全國高中 112 年(111 學年度)
高三上 第四次學測模擬考數學(數 A)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇(填)題（占 85 分）
⼀、單選題（占 25 分）
1. 若
x
為實數，且
8
5
<
−
+ x
x
，則
x
的整數解有多少個？
(1) 6 (2) 7 (3)8 (4) 9 (5)10
答： (3)
解：
8
5
0
<
−
+
−
x
x
2
13
2
3
<
<
−
x
→
∈ Z
x
6
,
,
1
,
0
,
1
⋯
−
=
x
2.
已知一直角三角形的兩股長分別為
9
log
8
log
與
3
log
4
log
，若此直角三角形的周長為
x
3
log
，
則
x
之值為下列何者？
(1)
32
(2)
64
(3)
256
(4)
1024
(5)
4096
答：
(2)
解：
兩股長
2
log
3
9
=
，
2
log
4
9
，斜邊
2
log
5
9
=
周長
64
log
2
log
6
2
log
12
3
3
9
=
=
=
3.
如右圖，在
ABC
∆
中，若
A
∠
的內角平分線交
BC
於 D ，
且
3
=
AB
、
6
=
AC
、
3
=
AD
，則
(
)
BAC
∠
cos
的值為何？
(1)
5
3
(2)
4
3
(3)
5
4
(4)
8
1
(5)
8
7
答：
(4)
解：
ACD
ABD
ABC
∆
+
∆
=
∆
，
θ
=
∠
=
∠
CAD
BAD
θ
θ
θ
sin
3
6
2
1
sin
3
3
2
1
2
sin
6
3
2
1
×
×
×
+
×
×
×
=
×
×
×
4
3
cos
=
θ
，則
8
1
1
4
3
2
2
cos
cos
2
=
−
×
=
=
∠
θ
BAC
4.
已知 A 、 B 、 C 三點不共線， P 、
Q
為直線 BC 上相異兩點，且AP a
=
AB
b
+ AC
，
AQ
b
2
=
AB
(
)
b
a
3
7
−
+
AC
，其中 a 、b 為相異實數。若 ABC
∆
面積為 48 ，
則 APQ
∆
面積為多少？
(1)
24
(2)
36
(3)
48
(4)
60
(5)
72
答：
(4)
解：
由共線定理
1
=
+ b
a
且
(
)
1
3
7
2
=
−
+
b
a
b
4
1
=
a
，
4
3
=
b
，
AP
4
1
=
AB
4
3
+
AC
AQ
2
3
=
AB
2
1
−
AC
60
48
4
5
4
5
=
×
=
∆
=
∆
ABC
APQ
5.
大華、中明、小強三人要輪流在週一到週六的晚上留在公司值班，一天一人，
每人排兩天，若恰有一人要連排 2 個晚上，且其他兩人皆不可連排，
則總共有多少種排法？
(1)
10
(2)
12
(3)
24
(4)
30
(5)
36
答：
(5)
解：
(
)
36
12
3
2
2
4
2
2
3
1
=
×
=
+
+
+
+
×
C
二、多選題（占 30 分）
6.
下列哪些選項中的兩個圖形經過左右或上下平移後可完全重合？
(1)
1
2
2
+
=
x
y
的圖形與
1
3
2
2
−
+
=
x
x
y
的圖形
(2)
1
2
3
+
=
x
y
的圖形與
1
12
2
2
3
+
−
=
x
x
y
的圖形
(3)
x
y
2
cos
=
的圖形與
x
x
y
2
cos
2
1
2
sin
2
3
+
=
的圖形
(4)
x
y
10
=
的圖形與
−
=
2
10
3
x
y
的圖形
(5)
x
y
2
log
=
的圖形與
(
)
12
3
log
2
−
=
x
y
的圖形
答：
(1)(3)(4)(5)
解：
(1)
(
)
1
0
2
2
+
−
=
x
y
與
8
17
4
3
2
2
−
+
=
x
y
為平移關係
(2)
1
2
3
+
=
x
y
與
(
)
(
)
31
2
24
2
2
3
−
−
−
−
=
x
x
y
非平移關係
(3)
x
y
2
cos
=
與
(
)
°
−
=
60
2
cos
x
y
為平移關係
(4)
x
y
10
=
與
3
log
3
log
3
log
10
2
10
2
10
10
×
−
=
−
=
+
x
x
y
為平移關係
(5)
x
y
2
log
=
與
(
)
(
)
3
log
4
log
4
3
log
2
2
2
+
−
=
−
=
x
x
y
為平移關係
7.
°
°
−
°
°
=
50
sin
50
cos
50
cos
50
sin
A
、
°
−
°
°
°
=
80
cos
80
sin
80
sin
80
cos
B
為兩個二階方陣，
試選出正確的選項。
(1)
2
11
A
A
=
(2)
5
13
B
B
=
(3)
°
°
°
−
°
=
40
cos
40
sin
40
sin
40
cos
AB
(4)
(
)
=
1
0
0
1
2
AB
(5)
°
=
°
40
tan
1
40
tan
1
B
答：
(1)(2)(4)(5)
解：
(1)
(
)
(
)
(
)
(
)
°
−
°
−
°
−
−
°
−
=
40
cos
40
sin
40
sin
40
cos
A
為旋轉矩陣，
2
11
A
A
=
(2)
°
−
°
°
°
=
80
cos
80
sin
80
sin
80
cos
B
為鏡射矩陣
B
B
B
=
=
5
13
(3)
°
−
°
°
°
=
°
−
°
−
°
−
°
=
40
cos
40
sin
40
sin
40
cos
130
sin
130
cos
130
cos
130
sin
AB
(4)
AB 為鏡射矩陣
(
)
I
AB
=
2
(5)
B 為以
(
)
x
y
°
=
40
tan
為鏡射軸，而點
(
)
°
40
tan
,
1
恰在此鏡射軸上，故正確
8.
已知
( )
4
9
2
3
−
+
+
=
bx
x
ax
x
f
圖形的對稱中心為
(
)
20
,
3
−
，試選出正確的選項。
(1)
(
) (
)
10
,
1
,
=
b
a
(2)
(
)
0
10000
>
−
f
(3)
( )
x
f
y
=
的圖形在點
(
)
(
)
2
,
2
−
−
f
附近，會近似於一直線
24
14
−
−
=
x
y
(4)
(
)
86
.
3
99
.
1
≈
−
f
（四捨五入至小數點以下第二位）
(5)
若
( )
( )
20
−
=
x
f
x
g
，則
( )
0
=
x
g
只有一個實根
答：
(1)(3)(4)
解：
( )
(
)
(
)
4
9
20
3
3
2
3
3
−
+
+
=
+
+
+
+
=
bx
x
ax
x
p
x
a
x
f
1
=
a
，
17
−
=
p
，
10
=
b
，
(
)
0
10000
<
−
f
( ) (
)
(
)
(
)
4
2
14
2
3
2
2
3
+
+
−
+
+
+
=
x
x
x
x
f
在
2
−
=
x
處一次近似：
(
)
24
14
4
2
14
−
−
=
+
+
−
=
x
x
y
(
) (
)
(
)
(
)
86
.
3
4
01
.
0
14
01
.
0
3
01
.
0
99
.
1
2
3
≒
+
−
+
=
−
f
( )
( )
(
)
(
)
3
17
3
20
2
+
−
+
=
−
=
x
x
x
f
x
g
，與
x
軸交於三點
9. U
國在其南部邊境小島上部署 A 型、B 型、C 型三種反艦飛彈，其命中率分別為 5
.
0 、 6
.
0
、
7
.
0 ，且飛彈不會互相干擾。
R
國來犯的每一艘驅逐艦，如果被 2 枚或 2 枚以上的飛彈擊中
必會沉沒。請問下列敘述何者正確？
(1)
針對
R
國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，則 3 枚飛彈都擊中的機率為 21
.
0
(2)
針對
R
國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，則此驅逐艦被擊中（不一定要沉沒）的
機率為 94
.
0
(3)
針對
R
國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，則此驅逐艦被擊沉的機率為 44
.
0
(4)
針對
R
國某艘驅逐艦同時發射三型飛彈各
1
枚，已知此驅逐艦被擊沉的條件下，
則它被 A 型與 C 型飛彈擊中的機率為
13
7
(5)
針對
R
國某艘驅逐艦以 A 型飛彈連續攻擊
n
發，可以使擊沉此驅逐艦的機率提高到
%
90
以上，則
n
的最小值為 7
答：
(1)(2)(4)(5)
解：
(1)
210
.
0
7
.
0
6
.
0
5
.
0
=
×
×
(2)
(
)(
)(
)
940
.
0
060
.
0
1
3
.
0
4
.
0
5
.
0
1
7
.
0
1
6
.
0
1
5
.
0
1
1
=
−
=
×
×
−
=
−
−
−
−
(3)
(
)
(
)
(
)
7
.
0
6
.
0
5
.
0
7
.
0
6
.
0
5
.
0
1
7
.
0
6
.
0
1
5
.
0
7
.
0
1
6
.
0
5
.
0
×
×
+
×
×
−
+
×
−
×
+
−
×
×
650
.
0
=
(4)
(
)
13
7
650
.
0
7
.
0
6
.
0
5
.
0
7
.
0
6
.
0
1
5
.
0
=
×
×
+
×
−
×
(5)
(
)
(
)
(
)
9
.
0
5
.
0
5
.
0
1
5
.
0
1
1
1
1
>
−
−
−
−
−
n
n
n
C
(
) (
)
1
.
0
1
5
.
0
<
+
n
n
又
(
) (
)
⋯
109
.
0
64
7
6
1
5
.
0
6
≒
=
+
，
(
) (
)
03125
.
0
32
1
7
1
5
.
0
7
=
=
+
故
n
取 7
10.
已知函數
( )
−
−
=
3
2
sin
2
2
sin
2
π
x
x
x
f
，且
x
為任意實數，下列敘述何者正確？
(1)
(
)
( )
x
f
x
f
−
=
−
(2)
若
2
0
π
≤
≤ x
，則
( )
2
3
≤
≤
−
x
f
(3)
>
8
9
π
π
f
f
(4)
直線
12
5
π
−
=
x
是
( )
x
f
y
=
圖形的對稱軸
(5)
( )
x
f
y
=
的圖形可由
x
y
2
sin
2
=
向左平移
3
π
而得
答：
(2)(3)(4)
解：
( )
⋅
−
⋅
−
=
2
3
2
cos
2
1
2
sin
2
2
sin
2
x
x
x
x
f
⋅
+
⋅
=
+
=
x
x
x
x
2
cos
2
3
2
sin
2
1
2
2
cos
3
2
sin
+
=
3
2
sin
2
π
x
(2)
2
0
π
≤
≤ x
3
4
3
2
3
π
π
π
≤
+
≤
x
( )
2
sin
3
4
sin
π
π
≤
≤
x
f
(3)
12
7
sin
2
8
9
5
sin
2
9
π
π
π
π
=
>
=
f
f
(4)
−
=
−
2
sin
2
12
5
π
π
f
確為對稱軸
(5)
( )
+
=
6
2
sin
2
π
x
x
f
，表由
x
y
2
sin
2
=
向左
6
π
11.
學測15 級分制的計算方式為：前 %
1
學生平均原始得分除以15 ，作為各該科之級距。
考生原始得分
0
分得
0
級分，高於
0
分但低於或等於
1
個級距是
1
級分，高於
1
個級距但低
於或等於 2 個級距是 2 級分，以此類推到14 級分；原始得分高於14 個級距，則為滿級分15
級分。
學測 60 級分制的計算方式為：前 %
1
學生平均原始得分除以 60 ，作為各該科之級距。
考生原始得分
0
分得
0
級分，高於
0
分但低於或等於
1
個級距是
1
級分，高於
1
個級距但低
於或等於 2 個級距是 2 級分，以此類推到 59 級分；原始得分高於 59 個級距，則為滿級分 60
級分。
舉例來說明15 級分制，假設該科分數最高之前 %
1
學生平均原始得分為 96 分，則級距為
40
.
6
15
96
=
。考生如果考 0 分，為 0 級分；考生高於 0 分，但低於或等於 4
.
6
分（
1
個級距），
則為
1
級分；考生高於 4
.
6
分，但低於或等於
8
.
12 分（ 2 個級距），則為 2 級分，依此類推
到14 級分。原始得分高於14 個級距（
6
.
89
4
.
6
14
=
×
），則為滿級分15 級分。
阿明與阿嬌班上有 35 位學生參加學測，下列針對學測英文成績的敘述，請判斷何者正確。
(1)
假設全國最高前 %
1
平均原始得分為 90 分，阿明考 68 分，則以 60 級分制計算可得 46 級
分
(2)
假設全國最高前 %
1
平均原始得分為 90 分，且原始得分阿明比阿嬌多11分，
則以 60 級分制計算阿明與阿嬌可能同級分
(3)
假設以 60 級分制計算，阿明全班級分之中位數為 40 級分，則以15 級分制計算，
全班級分之中位數為10 級分
(4)
假設以15 級分制計算，阿明全班級分之平均數為 5
.
8 級分，則以 60 級分制計算，
全班級分之平均數為
5
.
34 級分
(5)
假設以15 級分制計算，阿明全班級分之標準差為
1
S 級分，則以 60 級分制計算，
全班級分之標準差為
2
S 級分，則
1
2
4 S
S
≥
答：
(1)(2)(3)
解：
(1)
○：級距
5
.
1
60
90
=
=
，
5
.
0
45
5
.
1
68
⋯
=
故得
46
1
45
=
+
級分
(2)
○：如果阿明考100 分，阿嬌考89 分，兩人都是 60 級分
(3)
○：因為15 級分制的級距是 60 級分制的 4 倍，
所以10 級分（15 級分制）可能等於
40
,
39
,
38
,
37
級分（ 60 級分制），
故中位數 40 級分（ 60 級分制）回推可得10 級分（15 級分制）
(4)
×：除了 0 級分之外，每個15 級分制的級分都可能換算到 60 級分制的 4 個級分，
沒有原始分數並不能確定會換算成哪一個級分，
所以無法確定全班級分平均數是
5
.
34 級分
(5)
×：假設阿明班上15 級分制只有
3
,
2
,
1
級分三種分數，
且換成 60 級分制為
9
,
5
,
4
級分，如此可算出
1
2
4 S
S
<
故選
(1)(2)(3)
三、選填題（占 30 分）
12.
設兩變量
x
與 y 的
n
筆數據為
(
)
1
1
, y
x
，
(
)
2
2
, y
x
，…，
(
)
n
n
y
x
,
，且
x
與 y 的平均數分
別為
51
=
x
µ
與
y
µ
，標準差分別為
18
=
x
σ
、
10
=
y
σ
。已知變量
27
=
x
時，可由 y 對
x
的
迴歸線預測 y 值為 49。若將
n
筆數據
(
)
i
i
y
x
,
標準化為新數據
(
)
i
i
y
x
′
′ ,
，
n
i
,
,
3
,
2
,
1
⋯
=
，
可得
'
y
對 '
x 的迴歸線為
'
9
.
0
'
x
y
−
=
，求
=
y
µ
。
答：
37
解：
(
)
(
)
(
)
37
51
18
10
9
.
0
49
,
27
=
→
−
×
−
=
−
=
=
y
y
x
y
x
y
µ
µ
13.
坐標平面上，已知直線 L ：
1
2
−
=
x
y
與圓 C 相切於點
(
)
3
,
2
A
，且
(
)
5
,
2
−
B
在圓 C 上，
則圓心坐標為 。
答：
(
)
4
,
0
解：
AB
中點
(
)
4
,
0
M
，
AB
(
) (
)
1
,
2
//
2
,
4
−
−
=
，
OM
(
)
2
,
1
=
，
圓心
(
)
∈
+
+
t
t
2
4
,
0
法線
8
2
=
+
y
x
0
=
t
14.
用單位長的不鏽鋼條焊接如下圖的正六邊形，圖中的小黑點「●」為焊接點，
在圖
(1)
中，用了12 根不鏽鋼條， 7 個焊接點；
在圖
(2)
中，用了 42 根不鏽鋼條，19 個焊接點；
在圖
(3)
中，用了90 根不鏽鋼條， 37 個焊接點。
試問依此規則，圖
(5)
共需 根不鏽鋼條。
答：
240
解：
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)(
)
2
1
2
6
1
6
6
2
1
2
12
6
6
6
1
2
3
6
6
6
2
2
2
6
6
6
1
2
12
1
2
3
1
2
1
−
+
×
+
−
+
×
−
×
+
=
×
+
+
×
−
×
+
=
×
+
+
×
×
+
=
×
+
+
×
×
+
=
=
−
n
n
n
n
n
a
n
n
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
相相：
⋯
⋯
6
3
3
6
6
6
6
12
2
2
−
+
+
−
+
−
+
=
n
n
n
n
n
n
n
3
9
2
+
=
240
5
3
25
9
5
=
×
+
×
=
∴ a
15.
如圖，四邊形 ABCD 中，
°
=
∠
=
∠
90
BDA
BCD
，
7
=
DA
、
25
=
DB
、
15
=
DC
，則
=
AC
。
答：
442
解：
ADC
CD
AD
CD
AD
AC
∠
×
×
−
+
=
cos
2
2
2
(
)
BDC
∠
+
°
×
×
×
−
+
=
90
cos
15
7
2
15
7
2
2
442
5
4
210
274
sin
210
274
=
×
+
=
∠
+
=
BDC
16.
如圖，空間坐標中一平行六面體，某一底面的其中三個頂點
為
(
)
0
,
0
,
0
O
、
(
)
3
2
1
,
,
a
a
a
A
、
(
)
3
2
1
,
,
b
b
b
B
，
另一面之一頂點為
(
)
1
,
2
,
2
C
，已知
72
1
2
2
2
1
2
1
1
3
1
3
3
2
3
2
=
×
+
×
+
×
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
，
則
OAB
∆
面積的最小值為 。
答：
12
解：
已知平行六面體體積 72
當
| |
c
3
=
為高的最大值
對應平行四邊形的最小值 24
=
12
=
∆OAB
17.
若
m
為實數，且滿足聯立不等式
≥
≥
≤
−
≤
+
0
0
12
3
2
y
x
m
y
mx
y
x
的所有點所形成區域面積為
4
23 平方單位。
則
=
m
。
答：
2
解：
AB ：
12
3
2
=
+ y
x
(
)
4
,
0
A
，
(
)
0
,
6
B
，
OAB
∆
面積 12
=
CF ：
m
y
mx
=
−
(
)
1
−
=
x
m
y
，過
(
)
0
,
1
C
CF 左側（灰色部分）面積
4
23
=
BCF
∆
面積
4
25
=
→
=
5
BC
2
5
=
h
，即
12
3
2
2
5
,
=
+
∈
y
x
t
F
4
9
=
t
2
5
,
4
9
F
，故斜率
2
=
CF
m
第貳部分：混合題或非選擇題（占 15 分）
第
18
至
20
題為題組
已知空間中有兩個平面
1
E ：
1
2
=
+
−
cz
y
x
，
2
E ：
2
=
+
+
dz
y
x
與一直線
1
L ：
2
2
4
2
3
1
−
−
=
−
=
−
z
y
x
，試回答下列問題：
18.
若平面
1
E ：
1
2
=
+
−
cz
y
x
與直線
1
L ：
2
2
4
2
3
1
−
−
=
−
=
−
z
y
x
不相交，
則
c
之值可能為何？（單選題）
(1)
2
−
(2)
1
−
(3)
0
(4)
1
(5)
2
答：
(4)
解：
方向向量
1
L
(
)
2
,
4
,
3
−
=
與法向量
1
E
(
)
c
,
1
,
2
−
=
垂直
1
L
⋅
1
E
0
2
4
6
=
−
−
=
c
1
=
c
19.
若平面
1
E 與平面
2
E 互相垂直，
(
)
2
,
1
,
0
A
與
(
)
2
,
7
,
2
−
−
B
兩點與平面
2
E 等距離且此兩點
在平面
2
E 的異側，試求
(
)
=
d
c
,
？
答：
(
)
−
=
3
,
3
1
, d
c
解：
法向量
1
E
(
)
c
,
1
,
2
−
=
與
2
E
(
)
d
,
1
,
1
=
互相垂直
1
E
⋅
2
E
0
1
2
=
+
−
=
cd
1
−
=
cd
A 、 B 在平面
2
E 異側
(
)
(
)
2
2
7
2
2
2
1
0
−
+
−
−
−
=
−
+
+
d
d
3
=
d
，則
3
1
−
=
c
20.
已知直線 L 為平面
1
E 與平面
2
E 的交線，若
(
)
3
,
1
,
2
P
、
(
)
1
,
1
,
3
−
Q
兩點與直線 L 皆落在
平面 E 上，則平面 E 與直線
1
L 的交點為何？
答：
21
43
,
21
40
,
14
13
解：
(
)
2
1
,
0
,
1
,
1
E
E
R
∈
，
PQ
(
)
2
,
2
,
1
−
−
=
，
PR
(
)
3
,
0
,
1
=
PQ
× PR
(
)
2
,
5
,
6
//
−
，故 E ：
11
2
5
6
=
−
+
z
y
x
1
L 上動點
(
)
E
t
t
t
∈
−
+
+
2
2
,
4
2
,
3
1
42
1
−
=
t
交點為
=
+
−
−
21
43
,
21
40
,
14
13
21
1
2
,
21
2
2
,
14
1
1