止，每次打撈成功的
機率都不會改變，但在敵國海城只會打撈一次。若潛艇殘骸被打撈成功，則是在本國海
域打撈起來的機率為 。(化為最簡分數)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(占
占
占
占 15 分
分
分
分)
18-20 題為題組
某生決定投擲一顆公正的骰子，來模擬產生多項式的係數，假設第一次出現的點數為 a
第二次的點數為 b，第三次的點數為 c，則生成二次多項式
2
( )
9
f x
ax
x
a
=
+
+ 與三次多項
式
3
2
( )
(
1)
( )
1
2
c
g x
x
b
x
x
=
+
+
+
+
，試問：
18.若 a、b、c 為相異三數，且多項式
( )
f x
與
( )
g x
的係數皆為整數，則總共可產生多少組不
同的多項式
( )
f x
和
( )
g x
？ (單選題，3 分)
(1)
6
3
C
(2)
6
3
P
(3)
3
5
4
1
1
1
C
C
C
×
×
(4)
3
5
1
2
C
C
×
(5)
3
6
1
2
C
P
×
19.若
2
( )
9
f x
ax
x
a
=
+
+ 的圖形恆在 x 軸上方，求 a 之值。(非選擇題，5 分)
20.若
3
2
( )
(
1)
( )
1
2
c
g x
x
b
x
x
=
+
+
+
+
的對稱中心為點
( , )
α β
，求
( , )
α β
為整數點的機率。
(非選擇題，7 分)
第 1 劑廠牌 第 2 劑可接種廠牌
基礎劑
(第 1 劑、第 2 劑)
同廠牌
追加劑
(第 3 劑)
可接種廠牌
A
M、B、G
M
B、A、G
B
M、A、G
M、B、G
M、B、G、A
G
M、B
A
M、B、G
4
RA4102
臺北區
臺北區
臺北區
臺北區 111 學年度第一學期第
學年度第一學期第
學年度第一學期第
學年度第一學期第二
二
二
二次學測模擬考數學
次學測模擬考數學
次學測模擬考數學
次學測模擬考數學 A(111-B2)
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(1)
2.
(4)
3.
(5)
4.
(3)
5.
(5)
6.
(1)(2)(5)
7.
(4)(5)
8.
(1)(4)(5)
9.
(1)(4)
10.
(1)(2)(4)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：11.
5
7
12.
63
8
13.
2
14.
37
15.
48
16.
2
−
17.
31
56
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：18.
(3)
19.
5
或
6
20.
1
4