全國高中 109 年(108 學年度)
高三上學測模擬考數學(108-E4)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題（
（
（
（占
占
占
占 65 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
1. 甲、乙兩校依據教育部規定，在每一週星期一至五的早自習中固定選擇 2 天，
由學生自主規劃運用，以培養主動學習的精神。若兩校選擇自主規劃的時間為獨立事件，
試問甲、乙兩校選擇的 2 天中恰有1天相同的機率為何？
(1)
5
2
(2)
2
1
(3)
5
3
(4)
10
7
(5)
5
4
。
答： (3)
解：
[
]
5
3
2
!
2
5
2
5
2
4
2
5
1
=
=
×
日
乙乙乙
、
甲
其其其日乙其日
有有有有日
C
C
C
C
2. 試問有多少個整數 n ，可以使得
n
×
6
5
6000
為整數？
(1)1個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 5 個。
答： (5)
解： 原數
Z
n
∈
×
×
×
×
=
3
2
5
5
3
2
3
1
4
1
=
n
， 1
−
， 2
−
， 3
−
， 0
3. 空間中，OA、OB、OC皆為非零向量，已知OA × OB = OC，OB × OC = OA，
且OC × OA與OB平行。若
|
|
OA
4
=
，且令OA、OB所張成的四邊形面積為
1
T ，
OA、OC所張成的四邊形面積為
2
T ，OB、OC所張成的四邊形面積為
3
T ，
則
3
2
1
T
T
T
+
+
之值為下列哪一個選項？
(1)12 (2)16 (3) 20 (4) 24 (5) 32 。
答： (4)
解： OA、OB、OC兩兩互相垂直
|
|
OA × OB =
|
|
OC
|
|
OA
|
|
OB =
|
|
OC
|
|
OB × OC =
|
|
OA
|
|
OB
|
|
OC =
|
|
OA
|
OA
|
=4
────→
|
|
OB
1
=
|
|
OC
4
=
所求
24
4
1
4
4
1
4
=
×
+
×
+
×
=
4. 有一個猜英文字母的遊戲，進行的方式是給定10 張卡片，上面分別寫著 AB 、 AC 、 AD 、
AE 、 BC 、 BD 、 BE 、 CD 、 CE 、 DE 。主持人先從這10 張卡片中任意抽選一張，由
小淳來猜測這張卡片上的字母，每經過一分鐘，主持人會給小淳一個提示，提示方法是
主持人會寫下兩個字母，例如提示 AB ，則表示主持人所抽的卡片上必定有字母 A 或 B ，
因此小淳可以推測出主持人所抽的卡片可能是 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 BC 、 BD 、 BE
這 7 種可能。已知遊戲過程中，主持人每經過一分鐘給出的提示依序為 AB 、 CD 、 AC 、
BD 、 CE 、 BC 、 BE ，請問小淳最早在哪一個提示時，就可以確實推測出主持人所抽的
卡片為 BC ？
(1) BE (2) BC (3) CE (4) BD (5) AC 。
答： (3)
解： 提示 AB → 可能 AB ， AC ， AD ， AE ， BC ， BD ， BE
提示 CD → 剩下 AC ， AD ， BC ， BD
提示 AC → 剩下 AC ， AD ， BC
提示 BD → 剩下 AD ， BC
提示 CE → 剩下 BC
5. 在坐標平面上，若直線 L 通過點
a
2
,
2
與
a
4
,
4
，且與直線 M ：
5
6
2
=
+
y
x
垂直，
則 a 的值為下列哪一個選項？
(1)
2
log
3
(2)
3
log
2
(3)
2
log
5
(4)
5
log
2
(5)無法判斷。
答： (2)
解： 斜率
3
2
4
2
4
=
−
−
=
a
a
2
3
1
2
2
×
=
−
a
a
3
log
2
=
a
6. 小明從1到 500 的正整數中挑選 4 個相異的數字，使這 4 個數由小到大排列後形成一個
等比數列。已知此等比數列的第一項（首項）為 32 ，則下列哪一個數不可能出現在小明
挑選的 4 個數之中？
(1) 48 (2)108 (3)162 (4) 200 (5) 256 。
答： (3)
解：
500
32
32
3
≤
×
<
r
3
3
2
5
1
≤
< r
又 32 ，
r
32 ，
2
32 r ，
Z
r
∈
3
32
2
3
=
r
，
2
4
，
2
5
當
2
3
=
r
，四數為 32 ， 48 ， 72 ，108
當
2
=
r
，四數為 32 ， 64 ，128 ， 256
當
2
5
=
r
，四數為 32 ， 80 ， 200 ， 500
7. 空間中兩點
(
)
3
,
2
,
1
A
、
(
)
1
,
4
,
2
B
，令線段 AB 在 xy 平面、平面 E ：
10
2
2
=
+
+
z
y
x
的
投影長度分別為 a 、 b ，請選出正確的選項：
(1)
(
)
0
,
1
,
1
為 xy 平面的法向量 (2)
2
=
a
(3)直線 AB 與平面 E 平行 (4)
b
a >
(5)直線 AB 與 z 軸相交。
答： (5)
解： (1) xy 平面，即
0
=
z
，法向量
(
)
1
,
0
,
0
(2)
(
) (
)
(
)
5
0
,
4
,
2
,
0
,
2
,
1
=
= d
a
(3) A 、 B 均在平面 E 上
(4) =
b
|
|
AB
(
)
3
2
,
2
,
1
=
−
=
(5) AB
−
=
+
=
+
=
t
z
t
y
t
x
2
3
2
2
1
與 z 軸交於
(
)
5
,
0
,
0
，即
1
−
=
t
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題（
（
（
（占
占
占
占 30 分
分
分
分）
）
）
）
8. 設 c 、 d 為實數，下列有關線性方程組
=
+
=
+
+
=
+
+
d
z
y
z
cy
x
cz
y
x
1
0
的敘述哪些是正確的？
(1)若此線性方程組有解，則必定恰有一組解
(2)若此線性方程組有解，則
1
≠
c
(3)若此線性方程組有解，則
0
=
d
(4)若此線性方程組無解，則
1
=
c
(5)若此線性方程組無解，則
0
≠
d
。
答： (1)(2)(4)
解：
2
2
1
1
0
1
1
1
1
−
=
=
∆
c
c
c
當
1
=
c
，原式無解（此時
0
=
d
，
0
≠
d
均成立）
當
1
≠
c
，原式恰一組解（此時，
0
=
d
，
0
≠
d
均成立）
9. 設 n 為正整數，蕾貝卡每天從漢堡、三明治、小籠湯包、饅頭夾蛋這 4 種選擇1種當早餐，
每天的早餐必須和前一天不同，令連續 n 天所有選擇早餐的情況中，第 n 天與第1天選擇
早餐相同的情況數為
n
a ，第 n 天與第
1天選擇早餐不同的情況數為
n
b 。因此，
4
1
=
a
，
0
1
=
b
，
0
2
=
a
，
12
2
=
b
，已知
=
+
+
1
1
n
n
n
n
b
a
b
a
s
r
q
p
，對所有的正整數 n 恆成立，
請選出正確的選項：
(1)
=
3
0
r
p
(2)
=
1
2
s
q
(3)
24
4
=
a
(4)
72
4
=
b
(5)對於所有的正整數 n ，恆有
n
n
n
b
b
4
1
≥
+
+
。
答： (1)(3)
解： ∵
36
3
3
4
3
3
=
×
×
=
+ b
a
且
(
)
12
1
3
4
3
=
×
×
=
a
，故
24
3
=
b
∴
=
24
12
12
0
12
0
0
4
s
r
q
p
=
2
3
1
0
s
r
q
p
∴
=
84
24
24
12
2
3
1
0
24
4
=
a
，
84
4
=
b
由
×
=
+
=
+
=
+
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
b
a
a
b
3
4
2
3
1
1
1
1
1
3
4
−
×
=
+
n
n
n
b
a
1
1
3
4
−
−
×
=
+
n
n
n
b
b
（即
n
n
n
b
b
3
4
1
×
=
+
+
）
但
n
n
4
3
4
≥
×
4
3
4
≤
n
(
)
4
log
3
log
4
log
≤
−
n
⋯
⋯
8
.
4
1249
.
0
6020
.
0
≒
≤
n
，表
5
≥
n
後不成立
10. 坐標平面上，一圓 Γ 與兩直線
1
L 、
2
L 分別相切於
(
)
1
,
1 −
P
、
(
)
5
,
3
Q
兩點，
已知直線
1
L 的斜率為
1
−
，請選出正確的選項：
(1)圓 Γ 的圓心在直線
2
=
− y
x
上
(2)圓 Γ 的圓心坐標為
2
1
,
2
5
(3)圓 Γ 的半徑大於 4
(4)直線
2
L 的斜率為
0
(5)直線
1
L 與
2
L 的交點坐標為
(
)
4
,
4
−
。
答： (1)(5)
解： (1) PQ 的中垂線
8
3
=
+
y
x
必過圓心
又過 P 之法線
2
=
− y
x
也過圓心
(2)故圓心
2
3
,
2
7
O
(3)半徑
4
2
2
5
<
=
=
=
OQ
OP
(5)過 P 之切線
0
=
+ y
x
與
8
3
=
+
y
x
交於
(
)
4
,
4
−
R
(4)則
32
7
2
−
=
−
=
=
y
x
QR
L
11. 坐標空間中，已知向量 u
(
)
c
b
a
,
,
=
， v
(
)
2
,
1
,
2
=
，其中
16
2
2
2
=
+
+
c
b
a
，且
b
a
2
≠
。
請選出正確的選項：
(1)向量 u 可能平行向量 v
(2)
c
b
a
2
2
+
+
的最大可能值為12
(3)可找到向量 u 使得 u ⋅ v
15
=
(4)
|
|
u × v 之值可能為 0
(5)若向量 u 滿足
|
|
u ⋅ v
2
=
| |
v ，則
|
|
u × v
3
6
=
。
答： (5)
解： (1)∵
b
a
2
≠
∴ u 必不平行 v
(2)∵
[
]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
c
b
a
c
b
a
+
+
≥
+
+
+
+
∴
12
2
2
12
≤
+
+
≤
−
c
b
a
，但等號不成立（∵
b
a
2
≠
）
(3) u ⋅ v =
| |
u
| |
v
θ
cos
1
3
4
15
cos
>
×
=
θ
不成立
(4)
|
|
u × v =
| |
u
| |
v
0
sin
=
θ
θ
sin
u // v ，矛盾
(5)
|
|
u ⋅ v
2
=
| |
v
=
θ
cos
2
| |
u
2
1
=
，故
2
3
sin
=
θ
|
|
u × v
3
6
sin
3
4
=
×
×
=
θ
12. 如圖（此為示意圖），圖中 ABCD 為圓內接四邊形，
已知 ABD
∆
的面積為 4 ，
3
=
BC
，
5
=
CD
，
BDC
BCD
∠
=
∠
2
，請選出正確的選項：
(1)
°
>
∠
45
BDC
(2)
3
2
cos
=
∠BCD
(3)
6
2
=
BD
(4)BA ⋅ BD
0
>
(5)AB ⋅ AD
2
2
−
=
。
答： (3)(4)(5)
解：(1) BCD
∆
中，正弦定律：
(
)
°
=
<
=
−
°
=
45
sin
2
2
3
1
sin
3
180
sin
5
sin
3
θ
θ
θ
(2)
3
1
sin
2
1
2
cos
cos
2
=
−
=
=
∠
θ
θ
BCD
(3) BCD
∆
中，正弦定律：
6
2
3
2
6
cos
6
2
sin
sin
3
=
×
=
=
=
θ
θ
θ
BD
BD
(4)
(
)
BAD
BAD
∠
−
=
−
=
−
°
=
∠
3
1
2
cos
2
180
cos
cos
θ
θ
為鈍角，故 ABD
∠
為銳角，
則BA ⋅ BD
0
>
，且
3
8
sin
=
∠BAD
(5) ABD
∆
的面積為
2
6
sin
2
1
4
=
×
∠
×
×
×
=
AD
AB
BAD
AD
AB
則AB ⋅ AD
2
2
cos
−
=
∠
×
×
=
BAD
AD
AB
13. 某人想要測量自己走路速度與心跳速率的關係，
他記錄了 7 筆在不同走路速度下的心跳速率資料，
將走路速度以 X 表示，其單位為公尺／秒（簡寫
為
s
m
/ ）；心跳速率以Y 表示，其單位為每分鐘的
次數（簡寫為 bpm ），將 X 、Y 畫成散佈圖如右。
已知Y 對 X 的迴歸直線方程式為
6
.
63
3
.
37
+
=
x
y
，
其中 X 的算術平均數為 12
.
1
，標準差為 63
.
0
，
請選出正確的選項：
(1) X 與Y 的相關係數為負數
(2)Y 的算術平均數小於103
(3)Y 的標準差大於 20
(4)在國外常用英里／小時（簡寫為 mph ）作為速度單位，已知
mph
s
m
24
.
2
/
1
≈
，
若以
'
X 表示將 X 的單位換算成 mph 後的走路速度，則
'
X 的標準差會大於
63
.
0
(5)承(4)， Y 對
'
X 的迴歸直線斜率大於
3
.
37 。
答： (3)(4)
解：(1)與 Y 的相關係數應為正數
(2)
103
376
.
105
6
.
63
12
.
1
3
.
37
6
.
63
3
.
37
>
=
+
×
=
+
=
X
Y
(3)
499
.
23
499
.
23
63
.
0
3
.
37
1
0
>
→
=
×
=
×
=
<
<
y
r
y
x
y
S
r
r
S
S
S
r
m
(4)
'
X 的標準差
4112
.
1
63
.
0
24
.
2
=
×
=
(5)Y 對
'
X 的迴歸直線斜率
⋯
6
.
16
24
.
2
3
.
37
24
.
2
24
.
2
=
=
=
×
=
′
′
×
′
=
m
S
S
r
S
S
r
x
y
x
y
3
.
37
<
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：選填
選填
選填
選填題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 35 分
分
分
分）
）
）
）
A. 已知實係數二次方程式
0
8
2
=
+
+ cx
x
有一根為
bi
a +
，其中 a 、 b 均為正數，
1
−
=
i
，
則 ab 的最大可能值為 。
答： 4
解：
(
)(
)
8
2
2
=
+
=
−
+
b
a
bi
a
bi
a
， a 、
R
b ∈
算幾不等式：
2
2
2
2
2
b
a
b
a
≥
+
4
≤
ab
B. 設 x 為實數且滿足
4
3
2
1
=
−
+
−
+
−
x
x
x
，則
5
4
−
+
−
x
x
的最小值為 。
（化為最簡分數）
答：
3
7
解：
4
3
2
1
=
−
+
−
+
−
x
x
x
3
10
=
x
或
3
2
則
3
7
5
4
=
−
+
−
x
x
或
3
23
C. 某班級共 42 位同學，因慶祝排球比賽冠軍要訂購外食，他們選定了雞排，珍奶和嫩仙草
等 3 項外食。統計結果如下：有19 人沒訂雞排，有13 人沒訂珍奶，有 23人沒訂嫩仙草，
且每個人至少都有訂一項，但沒有人三項都訂，則有 位同學恰訂了兩項外食。
答： 29
解：
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
23
13
19
42
e
d
a
f
d
b
f
e
c
f
e
d
c
b
a
則
(
)
29
55
84
23
13
19
42
2
=
−
=
+
+
−
×
=
+
+
c
b
a
D. 雙曲線 Γ 的圖形如圖（此為示意圖），其中
1
F 、
2
F 為焦點，
O 為原點。
A 、 B 是以 O 為圓心，
1
OF 為半徑的圓與 Γ 的交點。
已知
1
ABF
∆
為正三角形，且
1
1
=
OF
，則 Γ 的貫軸長為 。
（化為最簡根式）
答：
1
3 −
解：
1
1
=
=
=
OF
OB
OA
，
−
2
3
,
2
1
A
，
(
)
0
,
1
1
F
，
(
)
0
,
1
2
−
F
1
3
2
2
1
−
=
−
=
AF
AF
a
E. 如圖（此為示意圖）， ABCD 為平面上的四邊形，
已知
1
=
AD
，
2
=
CD
，
7
=
AC
，且
14
7
cos
−
=
∠BAD
，
5
21
sin
=
∠ ABC
，則
=
BC
。（化為最簡分數）
答：
2
5
解：
7
2
7
1
2
4
7
1
cos
=
×
×
−
+
=
∠CAD
7
3
sin
=
∠CAD
(
)
2
1
7
3
14
21
3
7
2
14
7
cos
cos
=
×
+
×
−
=
∠
−
∠
=
∠
CAD
BAD
BAC
ABC
AC
BAC
BC
∠
=
∠
sin
sin
5
21
7
2
3
=
BC
2
5
=
BC
F. 坐標平面上，已知直線 AB 的斜率為1，且通過點
(
)
2
,
7
，若直線 BC 的法向量為 n
(
)
1
,
1
=
，
且通過點
(
)
1
,
4
，直線 AC 的參數式為
+
=
+
=
1
4
3
t
y
t
x
，
R
t ∈
，則 ABC
∆
的面積為 。
答： 2
解：
(
)
(
)
(
)
1
,
6
0
,
5
2
,
3
9
3
5
5
−
−
=
−
=
+
=
−
C
B
A
y
x
CA
y
x
BC
y
x
AB
：
：
：
，故 ABC
∆
面積
2
1
=
||
AB
AC
||
2
1
3
2
2
2
1
=
=
G. 坐標空間中，直線 AB 表 y 軸，直線 AC 的方程式為
2
2
1
z
y
x
=
=
，直線 BC 的方程式為
b
a
z
y
x
−
=
−
=
1
6
2
，則數對
(
)
=
b
a
,
。
答：
(
)
4
,
0
解： AB 、 AC 交於
(
)
0
,
0
,
0
A
，令
(
)
0
,
,
0 t
B
，
(
)
s
s
s
C
2
,
2
,
，
0
≠
ts
BC
(
) (
)
b
s
t
s
s
,
1
,
2
//
2
,
2
,
−
=
4
=
b
(
)
0
,
,
0 t
B
6
4
1
6
2
=
−
=
−
=
∈
t
a
y
x
、
0
=
a