全國高中 113 年(112 學年度)高三上
第四次學測模擬考 數學(數 A)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題
一、單選題
1. 已知
a
、b 為正整數，定義一個新的運算符號
{ }
滿足
{ }
b
a
b
a
=
1
及
{
}
{ }
b
n
a
a
b
n
a
=
+1
，
N
n
∈ ，例如：
{ }
4
2
4
1
2
=
，
{ }
{ }
4
2
4
1
2
2
2
4
2
2
=
=
，
{ }
{ }
4
2
2
4
2
2
2
2
4
3
2
=
=
，…。
試問下列哪個選項是數字
{ }
3
3
2
以十進位表示時的位數？
(1) 4 位數 (2) 19 位數 (3) 20 位數 (4) 77 位數 (5) 78 位數
答： (5)
解：
77
056
.
77
256
3010
.
0
256
2
log
256
2
2
10
.
1
10
10
10
2
2
2
8
3
2
×
=
=
=
=
×
≒
≒
表 78 位數
2. 已知一速食店推出「買 A 送 B 」的優惠活動，買 A 欄中的任何一品項即送 B 欄中的任何一
品項，可自由搭配，飲品中冰／熱視為不同的品項，假設每種品項皆供應無虞，惟需注意
供應時間，沒有標註時間的品項即為全天供應。試問正午十二點參加「買 A 送 B 」活動，
A 欄、 B 欄各選一品項共有多少種不同的商品組合？（例如： A 欄美式咖啡(熱)
B
+ 欄雪
碧與 A 欄雪碧 B
+ 欄美式咖啡(熱)視為相同的商品組合）
(1) 104 種 (2) 103 種 (3) 102 種 (4) 101種 (5) 100 種
答： (3)
解：
102
15
117
9
13
,
,
,
,
,
,
6
2
=
−
=
−
×
美冰視為同一組合）
雪碧
雪碧與
美冰
（即
視為相同組合
各選一
冰奶
冰綠
冰紅
雪碧
美熱
美冰
B
A
B
A
AB
B
A
C
3. 已知三個數列
n
a
、
n
b
及
n
c
，其中
n
a
、
n
b
的遞迴式如下：
∈
≥
+
=
=
−
N
n
n
a
n
a
n
n
且
2
,
2
1
,
3
1
，
∈
≥
+
=
=
−
N
n
n
n
b
n
b
n
n
且
2
,
4
1
,
4
1
，
而
n
n
n
c
b
a
,
,
為直角三角形的三個邊長，且
n
c
為斜邊長，試求
10
3
2
1
c
c
c
c
+
+
+
+
之值為何？
(1) 881 (2) 890 (3) 925 (4) 950 (5) 1010
答： (2)
解：
(
)
1
2
2
1
3
+
=
×
−
+
=
n
n
a
n
[
]
(
)
1
2
4
3
2
4
4
+
=
+
+
+
+
+
=
n
n
n
b
n
(
)
(
)
[
]
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
=
+
=
n
n
n
n
n
b
a
c
n
n
n
所求
890
10
11
10
2
1
2
21
11
10
6
1
2
1
2
2
10
1
2
=
+
×
×
×
+
×
×
×
×
=
+
+
=
∑
=
n
n
n
4. 設
a
為實數且
0
>
a
，已知滿足不等式
a
x
a
x
≤
−
−
3
的實數解之最小值為 7，
試求
a
值為何？
(1) 14 (2) 18 (3) 21 (4) 24 (5) 28
答： (1)
解：
a
a
≤
−
−
7
7
3
⇒
7
3
21
+
≤
−
a
a
⇒
(
)(
)
0
28
2
14
4
≤
−
−
a
a
⇒
14
2
7
≤
≤ a
5. 已知二階線性變換矩陣 P 將點
(
)
4
,
3
A
對應到點
(
)
0
,
1
A ′
， P 將點
(
)
2
,
1
B
對應到點
(
)
1
,
0
B ′
，若
1
−
P
將直線 L ：
5
3
2
=
+ y
x
上所有點都對應到一直線 L ′ ，
試求 L ′ 之斜率為何？
(1)
14
9
−
(2)
14
9
(3)
9
14
−
(4)
7
8
(5)
7
8
−
答： (4)
解：
=
1
0
0
1
2
4
1
3
P
⇒
=
−
2
4
1
3
1
P
′
′
=
y
x
y
x
2
4
1
3
代入
c
y
b
x
a
=
′
+
′
⇒
(
) (
)
c
y
x
b
y
x
a
=
+
+
+
2
4
3
⇒
(
) (
)
c
y
b
a
x
b
a
=
+
+
+
2
4
3
等同
5
3
2
=
+ y
x
⇒
5
3
2
2
4
3
c
b
a
b
a
=
+
=
+
⇒
b
a
8
7
−
=
所求斜率
7
8
=
−
=
b
a
6. 已知
0
>
> b
a
，試問下列等式何者可成立？
(1)
23
9
4
=
+
+
b
b
a
a
(2)
24
4
9
=
+
+
b
a
b
a
(3)
(
)
25
9
4
=
+
+
b
a
b
a
(4)
10
2
2
4
=
+
a
a
(5)
(
)
2
9
log
log
3
3
=
b
b
答： (4)
解： (1)
4
4
2
4
=
×
≥
+
a
a
a
a
，
6
9
2
9
=
×
≥
+
b
b
b
b
，左式 24
≥
(2)左式
25
12
13
36
2
13
36
9
4
=
+
=
×
+
≥
+
+
+
=
ab
ab
ab
ab
(3)左式
25
12
13
9
4
2
13
9
4
9
4
=
+
=
×
+
≥
+
+
+
=
b
a
a
b
b
a
a
b
等號成立於
b
a
a
b
9
4
=
⇒
4
9
2
2
=
a
b
⇒
2
3
=
a
b
，矛盾
(4)左式
8
2
2
2
2
2
2
4
4
2
4
=
=
≥
≥
⋅
+
a
a
a
a
，可成立
(5)左式
[
][
] [
]
1
1
1
log
log
2
log
2
3
3
3
≤
+
−
−
=
−
=
b
b
b
二、多選題
7. 設有 10 筆數據
(
)
i
i
y
x ,
，其中
10
,
,
2
,
1
=
i
，若
x
與 y 的散布圖上 10 個點均在直線
x
y
2
9
−
=
上，且令資料
x
的算術平均數
3
=
x
µ
，資料
x
的標準差
5
.
2
=
x
σ
，
資料 y 的算術平均數
y
µ
，試選出正確的選項。
(1)
3
=
y
µ
(2)資料 y 的標準差為 4
(3)另外 10 筆數據
(
)
i
i
y
x
2
5
,
3
4
−
−
，其中
10
,
,
2
,
1
=
i
的相關係數為 1
(4)若將這 10 筆資料
(
)
i
i
y
x ,
標準化後得
(
)
i
i
y
x
′
′ ,
，則 x ′ 與 y ′ 的散布圖上 10 個點均在直
線
x
y
′
−
=
′
上
(5)如果原資料再加上一筆數據
(
)
y
x
µ
µ
,
， y 對
x
的迴歸直線仍為
x
y
2
9
−
=
答： (1)(3)(4)(5)
解： (1)
(
)
3
9
2
,
3
=
→
+
−
=
∈
=
y
y
x
x
x
y
µ
µ
µ
µ
(2)
5
5
.
2
,
1
,
2
=
→
×
=
=
−
=
−
=
y
r
m
x
y
x
r
m
σ
σ
σ
σ
(3)承(2)，相關係數
1
=
−
=
′
r
r
(4)標準化後，過
(
)
0
,
0
，斜率
1
−
=
= r
(5)正確
8. 已知三次函數
(
)
2
+
=
x
f
y
的圖形如圖，且
( )
16
0
=
f
，
試選出正確的選項。
(1)
( )
x
f
y
=
的圖形左移 2 單位即為
(
)
2
+
=
x
f
y
(2)
( )
x
f
除以
3
−
x
的餘式為 10
−
(3)
( )
x
f
y
=
的圖形經過適當平移後會與
x
x
y
9
3
−
=
的圖形重合
(4)
( )
x
f
y
=
的圖形在對稱中心附近的一次近似直線斜率為 18
−
(5)不等式
(
) ( )
0
2
≤
+
x
f
x
的整數解一共有 5 個
答： (1)(4)(5)
解：
(
)
(
)(
)(
)
2
1
4
2
−
+
+
=
+
x
x
x
P
x
f
AAE
f(0)
AE
=16
───→
x=－2
E
( )( )( )
16
4
1
2
=
−
−
P
⇒
2
=
P
則
(
) (
)(
)(
)
2
1
4
2
2
−
+
+
=
+
x
x
x
x
f
⇒
( ) (
)(
)(
) (
)
(
)
1
18
1
2
4
1
2
2
3
−
−
−
=
−
−
+
=
x
x
x
x
x
x
f
(1)正確
AE
(2)應為
( )
20
3
−
=
f
(3)應為
x
x
y
18
2
3
−
=
(4)所求一次近似
(
)
1
18
−
−
=
x
y
(5)左式
(
) (
)(
)
0
4
1
2
2
2
≤
−
−
+
=
x
x
x
⇒
(
)(
)
0
4
1
≤
−
−
x
x
或
2
−
=
x
⇒
4
1
≤
≤ x
或
2
−
=
x
→
∈Z
x
4
,
3
,
2
,
1
,
2
−
=
x
9. 有一圓心為原點且半徑為 4 的圓，將一雷射光源放在點
(
)
1
,
3
2
H
沿著
A
v
EE
AA
(
)
1
,
0
−
=
的方
向發射，碰到圓後進行反射，依序碰到圓上的點分別為
F
E
D
C
B
A
,
,
,
,
,
，最後光線回到 H
點，試選出正確的選項。
(1)點 A 的極坐標為
6
,
4
π
(2) HDE
∆
面
(3)圓上的點與 H 點之距離為整數者共有 16 個
(4)
A
HB
EE
AA
⋅
AA
HF
EE
AA
5
−
=
(5)若
AA
HB
EE
AA
α
=
AA
HA
EE
AA
β
+
AA
HD
EE
AA
，其中
β
α
,
為實數，則
3
7
=
+
β
α
答： (2)(4)(5)
解： (1)
(
)
2
,
3
2
−
A
，
(
)
4
,
0
−
B
，
(
)
2
,
3
2
−
−
C
，
(
)
2
,
3
2
−
D
，
(
)
4
,
0
E
，
(
)
2
,
3
2
F
故
[
] [
]
°
=
°
−
330
,
4
30
,
4
A
(2) HDE
∆
面積
2
1
=
||
AAEAAEAEAAEA
ED
EE
EH
EE
AA
|
3
5
3
3
2
2
3
2
2
1
=
−
−
−
=
(3)
13
=
OH
，
7
,
,
3
,
2
,
1
13
4
13
4
.
7
.
0
=
→
+
≤
≤
−
∈
d
d
Z
d
每個數各對應 2 個圓上點
(4)
A
HB
EE
AA
⋅
AA
HF
EE
AA
(
)
(
)
5
1
,
0
5
,
3
2
−
=
⋅
−
−
=
(5)
AA
HB
EE
AA
α
=
AA
HA
EE
AA
β
+
AA
HD
EE
AA
⇒
(
)
(
)
(
)
1
,
3
4
3
,
0
5
,
3
2
−
+
−
=
−
−
β
α
⇒
6
11
=
α
，
2
1
=
β
，故
3
7
=
+
β
α
10. 已知函數
( )
−
−
=
3
2
cos
2
cos
π
x
x
x
f
，試選出正確的選項。
(1)
( )
x
f
的週期為
π
(2)
a
為實數，可知
( )
−
=
a
f
a
f
3
π
(3)在區間
[
)
π
2
,
0
中滿足
( )
2
1
=
x
f
的所有實數
x
之和為
π
3
10
(4)
( )
3
x
x
f
=
有 5 個實根
(5)
( )
x
f
y
=
的圖形可由
x
y
2
sin
2
=
的圖形經適當（左右、上下）平移得到
答： (1)(3)(4)(5)
解：
( )
+
−
=
3
sin
2
sin
3
cos
2
cos
2
cos
π
π
x
x
x
x
f
(
)
(
)
°
+
=
−
°
=
60
2
cos
2
30
sin
x
x
(1)週期
π
π
=
×
2
1
2
(2)對稱軸
6
π
π
−
k
(3)
π
2
0
<
≤ x
⇒
3
13
3
2
3
π
π
π
<
+
≤ x
( )
2
1
=
x
f
⇒
3
11
,
3
7
,
3
5
,
3
3
2
π
π
π
π
π
=
+
x
⇒
3
5
,
,
3
2
,
0
π
π
π
=
x
(4)
( )
x
f
y
=
與
3
x
y
=
交於 5 個點
(5)
(
)
π
+
+
=
−
=
=
x
x
x
y
2
cos
1
2
cos
1
sin
2
2
11. 已知平面上有四個非零向量
A
a
EE
AA
=
AA
OA
EE
AA
，
AA
b
EE
AA
=
AA
OB
EE
AA
，
AA
c
EE
AA
=
AA
OC
EE
AA
，
AA
d
EE
AA
=
AA
OD
EE
AA
，其中 O 為原點，
且滿足
AAEAEA
| |
a
EE
AA
=
AAEAAAEA
| |
b
EE
AA
=
AAEAAAEA
| |
c
EE
AA
=
AAEAAAEA
| |
d
EE
AA
1
= 及
A
a
EE
AA
⋅
AA
c
EE
AA
=
AA
b
EE
AA
⋅
AA
d
EE
AA
0
> ，
A
a
EE
AA
⋅
AA
d
EE
AA
=
AA
b
EE
AA
⋅
AA
c
EE
AA
0
= 。
試選出正確的選項。
(1)
A
a
EE
AA
與
AA
b
EE
AA
必不平行 (2)
AA
a
EE
AA
與
AA
c
EE
AA
必不平行 (3)
AA
a
EE
AA
+
AA
b
EE
AA
與
AA
c
EE
AA
−
AA
d
E
AA
垂直
(4)若將點 A 以 O 為中心旋轉有向角
θ
至點 C ，則點 B 以 O 為中心旋轉
θ
角至點 D
(5)若將點 A 以過原點 O 的直線 L 為鏡射軸鏡射至點 B，則點 C 以 L 為鏡射軸會鏡射至點 D
答： (1)(3)(5)
解： (1)若 a // b
⇒ a t
= b
則 a
⋅
c
t
= b
⋅
c
0
= ，矛盾
(2) a
E
A
=
A
c
E
A
可成立
(3)
A
a
E
A
+
A
b
E
A
⋅
A
c
E
A
−
A
d
E
A
=
A
a
E
A
⋅
A
c
E
A
−
+
−
0
0
A
b
E
A
⋅
A
d
E
A
0
=
(4)應為 D 旋轉
θ
角到 B
(5)正確
安 0.2
1
.
0
9
.
0
壞
好
接 0.4
5
.
0
5
.
0
壞
好
空 0.4
7
.
0
3
.
0
壞
好
12. 已知有一正四面體
BCD
A
−
，如示意圖，其中平面 BCD 平貼於地面，今太陽光（平行光）
垂直照射平面 ABC ，若太陽光將點 A 照射在平面 BCD 的影子為點 A ′ 。
試選出正確的選項。
(1)直線 A
A ′ 垂直平面 ABC
(2)點 A ′ 在 BCD
∆
的內部
(3)設平面
B
A
A ′ 與平面
C
A
A ′
的兩面角為
α
，則
2
1
sin
=
α
(4)設太陽光與平面 BCD 的銳夾角為
β
，則
3
1
sin
=
β
(5)
BC
A ′
∆
的面積為 ABC
∆
面積的 3 倍
答： (1)(4)(5)
解：
(
)
0
,
0
,
3
−
B
，
(
)
0
,
0
,
3
C
，
(
)
0
,
3
3
,
0
D
，
xy
BCD
∈
∆
平面（
0
=
z
）
(
)
6
2
,
3
,
0
A
，
0
2
2
=
−
∈
∆
z
y
ABC
，法向量 N
E
A
(
)
1
,
2
2
,
0
−
=
(1)正確
(2) A
A ′ 上動點
(
)
t
t
−
+
6
2
,
2
2
3
,
0
與
0
=
z
交於
(
)
0
,
3
9
,
0
A ′
，在 BCD
∆
外部
(3)
AB
A ′
所在平面：
6
9
4
2
6
3
−
=
−
−
z
y
x
AC
A ′
所在平面：
6
9
4
2
6
3
=
+
+
z
y
x
2
1
72
72
16
2
54
cos
=
−
−
=
α
⇒
°
= 60
α
(4)
(
)
(
)
3
1
1
3
1
,
0
,
0
1
,
2
2
,
0
cos
−
=
×
⋅
−
=
θ
⇒
3
1
cos
sin
=
=
θ
β
(5)
BC
A ′
∆
面積
DBC
∆
= 3
面積
ABC
∆
= 3
面積（∵
OD
A
O
3
=
′
）
三、選填題
13. 棒球投手大古和打擊手翔評哪一位比較厲害，常是人們茶餘飯後的話題。已知大古投球時
可將球投進好球帶及沒有投進好球帶兩種結果，翔評擊球時可將球擊出安打、被接殺、及
揮棒落空三種結果，今由電腦大數據分析，翔評擊出安打、被接殺、及揮棒落空的機率分
別為 2
.
0
、 4
.
0
、 4
.
0
，已知翔評擊出安打、被接殺、及揮棒落空的條件下，大古能將球投
進好球帶的機率分別為 9
.
0
、 5
.
0 、 3
.
0 ，今大古投一球，已知大古沒有將球投進好球帶，
則此時被翔評擊出安打的機率為 。(化成最簡分數)
答：
25
1
解：
所求
7
.
0
4
.
0
5
.
0
4
.
0
1
.
0
2
.
0
1
.
0
2
.
0
×
+
×
+
×
×
=
25
1
50
2
28
20
2
2
=
=
+
+
=
14. 設
=
d
c
b
a
A
是一個沒有反方陣的二階轉移矩陣，且
=
+
2
3
2
3
2
1
2
1
2
A
A
，
則 d 為 。(化成最簡分數)
答：
4
3
解：
−
−
=
b
a
b
a
A
1
1
⇒
0
det
=
+
−
−
=
ab
b
ab
a
A
⇒
b
a
=
⇒
−
−
=
a
a
a
a
A
1
1
，
−
−
=
a
a
a
a
A
1
1
2
⇒
=
4
3
4
3
4
1
4
1
A
15. 學校請甲、乙、丙三位同學投票選擇高三畢旅地點，其中城市地點有
B
A ,
兩個，遊樂園
地點有
D
C ,
兩個，若要求每位同學從中選擇兩個不同的地點，且城市地點至少選一個，
則此三位同學至少有一個相同的選擇地點(例如：甲、乙、丙皆有選 A ，投票結果為甲選
B
A ,
，乙選
C
A ,
，丙選
D
A ,
)的機率為 。(化成最簡分數)
答：
25
13
解： 每人可能
BD
BC
AD
AC
AB
,
,
,
,
(1)三人所選兩地「均相同」
： 5 種
(2)三人所選兩地「有兩人均相同，第三人一地同一地不同」
：
48
3
3
3
3
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
=
+
+
+
+
CD
BC
AB
BD
CD
BD
AB
BC
BD
AC
AB
AD
BC
AD
AB
AC
BD
BC
AD
AC
AB
C
配
配
配
配
配
(3)三人所選兩地「僅一地同，另一地不同」
：
12
!
3
2
1
=
×
C
種
所求機率
25
13
125
65
5
12
48
5
3
=
=
+
+
=
16. 坐標平面上有直線 L ，已知
( )
1
,
1
A
到直線 L 的距離為 2，
(
)
0
,
8
B
到直線 L 的距離為 7，
則滿足上述條件中斜率最小的直線 L 方程式為 。
答：
0
3
3
4
=
+
+ y
x
解：
1
Γ ：
(
)
(
)
4
1
1
2
2
=
−
+
−
y
x
，
2
Γ ：
(
)
49
8
2
2
=
+
−
y
x
，
( )
1
,
1
1
O
，
(
)
0
,
8
2
O
，
50
2
1
=
O
O
2
1
=
r
，
→
=
>
+
2
1
2
1
7
2
O
O
r
r
r
1
Γ 、
2
Γ 兩圓相交於兩點
1
Γ 、
2
Γ 外公切線交於
−
5
7
,
5
9
，且圓心連線斜率
7
1
−
2
1
sin
2
1
1
2
=
⋅
=
O
O
r
r
θ
⇒
°
= 45
θ
故公切線斜率
m
⇒
°
=
−
×
+
+
45
tan
7
1
1
7
1
m
m
⇒
4
3
−
=
m
或
3
4
−
所求：
+
−
=
−
5
9
3
4
5
7
x
y
⇒
0
3
3
4
=
+
+ y
x
17. ABC
∆
中，
14
=
BC
，點 M 是
BC
的中點，
°
=
∠
120
BAM
且
°
=
∠
30
CAM
，
則 ABC
∆
面積為 。(化成最簡根式)
答：
3
7
解：
(
)
°
=
°
=
−
°
30
sin
7
sin
120
sin
7
180
sin
θ
θ
y
x
⇒
=
=
t
y
t
x
3
t
t
t
t
3
2
14
3
150
cos
2
2
2
×
⋅
−
+
=
°
⇒
7
2
=
t
3
7
2
1
28
3
2
1
150
sin
3
2
1
=
×
×
×
=
°
⋅
=
∆
t
t
ABC
第貳部分：混合題或非選擇題
18-20 題為題組
如圖，已知長方體
EFGH
ABCD
−
，試回答下列問題：
18. 試問哪一個平面包含直線 CE 並與直線 AB 平行？
(1)平面 ACGE (2)平面 CDHG (3)平面 CDEF
(4)平面 BCHE (5)平面 ABGH
答： (3)
解： CDEF 平面包含 CE ，且與 AB 平行
19. 若
a
AB
= ，
b
AD
= ，
c
AE
= ，試求直線 CE 與直線 AB 的距離。(以
c
b
a
,
,
表示)
答：
2
2
c
b
bc
+
解： 亦即
(
)
2
2
,
c
b
bc
CF
B
d
+
=
20. 若直線 CE 與直線 AB 的距離為
5
8
，且直線 CE 與直線 AD 的距離為
17
16
，且直線 CE 與
直線 BF 的距離為
5
16
，試求長方體
EFGH
ABCD
−
的體積。
答： 512
解： 承(19)
⇒
5
8
2
2
=
+ c
b
bc
且
17
16
2
2
=
+ c
a
ac
且
5
16
2
2
=
+ b
a
ab
⇒
64
5
1
1
2
2
=
+
b
c
且
256
17
1
1
2
2
=
+
c
a
且
256
5
1
1
2
2
=
+
b
a
⇒
256
42
1
1
1
2
2
2
2
=
+
+
c
b
a
⇒
256
1
1
2
=
a
，
256
4
1
2
=
b
，
256
16
1
2
=
c
⇒
16
=
a
，
2
16
=
b
，
4
16
=
c
⇒
512
=
abc