1
全國公私立高中 113 學年度第四次學測模擬考數 A(南一)
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 30 分)
1. 下列關於指數與對數的敘述，試選出正確的選項。(1)
(
)
2
2
log
=
π
π
(2)
( )
( )
( )
π
π
π
6
3
2
log
log
log
=
+
(3)
27
2
2
>
×
−
+
π
π
π
(4)函數
x
y
π
=
的圖形恆在 y
軸右方 (5)函數
( )
x
y
π
log
=
的圖形與函數
x
y
π
=
的圖形有兩個交點
2. 已知等比數列
n
a
a
a
,
,
,
2
1
共有
n
項，每一項皆為正整數，且
1
1
=
a
、
20
2
=
n
a
。
試問
n
的值可能為下列哪一個選項？ (1) 20 (2) 15 (3) 12 (4) 10 (5) 5
3. 在坐標空間中，已知
(
)
3
,
2
,
1
−
A
與
(
)
5
,
6
,
3
−
B
兩點到平面 E 的距離相等，且平面 E 與平
面
5
2
2
:
=
−
+
z
y
x
F
沒有交點，則點
(
)
2
,
0
,
4
到平面 E 的距離為何？ (1) 2 (2)
3
7
(3)
3
8
(4) 3 (5)
3
10
4. 設實數
0
>
x
，則函數
( )
16
4
2
4
2
+
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
f
的最大值為何？
(1) 8
− (2) 19
− (3) 8 (4) 13 (5) 17
5. 甲、乙兩人依下列規則進行遊戲：每次先由甲從 1 到 6 中任意選取一數，再由乙投擲一
個公正骰子並觀察點數。當甲選取的數字等於乙投擲骰子出現的點數時，稱為「成
功」。並繼續這個過程，直到「成功」次數為 2 時遊戲結束。已知在乙投擲第三次骰子
後，遊戲尚未結束，試問乙投擲第四次骰子後，遊戲就結束的機率為何？
(1)
4
1
(2)
8
1
(3)
12
1
(4)
16
1
(5)
20
1
6. 已知三次實係數多項式
( )
x
f
的最高次項係數為 2，且函數
( )
x
f
在
1
=
x
附近的近似直線
為
(
)
11
1
2
+
−
−
=
x
y
、而
( )
x
f
在
2
=
x
附近的近似直線為
(
)
2
18
−
−
=
x
y
。試問滿足
(
)
0
1
≤
−
x
f
的所有正整數之和為下列哪一個選項？
(1) 27 (2) 26 (3) 25 (4) 18 (5) 12
二、多選題(占 30 分)
7. 小廖在夜市玩飛鏢射氣球，攤位上有一個挖有圓形洞口的保麗龍板，並在洞口處塞進一
顆氣球，只要將飛鏢射入圓形洞口內部(包含圓周)，則必可擊破塞在洞口中的氣球。今建
立坐標空間，並設保麗龍板位於 yz 平面，且圓形洞口的圓心坐標為
(
)
2
,
1
,
0
−
P
，半徑為
5 ，而飛鏢從點
(
)
1
,
2
,
10
發出，並依向量 v
的方向直線射向保麗龍板，試問向量 v
等於下列哪些選項時，可順利擊破氣球？ (1)
(
)
0
,
1
,
2
−
−
(2)
(
)
0
,
0
,
2
−
(3)
(
)
1
,
1
,
3
−
−
−
(4)
(
)
2
,
1
,
6
−
−
−
(5)
(
)
1
,
1
,
5
−
−
−
8. 給定一實係數三次多項式函數
( )
d
cx
bx
ax
x
f
+
+
+
=
2
3
，已知
( )
0
<
x
f
的解為
1
5
<
<
−
x
或
1
>
x
，則關於
( )
x
f
的敘述，試選出正確的選項。(1)
0
>
a
(2)
( )
x
f
除以
x
的餘式為 5
−
(3)
( )
x
f
y
=
圖形對稱中心的
x
坐標為 1
− (4)
( )
( )
50
40
f
f
<
(5)若
( )
x
f
在
5
−
=
x
附近的近似直線為
n
mx
y
+
=
，則
0
<
m
9. 已知函數
( )
−
−
+
=
6
cos
6
sin
π
π
x
x
x
f
，試選出正確的選項。(1)若
π
2
0
<
≤ x
，則
RA4107
2
( )
x
f
的最大值為
2
2
6
−
(2)若
π
2
0
<
≤ x
且
( )
x
f
在
α
=
x
時取得最小值，則
4
7
π
α
=
(3)函數
( )
x
f
y
=
圖形的週期為
π
(4)若
π
β
α
2
0
<
<
≤
且
( )
( )
2
1
=
=
β
α
f
f
，則
π
β
α
=
+
(5)若
π
8
0
<
≤ x
，則所有滿足方程式
( )
0
=
x
f
的相異實數解之和為
π
30
10.下左圖是某種麋鹿的胸圍
x
(公分)與體重 y (公斤)的二維數據之散布圖，經過計算
可知這 30 隻麋鹿的胸圍 x 與體重 y 的算術平均數與標準差如下右表。
根據上述數據，試選出正確的選項。 (1)從這 30 隻麋鹿中任選一隻，則牠的體重小於
150 公斤的機率大於
%
18
(2)從這 30 隻麋鹿中任選一隻，已知牠的胸圍大於 140 公分，
則牠的體重大於 200 公斤的條件機率大於
%
55
(3)這 30 隻麋鹿體重的中位數大於 180 公
斤
(4) y 對
x
的迴歸直線斜率小於 4 (5)利用迴歸直線進行預估，一隻胸圍 160 公分的麋鹿，
其體重大於 255 公斤
11.在坐標平面上，設向量
(
1, 4)
a
k
=
+
，向量
(1,
2)
b
k
=
−
，試選出正確的選項。(1)當
0
=
k
時，對任意向量 c
，可以找到數對
(
)
y
x ,
使得 c
x a
y b
=
+
(2) 當
3
=
k
時，對任意向
量 c
，無法找到數對
(
)
y
x ,
使得 c
x a
y b
=
+
(3)當
(3, 2)
c
=
時，對任意實數 k ，至多
找到一組數對
(
)
y
x ,
使得 c
x a
y b
=
+
(4)當
(1, 4)
c
=
−
時，對任意實數 k ，至多找到一
組數對
(
)
y
x ,
使得 c
x a
y b
=
+
(5)可找到實數 k ，使得
1
1
|
||
|
4
2
k
a
b
k
+
= −
−
12.在坐標平面上，
(
)
0
,
0
O
為原點，
(
)
1
,
0
−
A
為單位圓上一點，
試選出正確的選項。(1)一質點由點 A 且沿著與 y 軸正向夾角為
°
15 的方向直線前進，經點 B 反射(即
1
OBP
OBA
∠
=
∠
)至圓上
的點
1
P
，再反射至圓上的點
2
P
，如圖所示。如此連續進行
n
次
反射後會到圓上的點
n
P ，則點
114
P
的坐標為
−
2
3
,
2
1
(2)設
n
為正整數，若點 A 經
矩陣
−
=
1
2
2
1
J
連續作線性變換
n
次的對應點為
(
)
n
n
n
y
x
Q
,
，即
=
−
n
n
n
y
x
J
1
0
，則滿足
2025
1
>
+
n
n
Q
Q
的最小正整數
n
為 8 (3)設矩陣
算術平均數
標準差
胸圍 x
（公分）
139.27
11.26
體重 y
（公斤）
171.27
43.83
3
−
=
180
cos
180
sin
180
sin
180
cos
π
π
π
π
k
k
k
k
M
k
，
−
=
180
cos
180
sin
180
sin
180
cos
π
π
π
π
k
k
k
k
N
k
，
−
=
2
1
1
2
T
，若單位
圓上的動點
(
)
b
a
C
,
在第一象限且
1
2
1
<
< a
，點 C 經矩陣
T
M
N
M
N
M
3
4
2
2
1
作線性變
換的對應點為點 D ，則點 D 的坐標可能為
−
5
4
,
5
3
(4)設
−
=
1
2
2
1
J
、
−
=
2
1
1
2
T
、
=
3
0
0
4
S
，若單位圓經矩陣 SJT 變換後的圖形為
Γ ，則 O 點與 Γ 上的點之最長距離
與最短距離的和為 35 (5)設
−
=
1
2
2
1
J
、
−
=
2
1
1
2
T
、
=
2
3
0
2
U
，若單位圓經
矩陣UJT 變換後的圖形為
Ω ，則 O 點與 Ω 上的點之最長距離與最短距離的和為 25
三、選填題(占 25 分)
13. 已知
(1, 2, 3)
a
=
、
( 1,1, 2)
b
= −
、
(3, 5, 6)
c
=
、
(4, 5, 11)
d
=
− −
，若
d
x a
y b
z c
=
+
+
，則
=
+
+
z
y
x
。
14.如圖(此為示意圖)，有一個六角柱體，上底、下底均為邊長為 1
的正六邊形，且柱高
3
=
AB
，則
(
)
CDE
ADE
∠
+
∠
cos
的值為
。(化成最簡根式)
15.小南想要安排七天的運動計畫。他打算安排的運動項目為：桌球、羽球、重訓、太極
拳。若他每天只進行一種運動且每種運動要至少進行一次，則他安排運動計畫的方式有
種。
16.在坐標空間中兩向量
(1, 2, 2)
a
=
− −
及 b
滿足
(0,1, 1)
a
b
×
=
−
，已知 b
x a
c
=
+
，其中
0
c a
⋅
=
，且
x
為實數。若
( , , )
c
p q r
=
，則
2
2
2
r
q
p
+
−
之值為 。
(化成最簡分數)
17.設點
(
)
1
1
, y
x
A
在
x
y
2
=
的圖形上，點
(
)
2
2
, y
x
B
在
x
y
2
log
=
的圖形上，且 A 、 B 均
在第一象限，若 O 為坐標平面上的原點，已知
17
4
=
= OB
OA
且
17
8
cos
=
∠AOB
，則
2
1
2
1
2
2
y
y
x
x
+
+
之值為 。(化成最簡分數)
第貳部分：混合題或非選擇題(占 15 分)
4
18-20 題為題組
以下是針對排球少年裡影山與日向的「怪人快攻」的情報分析：
右圖為平面直角坐標系，拋物線
Γ 為影山托球時，排球
行進的軌跡，從 A 點開始上升，到最高點 B 點(頂點)時，日向
會在該點殺球。如果是「怪人快攻」時，軌跡會變成直線 L ，
從 A 點上升到 C 點時，則日向會改在該點殺球。
18.設
(
)
2
,
0
A
、
(
)
4
,
6
B
，
Γ 會通過 A 、 B 兩點，若直線 L 為 Γ 在
0
=
x
的一次近似(局部近
似)，則直線 L 的斜率為何？(單選題，3 分) (1)
3
2
(2)
4
3
(3)
5
4
(4) 1 (5)
5
6
19.如圖所示，在空間中，日向殺球的擊球點為 P 點，排球
行進的軌跡為直線，排球的落地點均在 QR 上，其中
PQ 為排球行進的最短路徑， PR 為排球行進的最遠路徑
，且 PQ 、 PR 兩線段對 xy 平面的投影分別為 OQ 、
OR
。設
(
)
0
,
0
,
0
O
、
(
)
4
,
0
,
0
P
、
(
)
0
,
0
,
8
Q
、
(
)
0
,
8
,
12
R
， DF 為兩歪斜線 OQ
與 PR
的公垂線段，求 F 點的坐標為 。
(選填題，6 分)
20.承 19 題，右圖為 19 題圖中四面體 OPQR 與一平面
Ω 圍成的
五面體 DEFGOP ，其中四邊形 DEFG 為四面體 OPQR 與平面
Ω 所截。攔中手要在此五面體內活動，才能封住日向的殺球。
四邊形 DEFG 中， D 、 F 兩點為公垂線段的垂足點，且 D 、
E 兩點的
x
坐標相同，試求五面體 DEFGOP 的體積為多少？
(錐體體積
×
=
3
1
底面積
×高) (非選擇題，6 分)
參考數值：
2
1.414, 3
1.732, 5
2.236, 6
2.449,
3.142
π
≈
≈
≈
≈
≈
。
指對數值：
10
10
10
10
log 2
0.3010, log 3
0.4771, log 5
0.6990, log 7
0.8451
≈
≈
≈
≈
。
5
RA4107
全國公私立高中 113 學年度第四次學測模擬考數 A(南一)
參考答案
選擇題：1. (3) 2. (5) 3. (2) 4. (1) 5. (4) 6. (2) 7. (4)(5) 8. (3)(5) 9. (1)(2)(5)
10. (1)(4) 11. (1)(3)(5) 12. (4)(5)
選填題：13.
6
−
14.
15
8
−
15. 8400 16.
16
81
17.
3
2
混合題：18.
(1)
19.
12 8 16
(
,
)
5 5 5
F
，
20.
32
5