1
北區高中 106 年(105 學年度)
高三上第二次學測模擬考數學試題
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題
1. 右圖是一顆
3
3 × 的魔術方塊，也就是在一個正立方體中，
每一面均有九個大小相等的正方形。現將其中一面緊靠在
牆面，並靜置在桌面上（如圖所示），試求一隻螞蟻沿著
分格線或稜線，從 A 點走捷徑到 B 點，有幾種不同的走法？
（舉例說明：圖中粗線即為滿足條件之一條路徑。）
(1) 28 種
(2) 56 種
(3) 74 種
(4)110 種
(5)138 種。
【106 北模(2)】
答：(3)
解：排容原理：
74
10
56
28
!
3
!
2
!
5
1
!
5
!
3
!
8
!
6
!
2
!
8
=
−
+
=
×
−
+
→
→
→
上面
交界稜線
上面
正面
上面
正面
2. 若
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
1
,
+
−
+
+
+
−
=
y
x
y
x
y
x
f
，試求此函數的最小值為下列何者？
(1)
3
10
(2)
3
8
(3)1 (4) 2 (5) 3 。
【106 北模(2)】
答：(2)
解：柯西不等式
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
+
+
−
+
−
+
+
+
−
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
y
x
y
x
[
]
2
1
2
2
2
1
+
−
+
+
+
+
−
≥
y
x
y
x
(
)
(
)
(
)
3
8
6
4
1
2
1
1
2
2
2
2
=
≥
+
−
+
+
+
−
⇒
y
x
y
x
3.
坐標平面上有一個正六邊形，其頂點以順時針方向依序為 ABCDEF 。
已知
F
點的坐標為
(
)
5
,
0
，O 點為原點，且 A 、
B
皆在
x
軸上，則
AF
⋅
AO
=
？
(1)
5
(2)
3
5
(3)
3
25
(4)
3
3
25
(5)
25 。
【
106
北模
(2)
】
答：
(3)
解：
=
． AO
AF
3
25
3
5
2
2
=
=
AO
4.
已知一圓 C ：
(
)
(
)
10
2
1
2
2
=
−
+
−
y
x
，平面上一點
(
)
2
,
4
A
，直線
L
通過 A 點且與
x
軸
正向的交角為
°
60 ，若直線
L
與圓 C 交於
P
、Q 兩點，求
=
× AQ
AP
？
(1)
4
1
(2)
2
1
(3)
1
(4)
2
3
(5)
4
5
。
【106 北模(2)】
2
答：
(3)
解：
(
)
2
,
4
A
在圓
(
)
(
)
(
)
2
2
2
10
2
1
=
−
+
−
y
x
的內部，其中圓心
(
)
2
,
1
O
、半徑
10
=
r
由「內冪性質」得知：
(
)(
)
(
)(
)
1
3
10
3
10
=
−
+
=
−
+
=
×
AO
r
AO
r
AQ
AP
5.
考慮矩陣
−
=
a
c
b
a
A
，其中
a
、 b 、
c
為實數且行列式值
( )
2
1
det
=
A
，
求
=
−
−1
det
A
A
？
(1)
8
1
(2)
4
1
(3)
2
1
(4)
2
9
(5)
4
9
。
【106 北模(2)】
答：
(4)
解：
−
=
a
c
b
a
A
，
2
1
det
=
A
，則
2
1
×
−
−
−
=
−
a
c
b
a
A
，
故
(
)
2
9
det
3
3
det
det
3
3
3
3
3
2
1
1
=
=
=
−
⇒
=
−
=
−
−
−
A
A
A
A
A
a
c
b
a
A
A
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題
6.
設
( )
x
f
為一實係數四次多項式，
1
−
=
i
，
已知
(
)
0
1
=
+
i
f
且不等式
( )
0
<
x
f
的解為
3
2
<
<
−
x
，則下列選項哪些是正確的？
(1)
(
)
0
1
=
−
i
f
(2)
若
a
、 b 為任意實數，且
(
)
2
=
+ bi
a
f
，則
(
)
2
−
=
− bi
a
f
(3)
不等式
(
)
0
2
>
x
f
的解為
1
−
<
x
或
2
3
>
x
(4)
( )
x
f
y
=
的圖形與
x
軸交於相異兩點
(5)
(
) ( )
x
f
x
y
2
+
=
的圖形與
x
軸有三個交點。
【106 北模(2)】
答：
(3)(4)
解：
(1)
( )
(
)(
)(
)(
)
3
2
1
1
−
+
+
−
−
−
=
x
x
i
x
i
x
m
x
f
，其中
0
>
m
。故
(
)
0
1
≠
−
i
f
(2)
(
)
2
=
+ bi
a
f
，則
(
)
2
=
− bi
a
f
(3)(4)
正確
(5)
(
)(
)(
) (
)
3
2
1
1
2
−
+
+
−
−
−
=
x
x
i
x
i
x
m
y
的圖形與
x
軸有二個交點。
7.
已知自然數
a
、 b 滿足
20
log
3
=
a
且
16
log
3
=
b
，則下列選項哪些是正確的？
(1)
自然數
b
a
+ 必為 41 之倍數
(2)
自然數
a
的個位數字與 b 相同
(3)
自然數
b
a
+ 為 9 位正整數
(4)
自然數
b
a
+ 展開後之末兩位數字為 22
(5)
若定義實數
α
+
= n
A
，其中
n
為整數且
1
0
<
≤
α
，則稱
α
為實數 A 之小數部分，
由此定義得
+
5
4
3
log
b
a
之小數部分與
162
log
3
之小數部分相等。
【
106
北模
(2)
】
答：
(1)(2)(4)(5)
解：
(1)
(
)
2
41
3
1
81
3
3
3
16
16
16
20
×
×
=
+
=
+
=
+ b
a
，成立
(2)
20
3
=
a
、
16
3
=
b
的個位數字均為1
(3)
(
)
5366
.
9
3010
.
0
6020
.
1
4771
.
0
16
2
41
3
log
log
16
≈
+
+
×
≈
×
×
=
+ b
a
，表
10
位數
(4)
(
)
(
)
(
)
2
80
80
100
2
80
1
80
82
81
4
4
4
3
4
4
+
+
×
+
=
+
×
+
=
×
=
+
C
C
K
b
a
(
)(
)
22
100
42
1680
100
2
80
21
100
+
=
+
+
=
+
+
=
Q
N
M
3
(4)
(
) (
)(
)
2
80
21
100
2
80
61
6500
2
6500
82
6561
2
2
2
+
+
=
+
×
+
×
+
=
×
=
+
K
b
a
22
100
42
1680
100
+
=
+
+
=
Q
N
(4)
(
)
1
100
1
10
100
1
10
9
10
9
10
10
+
=
+
×
−
=
−
=
=
N
C
M
a
(
)
21
100
1
10
100
1
10
9
8
7
8
8
+
=
+
×
−
=
−
=
=
L
C
K
b
（餘數必為正數）
22
100
+
=
+
Q
b
a
(5)
[
]
小數部分
2
log
80
2
3
log
3
3
log
log
3
80
3
80
80
3
5
4
3
+
=
×
=
+
=
+ b
a
[
]
小數部分
2
log
4
2
3
log
162
log
3
4
3
3
+
=
×
=
8.
阿松申辦提款卡時，依銀行規定須自訂 4 個阿拉伯數字排成一組密碼。
某天阿松欲提款時發現他忘了正確密碼，只記得是由奇數1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 中取出相異
四個數字排列而成，現若依此隨機輸入號碼，試問下列選項哪些是正確的？
(1)
他第一次就猜對的機率為
120
1
(2)
提款機設定當輸入的密碼錯誤達三次時，會沒收該提款卡，阿松嘗試輸入不同密碼，
則他的提款會被沒收的機率為
40
39
承上述條件，若有一種智慧型提款機，每次輸入數字後會給提示，提示的口訣為
「 mAnB 」，其中 mA 表示輸入的數字當中有
m
個不但中了而且數字是在正確的位置，
nB 表示輸入的數字當中有
n
個中了但是數字的位置不正確。例如：密碼為 7135 ，若輸
入 3159 ，則提示為「
B
A
2
1
」。假使能善用提示，試問下列選項哪些是正確的？
(3)
在第一次輸入就猜到「
B
A
3
1
」的機率為
15
1
(4)
他在第一次猜到「
B
A
3
1
」的條件下，第二次猜到「
B
A
0
4
」的機率為
8
1
(5)
他在第一次猜到「
B
A
3
1
」且在第二次猜到「
B
A
0
4
」的機率為
120
1
。
【106 北模(2)】
答：
(1)(2)(3)(4)(5)
解：
(1)
機率為
120
1
!
5
1
=
(2)
機率為
40
39
118
117
119
118
120
119
=
×
×
(3)
(
)
(
)
15
1
120
2
4
120
!
0
1
!
1
3
!
2
3
!
3
1
3
1
4
1
=
×
=
×
−
×
+
×
−
×
=
C
B
A
P 第一次
(4)
(
)
(
)
8
1
!
0
1
!
1
3
!
2
3
!
3
1
1
3
1
0
4
4
1
=
×
−
×
+
×
−
×
=
C
B
A
B
A
P
第一次
第二次
(5)
(
)
B
A
B
A
P
0
4
3
1
第二次
第一次
∩
(
)
(
)
B
A
B
A
P
B
A
P
3
1
0
4
3
1
第一次
第二次
第一次
×
=
120
1
8
1
15
1
=
×
=
4
9.
若變數
(
)
身高
X
的算術平均數為
x
µ
，標準差為
x
σ
；
而變數
(
)
體重
Y
的算術平均數為
y
µ
，標準差為
y
σ
；
且變數
X
與變數
Y
的相關係數為
xy
r
，而
Y
對
X
的最佳迴歸直線為
bx
a
y
+
=
。
現將變數做線性轉換
1
2
+
−
=
X
P
，
3
−
= Y
Q
，則下列選項哪些是正確的？
(1)
變數
P
的算術平均數
1
2
+
−
=
x
P
µ
µ
(2)
變數
P
的標準差
x
p
σ
σ
2
−
=
(3)
變數
P
與變數Q 的相關係數
xy
pq
r
r
−
=
(4)
Q 對
P
的迴歸直線方程式必過點
(
)
3
,
1
2
−
+
−
y
x
µ
µ
(5)
Q 對
P
的迴歸直線方程式的斜率為
2
b
−
。
【
106
北模
(2)
】
答：
(1)(3)(4)(5)
解：
(2)
變數
P
的標準差
x
p
σ
σ
2
=
10.
若空間中向量
a
(
)
2
,
2
,
1
−
=
、
b
(
)
n
m
,
,
2
=
、
c
(
)
0
,
1
,
2 −
=
，滿足
|
b
|
5
3
=
且
a
× b
⋅
c
45
=
，則下列選項哪些是正確的？
(1) a
× b
//
c
(2) a
⊥
b
(3)
4
=
m
(4)
5
=
n
(5) a
× c + b
=
0
。
【
106
北模
(2)
】
答：
(1)(2)(3)(4)(5)
解：
a
× b
⋅
c
41
5
4
45
0
1
2
2
2
2
1
,
,
=
+
⇒
=
−
−
=
=
n
m
n
m
c
b
a
|
b
|
41
5
3
4
2
2
2
2
=
+
⇒
=
+
+
=
n
m
m
m
故
5
,
4
=
=
n
m
，則
a
(
)
2
,
2
,
1
−
=
、
b
(
)
5
,
4
,
2
=
、
c
(
)
0
,
1
,
2
−
=
，
而
a
× b
(
)
0
,
9
,
18
−
=
、
a
× c
(
)
5
,
4
,
2
−
−
−
=
11.
已知空間中三點
(
)
1
,
2
,
2
A
、
(
)
1
,
3
,
1
−
B
、
(
)
1
,
1
,
1
−
C
，若在空間中與 A 、
B
、 C 三點
等距離的所有點所形成的圖形為
Γ
，則下列選項哪些是正確的？
(1)
Γ
：
0
1
2
=
+
+
−
z
y
x
(2)
Γ
：
=
=
−
=
t
z
y
t
x
2
2
1
，
R
t
∈
(3)
Γ
中最接近原點的點為
5
2
,
2
,
5
1
(4)
Γ
中與原點最接近的距離為
5
21
(5)
ABC
∆
的面積為 5 。
【
106
北模
(2)
】
答：
(2)(3)(4)(5)
解：
(1)(2)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
3
1
1
2
2
+
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
z
y
x
z
y
x
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
+
+
−
+
−
=
z
y
x
3
2
2
2
11
2
6
2
9
2
4
4
+
+
−
−
=
+
+
−
−
=
+
−
−
−
⇒
z
y
x
z
y
x
z
y
x
5
=
+
−
=
+
+
−
⇒
0
8
4
0
2
4
2
2
y
z
y
x
⇒
=
=
−
=
t
z
y
t
x
2
2
1
，
R
t
∈
(3)(4)
(
)
5
21
5
2
5
5
4
5
2
2
1
2
2
2
2
2
+
−
=
+
−
=
+
+
−
t
t
t
t
t
當
5
2
=
t
，亦即點為
5
2
,
2
,
5
1
時，與原點最接近距離為
5
21
(5)
(
)
2
,
1
,
1
−
−
=
AB
、
(
)
2
,
1
,
1
−
−
−
=
AC
， ABC
∆
的面積為
5
4
6
6
2
1
2
=
−
×
12.
設 A 、
B
、 C 為矩陣， I 為單位方陣。下列有關矩陣的敘述哪些是正確的？
(1)
若
BA
AB
=
，則矩陣 A 、
B
皆為方陣
(2)
若
BC
AC
=
，且
( )
0
det
≠
C
，則
B
A
=
(3)
若
I
A
=
2
，則
I
A
= 或
I
A
−
=
(4)
若
BA
AB
=
，則
A
B
AB
B
AB
10
5
5
10
=
=
(5)
若 AB 有乘法反元素，則
(
)
1
1
1
−
−
−
=
A
B
AB
。
【106 北模(2)】
答：
(1)(2)(4)
解：
(1)
n
m
p
D
A
B
C
B
A
n
n
n
m
p
n
p
m
p
n
n
m
=
=
⇒
=
=
=
×
×
×
×
×
×
(2)
( )
0
det
≠
C
，表
1
−
C
存在
(3)
反例：
−
=
θ
θ
θ
θ
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
A
(4)
交換律成立
(5)
必須 A 、
B
均為方陣才成立
13.
若方程式
0
7
4
2
2
2
=
−
−
−
+
x
y
x
y
x
之圖形與直線
L
：
0
2
4
=
−
+
−
m
y
mx
有四個
相異的交點，請問符合的
m
值可能為下列哪些？
(1)
2
−
(2)
1
−
(3)
0
(4)
1
(5)
2 。
【106 北模(2)】
答：
(1)(5)
解： C ：
(
)
4
2
0
4
2
2
2
2
=
+
−
⇒
=
−
+
y
x
x
y
x
表圓心
(
)
0
,
2
，半徑為 2 的圓
Γ
：
(
)
7
4
1
4
0
7
2
2
+
=
⇒
=
−
−
x
y
x
y
表頂點
(
)
0
,
7
−
，焦距
4
1
的向右開口拋物線
L
：
0
2
4
=
−
+
−
m
y
mx
(
)
(
)
2
4
−
=
−
⇒
x
m
y
表過點
(
)
4
,
2
，斜率為
m
的直線
當
L
與 C 相切時，
3
2
1
2
4
0
2
2
±
=
⇒
=
+
−
+
−
m
m
m
m
故當
3
>
m
或
3
−
<
m
時，有四個交點
6
2
y
3
y
x
θ
−
°
90
x
2
x
2
θ
°
45
°
45
θ
−
°
90
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：選填題
選填題
選填題
選填題
A.
若有一群人，任意取完 2 本相同書籍的方法數超過1000 種，
試問這一群人至少有 個人。
【106 北模(2)】
答： 45
解：
(
)
⋯
.
44
1000
2
1
1
2
2
>
⇒
>
+
=
=
+
n
n
n
C
H
n
n
，
n
取
45
B.
已知
a
為整數，若平面上三直線
1
L
：
2
2
+
=
+
a
y
x
，
2
L
：
4
3
2
−
−
=
+
a
y
x
，
3
L
：
(
)
1
1
3
−
=
+
−
+
y
a
x
共交點，求序組
(
)
=
a
y
x
,
,
。
【106 北模(2)】
答：
(
)
3
,
1
,
1
−
−
解：
3
0
1
1
3
4
3
2
2
2
1
−
=
→
=
−
+
−
−
−
+
∈
a
a
a
a
Z
a
，故原式：
−
=
=
⇒
−
=
+
−
=
+
−
=
+
1
1
1
4
3
1
3
2
1
2
y
x
y
x
y
x
y
x
C. 已知 ABC
∆
中，
°
=
∠
120
A
， D 為 A
∠ 的內角平分線與 BC 的交點， M 為 BC 的中點，
若
6
=
AB
，
4
=
AD
，求
=
AM
。（化為最簡根式）
【106 北模(2)】
答：
3
3
解：
ACD
ABD
ABC
∆
+
∆
=
∆
°
×
×
×
+
°
×
×
×
=
°
×
×
×
⇒
60
sin
4
2
1
60
sin
4
6
2
1
120
sin
6
2
1
AC
AC
，故
12
=
AC
故由「餘弦定律」得知：
7
6
252
120
cos
12
6
2
12
6
2
2
=
=
°
×
×
×
−
+
=
BC
故由「中線定理」得知：
(
)
3
3
7
3
2
12
6
2
2
2
2
=
⇒
+
=
+
AM
AM
D. 如圖所示，等腰直角 ABC
∆
中，
°
=
∠
90
A
，
D 為 BC 的中點，四邊形 DEFG 為正方形，
且點 F 在 AC 邊上，若
CG
BE
3
=
，
4
=
BC
，
則正方形 DEFG 的面積為 。
（化為最簡根式）
【106 北模(2)】
答：
2
2
4 −
解：在 CDF
∆
中，由正弦定律：
(
)
θ
−
°
=
°
90
sin
2
45
sin
2 x
x
1
cos
=
⇒
θ
在 CDG
∆
中，由餘弦定律：
x
y
x
x
y
=
⇒
×
×
×
−
+
=
θ
cos
2
2
4
2
2
在 BDE
∆
中，由餘弦定律：
(
)
θ
−
°
×
×
×
−
+
=
90
cos
2
2
4
3
2
2
x
x
y
x
x
x
x
x
1
2
2
4
3
2
2
2
−
×
×
×
−
+
=
⇒
1
2
2
2
2
−
−
=
−
⇒
x
x
2
2
4
0
8
8
4
4
4
4
2
2
4
2
2
4
±
=
⇒
=
+
−
⇒
−
=
+
−
⇒
x
x
x
x
x
x
（取負）
7
E. 設圓 C ：
0
2
2
=
−
−
+
y
x
y
x
及直線 L ：
0
4 =
−
+ y
x
，若 P 為圓 C 上之動點，O 為坐標
平面上的原點，連接 OP
←→，且令 OP
←→與直線 L 之交點為Q ，可得OP ⋅ OQ為定值k ，則
=
k
。
【106 北模(2)】
答： 4
解：
(
)
0
,
2
2
=
−
−
+
⇒
∈
b
a
b
a
C
b
a
P
，故
b
a
b
a
+
=
+
2
2
且
(
)
0
4
,
=
−
+
⇒
∈
bt
at
L
bt
at
Q
，故
b
a
t
+
=
4
OP ⋅ OQ
(
)
4
4
2
2
2
2
=
+
×
+
=
+
=
+
=
b
a
b
a
t
b
a
t
b
t
a
F. 滿足遞迴式
+
=
=
=
+
+
n
n
n
F
F
F
F
F
1
2
2
1
1
1，
（ n 為自然數）的數列〈
n
F 〉稱為 Fibonacci Sequence
，若以矩陣的方式來表現為
=
+
+
+
2
1
1
1
1
1
0
n
n
n
n
F
F
F
F
。若
=
d
c
b
a
8
1
1
1
0
，且
n
F
d
c
b
a
=
+
+
+
，試求數對
(
)
=
n
a
,
。
【106 北模(2)】
答：
(
)
11
,
13
解：〈
n
F 〉
,...
13
,
8
,
5
,
3
,
2
,
1
,
1
=
，其中
13
7
=
F
=
=
=
3
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
F
F
F
F
=
=
=
4
3
3
2
3
3
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
F
F
F
F
=
=
=
5
4
4
3
4
5
3
3
2
3
2
2
1
1
1
1
0
1
1
1
0
F
F
F
F
……
=
9
8
8
7
8
1
1
1
0
F
F
F
F
，故
11
10
9
9
8
8
7
F
F
F
F
F
F
F
d
c
b
a
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
G. 有一橢形的公園，其中心有一噴水池，距噴水池南北各
3
10
公尺處各有一涼亭，公園
的邊界上任一點到兩涼亭的距離和均相等，現過涼亭闢一東西向的小徑，而小徑與公園
邊界的交點處與噴水池之間鋪一直線健康按摩步道，若東西向的小徑與健康按摩步道的
夾角為
°
60 ，則噴水池到公園最南端的距離為 公尺。（化為最簡根式）
【106 北模(2)】
答：
13
5
5 +
解：如圖，
(
)
13
10
10
3
20
10
10
2
2
2
+
=
+
+
=
a
故所求
13
5
5 +
=
= a