1
全國公私立
全國公私立
全國公私立
全國公私立 111 學年度第
學年度第
學年度第
學年度第三
三
三
三次學測模擬考
次學測模擬考
次學測模擬考
次學測模擬考數學
數學
數學
數學 B
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
1. 試問下列哪一個選項是不等式
|
2 |
2
x
x
−
≥ −
的所者解所成的集合？
(1)
{
}
|
2,
x x
x
R
≤ −
∈
(2)
{
}
|
2,
x x
x
R
≥ −
∈
(3)
2
| 2
,
3
x
x
x
R
− ≤
≤
∈
(4)
2
|
,
3
x x
x
R
≤
∈
(5)
2
|
,
3
x x
x
R
≥
∈
2.
坐標平面上，函數
log(
1)
y
x
=
+
的圖形上有三個點
( ,3)
a
，
(1, )
b
，
(4, )
c
，則
log(
)
y
a b c
=
+ +
的值為下列哪一個選項？
(1) 6 (2) 5 (3) 4 (4) 3 (5) 2
3.
在△ABC 中，若3sin
4 sin
6 sin
A
B
C
=
=
，則
B
∠
的弧度最在下列哪一區間內？
(1) ( ,
]
6 4
π π
(2) ( ,
]
4 3
π π
(3) ( ,
]
3 2
π π
(4)
2
( ,
]
2
3
π
π
(5)
2
3
(
,
]
3
4
π
π
4.
一袋中有紅色與藍色球各一顆，其中有一顆球上被標記獎金
10
元，另一顆球上被標記獎
金
20
元。今有一個遊戲規則如下：每次從袋中取出一球
(
每顆球被取到的機會相等
)
，取
後放回，直至有一種顏色被取出兩次，就停止取球
(
例如：紅色、藍色、紅色是一種取法
)
。過程中，記錄每次取出之球上的獎金，最後將每次紀錄的獎金相加，即為玩此遊戲一
次所得的獎金。試問：玩此遊戲一次，所得獎金的期望值為多少元？
(1) 45 (2) 42.5 (3) 40 (4) 37.5 (5) 35
5.
己知有一正五邊形
ABCDE
，如圖
(1)
，今我們希望分別在
5
個角的地方以圓滑的曲線取代
尖銳的角，作法如下：作一個半徑為
1
單位長的圓與角
A
的兩個邊相切，設切點為
P
，
Q
則以 PQ 取代角
A
，如圖
(2)
，其餘
4
個角作相同的處理方法，最後得一圓滑的封閉曲線 Γ
，如圖
(3)
。試問： Γ 的周長比正五邊形
ABCDE
的周長少多少單位長？
(1)
10 tan 36
2
π
−
(2)
5sin 54
π
− (3) 10 cos 36
2
π
−
(4)
5
sin 54
π
−
(5)
5
cos 36
π
−
6.
研究發現
A
、
B
兩種流行病病毒在沒有任何防疫作為下，累積染疫人數會成指數成長，
A
病毒只要
2
天累積染疫人數就會變兩倍，而
B
病毒則需
3
天累積染疫人數才會變兩倍，
且知
A
、
B
兩種流行病的發展不會互相影響。若某地目前
B
病毒的累積染疫人數是
A
病毒
的
10
倍，在不採取任何防疫措施下，最快多少日後
A
病毒的累積染疫人數就會超過
B
病
毒的累積染疫人數？
(1) 24
日
(2) 22
日
(3) 20
日
(4) 18
日
(5) 16
日
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
7.
下列何選項的解與不等式 2
1 3
5
8
x
x
− < <
+ 之解相同？
(1)
| 2
1| 1
x
− < (2)
2
2
x
x
> + (3)
2
3
(
1) (
8)
0
x
x
+
−
<
(4)
1
2
2
4
x
−
<
< (5)
3
log (
1) 1
x +
<
RB304
2
8.
設
( )
f x
是領導係數為正的三次多項式，
3
(
1)
x −
除
( )
f x
餘式為 2
3
x
+ ，則下列選項哪些正
確？
(1)
( )
y
f x
=
圖形的對稱中心點為
(1,3) (2)
(3
2)
( 1
2)
6
f
f
−
+
− +
=
(3)
( )
y
f x
=
圖形在對稱中心點處的一次近似為
2
3
y
x
=
+ (4)
方程式
( )
0
f x
=
可能有三
個相異實根
(5)
( )
y
f x
=
圖形與直線
3
2
0
x
y
− + =
恰有三個相異交點
9.
在坐標平面上有兩個非零且不平行的向量
,
,|
| 1,|
|
3
a b
b
a
b
=
+
=
，且
a
b
+
與
b
垂
直，試問下列選項哪些是正確的？
(1)
1
a b
⋅
= (2) |
| 2
a
= (3) a
與
b
的夾角為
120 (4) |
|
7
a
b
−
=
(5) a
b
+
與
a
b
−
夾角的餘弦值為
21
7
10.
已知有
10
組二維數據
1
1
2
2
3
3
10
10
( ,
), ( ,
), ( ,
),
,(
,
)
x y
x y
x y
x
y
⋯
，
x
與
y
的算術平均數分別為
7,
4
x
y
µ
µ
=
=
；標準差分別為
,
x
y
σ σ
，
x
與
y
的相關係數為
0.3
，且以最小平方法所求得的
y
對
x
的迴歸直線
(
最適合直線
)
通過點
(2,1)
。試問下列選項哪些是正確的？
(1)
2
2
2
2
1
2
3
10
490
x
x
x
x
+
+
+
+
>
⋯
(2) y
對
x
的迴歸直線方程式為
3
1
5
5
y
x
=
−
(3)
2
y
x
σ
σ
=
(4)
若
1,
2
3,
1, 2, 3,
,10
i
i
i
i
u
x
v
y
i
=
+
= −
+
=
…
，則數據
( , )
i
i
u v
的相關係數為 0.6
−
(5)
同
(4)
，
v
對
u
的迴歸直線斜率為
6
5
−
11.
已知
x
, y
平面上，直線
1
2
: (sin ) ,
:
2
L
x L
y
x c
θ
=
+
，其中
θ
與
c
為常數，則關於直線
1
2
,
L L
的
敘述哪些是正確的？
(1)
1
L
與
2
L
可能平行
(2)
1
L
與
2
L
可能垂直
(3)
1
L
與
2
L
兩直線一
定恰交於一點
(4)
1
L
、
2
L
與
x
軸，三直線可能圍成一等腰直角三角形
(5)
1
L
與
2
L
的銳
夾角可能為
15
12.
設
A
，
B
，
C
為坐標平面上相異三點，
A
點在第三象限，
,
AB AC
的斜率分別為
1
2
，
3
，且
△
ABC
之外心坐標為
(1, 2)
，若點
P
滿足
AP
BP
>
且 AP CP
>
，則點
P
坐標可為下列哪些
選項？
(1)
(2,1) (2) ( 1,3)
−
(3) ( 101, 1)
−
(4) ( 2,1) (5)
1
(
, 6)
2
−
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
13.
已知等比數列
n
a
的首項
1
0
a
>
，公比
r
> 1
，且
5
7
6
3
4
a
a
a
+
=
，若此數列中有兩相異項
,
i
j
a a
滿足
7
i
j
a
a
a
×
=
，則
r
i
j
+ +
之值為
。
14.
將
a
, a, b, c, d, e
六個字母全取排成一列，試問
a
與
b
不相鄰的排法有
種。
15.
甲、乙、丙三位同學輪流負責校慶三日期間
每日升降旗工作，無論升降旗，每人恰排
2
次，且同日升降旗需不同人，例如表
(1)
，
則共有
種不同的排法。
16.
設
n
a
為公差非零的等差數列，數列
n
b
滿足
3
n
a
n
b
=
，今自
1
2
3
100
b b
b
b
⋯⋯
、 、 、
、
中任取
3
數，設每數被取到的機會均等，則取出的三數是可經由小而大排序後成等比的機率為
。
表
(1)
第一天
第二天
第三天
升旗
甲
甲
乙
降旗
乙
丙
丙
3
17.
如圖
(4)
，設 AO 平分 BAC
∠
，
4
AB
=
、
6
AO
=
、
25
AC
=
，則 OC
=
。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題(占
占
占
占 15 分
分
分
分)
第
18
至
20
題為題組
坐標平面上有四點
(0, 0)
O
，
(3, 0)
A
，
(2, 2)
B
，
(4,1)
C
，點
( , )
P x y
滿足
| 3
| 3
OP OA OB OC
−
−
−
=
，試回答下列問題。
18.
滿足條件的動點
P
的軌跡圖形為何？
(
單選題，
4
分
)
(1)
直線
(2)
線段
(3)
三角形
(4)
圓
(5)
拋物線
19.
直線
OP
的斜率最大值為
。
(
化成最簡分數
) (
選填題，
4
分
)
20.
試求△
PAC
面積的最大值。
(
非選擇題，
7
分
)
A
B
C
O
圖(4)
4
RB304
全國公私立
全國公私立
全國公私立
全國公私立 111 學年度第三次學測模擬考數學
學年度第三次學測模擬考數學
學年度第三次學測模擬考數學
學年度第三次學測模擬考數學 B
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(2)
2.
(4)
3.
(2)
4.
(4)
5.
(1)
6.
(3)
7.
(4)(5)
8.
(3)(5)
9.
(2)(3)(4)(5)
10.
(1)(2)(3)(5)
11.
(2)(3)
12.
(3)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：13.
17
14.
144
15.
48
16.
1
66
17.
20
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：18.
(4)
19.
3
4
20.
1
( 2 1)
2
+