全國高中 112 年(111 學年度)
高三上學測聯合模擬考數學試題
（108 課綱第一二冊）
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 85 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
1.
2023
2022
2024
2022
17
17
17
17
+
+
的值最接近下列哪一個選項？
(1)16 (2)17 (3)18 (4) 2022 (5) 2023 。
答： (1)
（108 課綱第一冊第一章指數）
解： 所求
[
]
⋯
1
.
16
18
290
17
1
17
17
1
17
2022
2
2022
≒
=
+
+
=
2. 有五個散布圖如圖(一)到圖(五)，其相關係數分別為
1
r ，
2
r ，
3
r ，
4
r ，
5
r ，
下列哪一個選項的敘述是正確的？
(1)
0
1
>
r
(2)
2
1
r
r <
(3)
0
3
=
r
(4)
5
4
r
r
<
(5)如果把圖(一)的 A 點去掉，則相關係數會變大。
答： (4)
（108 課綱第二冊第二章數據分析—相關係數）
解：
9
.
0
5
≒
r
，
7
.
0
4
≒
r
，
0
3
≒
r
，
9
.
0
2
−
=
r
，
7
.
0
1
−
≒
r
3. 小平在計算一道多項式函數的題目時，遺忘了答案，只記得此二次多項式函數為
( )
(
)
k
x
a
x
f
+
+
=
2
1
，其中
a
、 k 皆為整數。還好他在計算紙上找到一些計算過程，
發現此多項式函數圖形通過
(
)
3
,
3
−
、
(
)
3
,
1
−
、
(
)
3
,
1
、
(
)
8
,
2
其中的三點，
則
k
a +
的值為下列哪一個選項？
(1)
4
−
(2)
3
−
(3)
2
−
(4)
1
−
(5)
0 。
答：
(5)
（
108
課綱第一冊第三章多項函數
—
二次函數）
解：
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
8
9
8
,
2
3
4
3
,
1
3
3
,
1
3
4
3
,
3
−
=
=
∴
∈
=
+
=
+
=
−
=
+
−
k
a
Z
k
a
k
a
k
a
k
k
a
，
、
∵
過
其其其其
僅僅僅
過
過
過
4.
有白、紅、黃、藍四種顏色的粉筆供取用，其中黃色粉筆有1枝，藍色粉筆有 2 枝，
其餘顏色的粉筆都至少有 4 枝。今從中任取 4 枝粉筆，其方法數為下列哪一個選項？
(1)
16 種
(2)
21 種
(3)
24 種
(4)
32 種
(5)
35 種。
答：
(2)
（
108
課綱第二冊第三章排列組合機率）
解：
種
合合
：
四四
：
其二其二
：
其二其四
：
三二三四
：
四二
21
1
3
9
6
2
4
4
3
2
3
2
3
1
3
1
2
1
2
1
=
=
=
=
=
C
C
C
C
C
C
C
5.
小平往西觀測 A 大樓樓頂，測得其仰角為
°
45 且小平所在位置距離樓頂 40 公尺；往東觀測
B 大樓樓頂，測得其仰角為
°
15 且小平所在位置距離樓頂 20 公尺。若想在這兩棟大樓樓頂
拉一條電纜線，此電纜線長度的最小值為下列哪一個選項？
(1)
5
20
公尺
(2)
6
20
公尺
(3)
7
20
公尺
(4)
2
40
公尺
(5)
60 公尺。
答：
(3)
（
108
課綱第二冊第四章三角比
—
餘弦定律）
解：
餘弦定律
20
40
2
20
40
120
cos
2
2
2
×
×
−
+
=
°
x
7
20
=
x
6.
設
0
>
x
、
0
>
y
、
0
>
z
，則
(
)
(
)
17
8
2
4
2
+
−
−
−
+
+
−
z
y
z
y
y
x
z
x
x
y
的最小值為下列哪一
個選項？
(1)
7
(2)
12
(3)
2
7
(4)
2
12
(5)
2
17
。
答：
(4)
（
108
課綱第一冊第一章算幾不等式）
解：
原式
z
y
y
x
y
z
x
y
8
4
4
2
+
+
+
=
2
12
8
4
2
4
2
2
=
⋅
+
⋅
≥
z
y
y
z
y
x
x
y
等號成立於
y
x
x
y
4
2
=
且
z
y
y
z
8
4
=
2
2
2
4
2
x
y
z
=
=
7.
有兩數列
n
a
和
n
b
，其中
n
a
為等差數列，已知
104
4
3
2
1
=
+
+
+
a
a
a
a
，
7
4
3
2
1
=
+
+
+
b
b
b
b
，
189
4
4
3
3
2
2
1
1
=
+
+
+
b
a
b
a
b
a
b
a
，則
1
4
2
3
3
2
4
1
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
+
的值為下列哪一個選項？
(1)
170
(2)
175
(3)
180
(4)
185
(5)
190 。
答：
(2)
（
108
課綱第二冊第一章數列級數
—
等差）
解：
(
)
d
a
3
26
1
−
=
，
(
)
d
a
−
= 26
2
，
(
)
d
a
+
= 26
3
，
(
)
d
a
3
26
4
+
=
而
189
4
4
3
3
2
2
1
1
=
+
+
+
b
a
b
a
b
a
b
a
(
)
(
)
(
)
(
)
189
3
26
26
26
3
26
4
3
2
1
=
+
+
+
+
−
+
−
b
d
b
d
b
d
b
d
(
)
(
)
189
3
3
26
4
3
2
1
4
3
2
1
=
−
−
+
−
+
+
+
×
b
b
b
b
d
b
b
b
b
(
)
7
3
3
4
3
2
1
−
=
−
−
+
b
b
b
b
d
故
1
4
2
3
3
2
4
1
b
a
b
a
b
a
b
a
+
+
+
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
3
4
3
26
26
26
3
26
b
d
b
d
b
d
b
d
+
+
+
+
−
+
−
=
(
)
(
)
1
2
3
4
4
3
2
1
3
3
26
b
b
b
b
d
b
b
b
b
+
+
−
−
+
+
+
+
×
=
175
7
7
26
=
−
×
=
二
二
二
二、
、
、
、多
多
多
多選題
選題
選題
選題（
（
（
（占
占
占
占 25 分
分
分
分）
）
）
）
8.
一等差數列
64
10
=
a
、
32
18
=
a
，且
n
n
a
a
a
S
+
+
+
=
⋯
⋯
2
1
，若
n
a
n
b
2
=
，
則下列選項哪些是正確的？
(1)
n
a
的公差為 2
−
(2)
26
25
S
S
>
(3)
n
b
是一個等比數列
(4)
40
30
b
b
<
(5)
0
log
50
>
b
。
答：
(3)
（
108
課綱第二冊第一章數列級數
—
等差等比）
解：
=
+
=
=
+
=
32
17
64
9
1
18
1
10
d
a
a
d
a
a
−
=
=
4
100
1
d
a
(
) (
)
4
1
100
−
×
−
+
=
n
a
n
0
25
26
25
26
+
=
+
=
S
a
S
S
n
n
a
n
n
b
16
2
2
2
104
4
104
=
=
=
−
10
30
40
30
16
1
×
=
>
b
b
b
0
2
log
96
2
log
log
96
50
<
−
=
=
−
b
9.
某次數學小考成績不理想，老師想要調整分數，將每一位學生的原始分數乘以 4
.
0 ，再加 40
分，已知每個人調整後的分數皆大於或等於原分數，且調整後的平均分數為 62 分，標準
差8 分，且有 2 人分數仍不及格（小於 60 分），下列哪些選項的敘述是正確的？
(1)
原始分數的平均為 45 分
(2)
原始分數的標準差為 20 分
(3)
原來有 2 人的分數不到 50 分
(4)
原來的最高分不及格（小於 60 分）
(5)
原來的最高分不到 70 分。
答：
(2)(3)(5)
（
108
課綱第二冊第二章數據分析
—
平均數標準差平移伸縮）
解：
→
+
=
=
=
8
'
,
62
'
40
4
.
0
'
S
X
x
x
55
=
X
，
20
=
S
，故原始分數平均為 55 、標準差為 20
60
'<
x
50
<
x
，故原來有 2 人的分數不到 50
由
⋯
6
.
66
3
200
40
4
.
0
'
≈
≤
>
+
=
x
x
x
x
10.
已知平面上兩點
(
)
0
,
1
A
、
(
)
0
,
1
−
B
， P 為圓
Γ
：
(
)
1
2
2
2
=
−
+ y
x
上的動點。
下列哪些選項是正確的？
(1)
使
ABP
∆
面積為1的 P 點恰有1個
(2)
使
ABP
∆
面積為 2 的 P 點恰有 2 個
(3)
使
ABP
∆
為正三角形的 P 點恰有1個
(4)
使
ABP
∆
為等腰三角形的 P 點恰有 2 個
(5)
使
ABP
∆
為直角三角形的 P 點恰有 2 個。
答：
(1)(2)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
(1)
(
)
1
,
0
P
成立
(2)
(
)
2
,
1
P
、
(
)
2
,
1
−
P
成立
(3)
均不成立
(4)
(
)
1
,
0
P
、
(
)
3
,
0
P
、
(
)
2
,
1
P
、
(
)
2
,
1
−
P
、
5
6
,
5
3
P
、
−
5
6
,
5
3
P
成立
(5)
(
)
1
,
0
P
、
(
)
2
,
1
P
、
(
)
2
,
1
−
P
成立
11.
已知實係數二次多項式函數
( )
x
f
y =
的圖形與
x
軸交於
(
)
0
,
1
與
(
)
0
,
2
兩點，
實係數二次多項式函數
( )
x
g
y =
的圖形與
x
軸交於
(
)
0
,
2
與
(
)
0
,
3
兩點。
則
( )
( )
0
<
−
x
g
x
f
的解可能為下列哪些選項？
(1)
3
>
x
或
1
<
x
(2)
3
1
<
< x
(3)
2
>
x
(4) x
為實數且
2
≠
x
(5)
無解。
答：
(3)(4)(5)
（
108
課綱第一冊第三章多項函數
—
二次函數）
解：
( )
(
)(
)
2
1
−
−
=
=
x
x
a
x
f
y
、
( )
(
)(
)
3
2
−
−
=
=
x
x
b
x
g
y
，
0
≠
a
、
0
≠
b
( )
( ) (
) (
)
(
)
[
]
0
3
2
<
−
−
−
−
=
−
b
a
x
b
a
x
x
g
x
f
當
=
−
0
b
a
( )
( ) (
)
[
]
>
<
<
>
<
−
=
−
2
0
2
0
0
2
2
x
b
x
b
b
x
x
g
x
f
解解
解解
當
≠
−
0
b
a
( )
( ) (
)(
)
0
3
2
<
−
−
−
−
−
=
−
b
a
b
a
x
x
b
a
x
g
x
f
≠
∈
=
>
<
<
<
>
>
<
−
=
<
<
<
<
<
>
>
−
→
−
−
=
2
,
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
3
x
R
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
b
a
k
x
k
k
k
x
k
b
a
b
a
b
a
k
解解
或
解解
或
解解
無解
解解
解解
12.
有一顆公正的正四面體骰子，四個面的點數分別為 4 、 6 、8 、10 ，將此骰子連丟三次，
底面的點數為
a
、 b 、
c
，則下列哪些選項的敘述是正確的？
(1)
(
)
c
b
a
,
,
共有 64 種
(2)
(
)
c
b
a
,
,
可圍成正三角形的有 4 種
(3)
(
)
c
b
a
,
,
可圍成等腰三角形的有 30 種
(4)
(
)
c
b
a
,
,
可圍成直角三角形的有1種
(5)
(
)
c
b
a
,
,
可圍成三角形的有 58 種。
答：
(1)(2)
（
108
課綱第二冊第三章排列組合機率）
解：
(1)
共有
64
4
3
=
種
(2)
有 4 種
(3)
有
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
34
10
!
3
10
2!
3!
10
,
610
,
10
,
8
,
8
,
8
,
6
,
6
,
6
,
4,4,4
8
,
10
,
10
,
6
,
10
,
10
,
4
,
10
,
10
,
10
,
8
,
8
,
6
,
8
,
8
,
4
,
8
,
8
10
,
6
,
6
,
8
,
6
,
6
,
4
,
6
,
6
,
4,4,6
=
×
+
×
種
(4)
有
(
)
6
!
3
10
,
8
,
6
=
種
(5)
有
(
)
(
)
(
)
52
6
6
64
1
!
3
2
!
2
!
3
64
10
,
6
,
4
10
,
4
,
4
8
,
4
,
4
=
−
−
=
×
−
×
−
種。
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題（
（
（
（占
占
占
占 25 分
分
分
分）
）
）
）
13.
某一種病毒肆虐全臺，此病毒經過
t
週後全臺受到感染的比率為
( )
%
100
7
2
1
×
×
+
=
bt
a
t
f
，已知一開始時有 %
1
的人受到感染；經過了一週之後，
有
%
25
的人受到感染，則 b 的值為
。
答：
2
−
（
108
課綱第一冊第一章指數）
解：
( )
%
1
%
100
2
1
0
=
×
+
=
a
f
98
=
a
( )
%
25
%
100
7
2
1
1
=
×
×
+
=
b
a
f
2
−
=
b
14.
一個三角形的三邊長分別為
c
b
a
,
,
，其內切圓半徑為
r
，外接圓半徑為 R ，已知
72
:
1
:
=
+
+
abc
c
b
a
，則
r
R + 的最小值為
。
答：
無解（題目疑有誤）
（
108
課綱第二冊第四章三角比）
解：
S
c
b
a
2
=
+
+
，
S
abc
144
=
rS
R
abc
=
=
∆
4
∆
=
4
144 S
R
，
S
r
∆
=
12
4
144
2
2
=
∆
×
∆
=
≥
+
S
S
Rr
r
R
（但等號不成立，故無最小值）
15.
在坐標平面上，已知由四個不等式
0
≥
− y
x
，
10
≤
− y
x
，
0
≥
+ y
x
，
10
≤
+ y
x
所圍成的
區域為 Ω，若有一圓
Γ
使得 Ω 完全落在圓
Γ
的邊界或內部，則圓
Γ
的最小面積為
π
。
答：
π
25
（
108
課綱第一冊第二章線性不等式
+
圓）
解：
(
)
2
2
2
5
5
≤
+
−
y
x
16.
設
a
， b 皆為正實數，且滿足
0
2022
2022
2022
=
+
−
+
b
a
b
a
，
則
3
3
+
b
a
a
b
的值為
。（化為最簡根式）
答：
5
2
（
108
課綱第一冊第一章乘法公式）
解：
原式
0
1
1
1
=
+
−
+
b
a
b
a
(
)
(
)
0
=
+
+
+
−
b
a
a
b
a
b
ab
0
2
2
=
−
+
b
a
ab
0
1
2
=
−
+
b
a
b
a
2
5
1 ±
−
=
b
a
（取正）
故
2
1
5
1
5
2
+
=
−
=
a
b
5
=
+
a
b
b
a
所求
5
2
5
3
5
5
3
3
=
−
=
+
−
+
=
a
b
b
a
a
b
b
a
17.
有三個半徑分別為1， 2 ， 3 的圓，且這三個圓兩兩外切，切點分別為 A ， B ， C ，
則 ABC
∆
的面積為
。（化為最簡分數）
答：
5
6
（
108
課綱第二冊第四章三角比）
解：
(
)
6
5
4
3
2
1
=
+
+
=
S
，
6
1
2
3
6
=
×
×
×
=
∆
所求
5
6
6
5
2
3
2
5
3
4
3
4
1
3
1
1
=
×
×
−
×
−
×
−
=
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合
混合
混合
混合題或非選擇
題或非選擇
題或非選擇
題或非選擇題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 15 分
分
分
分）
）
）
）
18-20
題為題組
賴老師到自助餐店吃飯都固定選一個主食、一個主菜和一個配菜，其中主食有白飯、紫
米飯、炒飯、粥四種選擇，主菜有雞腿、排骨、爌肉三種選擇，配菜有荷包蛋、豆芽菜兩種
選擇。根據上述資料，試回答下列問題。
（
108
課綱第二冊第三章排列組合機率）
18.
賴老師吃飯的所有搭配組合數為下列哪一個選項？（單選題）
(1)6
種
(2)24
種
(3)60
種
(4)72
種
(5)144
種。
答：
(2)
解：
24
2
3
4
=
×
×
19.
如果賴老師打算不吃澱粉，所以不選主食，然後選兩個不一樣的主菜搭配一個配菜，
則賴老師吃飯的所有搭配組合數有
種。
答：
6
解：
6
2
3
2
=
×
C
20.
有一天賴老師跟自助餐阿姨說：『我吃粥不配荷包蛋，而且只要一吃爌肉，就一定要配
白飯，現在開始我天天來吃一次，你知道我要吃幾天才可以把所有搭配都吃過一遍呢？』
請幫自助餐阿姨計算，賴老師需要連續吃幾天就可以把所有搭配都吃過一遍。
答：
16
解：
16
1
6
3
24
1
1
1
2
1
3
1
3
1
2
3
4
=
+
−
−
=
×
×
+
×
×
−
×
×
−
×
×
+
+
+
+
+
+
豆豆豆
爌爌
粥
任任豆
爌爌
非非非
豆豆豆
任任爌
粥
全