全國高中 112 年(111 學年度)
高三上 第一次學測模擬考數學試題
（108 課綱第一冊）
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 85 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 30 分
分
分
分）
）
）
）
1. 有一圓 C ：
0
2
2
=
+
+
+
y
x
y
x
和一直線
mx
y
=
交於 A 、 B 兩點，且
2
=
AB
，
則 m 的值為下列哪一個選項？
(1)
2
1
−
(2)
4
1
−
(3)
1
(4)
2
1
(5)
2
2
。
答：
(3)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
C ：
2
1
2
1
2
1
2
2
=
+
+
+
y
x
，圓心
−
−
2
1
,
2
1
，半徑
2
2
因為
2
=
AB
為圓 C 的直徑，所以
mx
y
=
通過圓心，
−
−
2
1
,
2
1
代入
mx
y
=
，
2
1
2
1
−
=
−
m
，
1
=
m
2.
對任何實數 x ，不等式
1
2
2
2
2
2
+
−
<
+
<
−
−
−
x
x
m
mx
x
x
恆成立，則滿足此一條件的整
數 m 值有多少個？
(1)
0 個
(2)
1個
(3)
3 個
(4)
4 個
(5)
5 個。
答：
(2)
（
108
課綱第一冊第三章二次函數）
解：
(
Ⅰ
)
因為
m
mx
x
x
+
<
−
−
−
2
2
2
恆成立，亦即
(
)
(
)
0
2
2
2
>
+
+
+
+
m
x
m
x
恆成立
條件為
=
D
(
)
(
)
0
2
4
2
2
<
+
−
+
m
m
(
)(
)
0
2
2
<
−
+
m
m
2
2
<
<
−
m
(
Ⅱ
)
同時
1
2
2
+
−
<
+
x
x
m
mx
恆成立，亦即
(
)
(
)
0
1
2
2
>
+
−
+
−
−
+
m
x
m
x
恆成立
條件為
=
D
(
)
(
)
0
1
4
2
2
<
+
−
−
−
−
m
m
(
)
0
8
<
+
m
m
0
8
<
<
−
m
由
(
Ⅰ
)(
Ⅱ
)
得
0
2
<
<
−
m
，故滿足的整數
m
只有 1
−
3.
對某數 N 取一次
log
後，其值為
x
，再對
x
取一次
log
後，其值為111，試問 N 是幾位數？
(1)
1
111
+ 位
(2)
111
10
位
(3)
1
10
111
+ 位
(4)
111
10
10
位
(5)
1
10
111
10
+
位。
答：
(3)
（
108
課綱第一冊第一章對數）
解：
N
x
log
=
(
)
111
log
log
log
=
=
N
x
，
所以
111
10
=
x
，即
N
log
10
111
=
111
10
10
=
N
，所以 N 為
1
10
111
+ 位數
4.
已知
( )
x
f
為二次函數，若
( )
x
f
有最小值且
( )
( )
( )
( )
8
7
5
3
1
=
=
=
=
f
f
f
f
，
則
(
)
6
−
x
f
有最小值為何？
(1)
16
−
(2)
14
−
(3)
12
−
(4)
10
−
(5)
8
− 。
答：
(4)
（
108
課綱第一冊第三章二次函數）
解：
因為
( )
x
f
有最小值，表開口向上
且
( )
( )
8
7
1
=
= f
f
，
( )
( )
8
5
3
−
=
= f
f
，
故
( )
x
f
y
=
對稱軸
4
2
7
1
=
+
=
x
令
( )
(
)
k
x
a
x
f
+
−
=
2
4
( )
( )
−
=
+
=
=
+
=
8
3
8
9
1
k
a
f
k
a
f
−
=
=
10
2
k
a
則
( )
(
)
10
4
2
2
−
−
=
x
x
f
，
故
(
)
(
)
10
10
2
6
2
−
−
=
−
x
x
f
，所以最小值為 10
−
5.
已知存在實數 k 使得滿足不等式
(
)(
)(
)
0
3
2
1
6
2
2
≤
+
+
−
−
−
x
x
x
x
k
x
的整數解
x
有10
個，若 k 的範圍為
b
k
a
≤
<
或
d
k
c
<
≤
，則
=
+
+
+
d
c
b
a
？
(1)
20
(2)
22
(3)
24
(4)
26
(5)
28 。
答：
(2)
（
108
課綱第一冊第三章不等式）
解：
(
)(
)(
)
(
)(
)
0
6
0
3
2
1
6
3
2
2
2
2
≤
−
−
→
≤
+
+
−
−
−
+
+
x
k
x
x
x
x
x
k
x
x
x
恆恆
或
1
=
x
當整數解為：
14
,
13
,
12
,
11
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
1
15
14
<
≤ k
當整數解為：
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
−
−
−
3
4
−
≤
<
−
k
所以
4
−
=
a
，
3
−
=
b
，
14
=
c
，
15
=
d
(
) (
)
22
15
14
3
4
=
+
+
−
+
−
6.
已知多項式
( )
x
f
x
⋅
的圖形在
2
=
x
附近的一次近似為
4
3
−
= x
y
，則
( )
x
f
y
=
的圖形在
2
=
x
附近的一次近似為何？
(1)
1
−
= x
y
(2)
2
−
= x
y
(3)
2
3
−
= x
y
(4)
5
3
−
= x
y
(5)
12
8
−
= x
y
。
答：
(1)
（
108
課綱第一冊第三章三次函數）
解：設
( )
(
)
(
)
(
)
0
1
2
2
2
2
...
2
a
x
a
x
a
x
a
x
f
n
n
+
−
+
−
+
+
−
=
則
( )
(
)
(
)
(
)
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
f
x
n
n
0
1
2
2
2
2
...
2
+
−
+
−
+
+
−
=
⋅
故
(
)
x
a
x
x
a
0
1
2
+
−
除以
(
)
2
2
−
x
的餘式為
(
)
4
3
4
2
1
0
1
−
=
−
+
x
a
x
a
a
故
1
1
=
a
、
= 1
0
a
( )
x
f
y
=
在
2
=
x
處的一次近似為
(
)
1
2
0
1
−
=
+
−
=
x
a
x
a
y
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題（
（
（
（占
占
占
占 30 分
分
分
分）
）
）
）
7.
下列關於實數的敘述哪些是正確的？
(1)
1
8
.
0
2
.
0
=
+
(2)
7
1
的小數點後第100 位數字為 5
(3)
100
5
−
可化成有限小數
(4)
若
x
、 y 為實數且
y
x
<
，則
6
3
2
6
2
3
y
x
y
x
+
<
+
(5)
若
x
、 y 為實數，則
y
x
y
x
−
≥
+
。
答：
(3)(4)(5)
（
108
課綱第一冊第一章有理數、實數）
解：
(1) ×
：
9
10
9
8
9
2
8
.
0
2
.
0
=
+
=
+
(2) ×
：
142857
.
0
7
1
=
，而
4
16
6
100
+
×
=
，故
7
1
小數點後第100 位數字為8
(3)
○：
100
100
100
100
10
2
5
1
5
=
=
−
，可化成有限小數
(4)
○：因為
5
3
2
5
2
3
y
x
y
x
+
<
+
，所以
6
3
2
6
2
3
y
x
y
x
+
<
+
(5)
○：
(
)
y
x
y
x
y
x
−
+
≥
−
+
=
+
8.
有一方程式
Γ
：
0
1
2
2
=
−
−
−
+
+
k
ky
kx
y
x
，試選出正確的選項。
(1)
Γ
的圖形必通過
(
)
0
,
1
和
(
)
1
,
0
−
(2)
Γ
的圖形一定是圓
(3)
Γ
圖形的面積的最小值為
2
π
(4)
0
=
+ y
x
可能為
Γ
的切線
(5)
Γ
圖形的圓心必在
x
y
−
=
上。
答：
(1)(2)(3)(5)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
(
)
0
1
1
2
2
=
−
−
×
+
−
+
y
x
k
y
x
=
−
−
=
−
+
0
1
0
1
2
2
y
x
y
x
交於
(
)
0
,
1
，
(
)
1
,
0
−
表圓
1
2
2
=
+ y
x
與
1
=
− y
x
所成之圓族，
故
Γ
圖形的圓心必在
0
=
+ y
x
上
則
Γ
：
1
2
2
2
2
2
2
+
+
=
−
+
+
k
k
k
y
k
x
(
)
2
1
2
1
2
1
2
≥
+
+
=
k
當
1
−
=
k
時，半徑有最小值為
2
2
，面積最小值為
2
π
9.
已知直線 L 的方程式為
k
ky
x
−
=
+
2
， k 為實數，試選出正確的選項。
(1)
直線 L 的斜率為
k
1
−
(2)
直線 L 的
x
截距為
k
−
2
(3)
不論 k 為何值， L 必過
(
)
1
,
2
−
(4)
若
k
ky
x
−
>
+
2
0
0
，則不論 k 為何值，點
(
)
0
0
, y
x
與點
(
)
1
,
3
−
在 L 的同側
(5)
若 L 與兩坐標軸所圍的三角形面積為 3 ，則滿足條件之直線 L 有三條。
答：
(2)(3)(4)
（
108
課綱第一冊第二章直線）
解：
(1) ×
：若
0
=
k
，則直線 L 沒有斜率
(2)
○：
0
=
y
代入
k
x
−
= 2
(3)
○：整理直線 L 的方程式可得
(
)
1
2
+
−
=
−
y
k
x
， L 必過
(
)
1
,
2
−
(4)
○：因為
(
)
(
)
0
2
3
2
0
0
>
+
−
−
+
−
+
k
k
k
ky
x
，
所以點
(
)
0
0
, y
x
與點
(
)
1
,
3
−
在 L 的同側
(5) ×
：
k
ky
x
−
=
+
2
直線與兩坐標軸交點為
(
)
0
,
2
k
−
和
−
k
k
2
,
0
，且三角形面積為 3
3
2
2
2
1
=
−
−
k
k
k
6
4
4
2
=
+
−
k
k
k
Case 1
：
6
4
4
2
=
+
−
k
k
k
0
4
10
2
=
+
−
k
k
21
5
2
84
10
±
=
±
=
k
Case 2
：
6
4
4
2
−
=
+
−
k
k
k
0
4
2
2
=
+
+ k
k
，因為
0
<
D
， k 無實數解
只有 2 個 k 滿足題意
10.
已知
ABC
∆
的垂心 H 坐標為
(
)
1
,
0
−
，且其中兩頂點 A 、 B 坐標分別為
(
)
2
,
5
、
(
)
2
,
3
−
，
若直線
k
y
x
=
− 2
與
ABC
∆
相交，試選出正確的選項。
(1)
H 在
ABC
∆
內部
(2) ABC
∆
為鈍角三角形
(3)
C 點在 y 軸上
(4)
滿足條件的 k 之最大值為1
(5)
滿足條件之整數 k 有13 個。
答：
(1)(3)
（
108
課綱第一冊第二章直線）
解：設
(
)
−
=
=
−
=
−
−
×
−
⊥
−
=
+
−
×
⊥
3
0
1
5
2
3
3
1
3
2
5
3
,
y
x
x
y
AC
BH
x
y
BC
AH
y
x
C
，在 y 軸上
垂心 H 在
ABC
∆
內部，所以
ABC
∆
為銳角三角形
k
y
x
=
− 2
過
(
)
6
3
,
0
=
−
k
C
、過
(
)
1
2
,
5
=
k
A
、過
(
)
7
2
,
3
−
=
−
k
B
故
6
7
≤
≤
−
k
滿足條件之整數 k 有14 個
11.
已知圓 C 外一點 P 對圓作兩切線，若兩切線與
x
軸的交點坐標分別為
(
)
0
,
10
−
A
、
0
,
2
1
B
，且 O 為圓 C 的圓心，直線 PO 的方程式為
3
−
=
− y
x
。試選出正確的選項。
(1) PA
：
2
=
PB
：1
(2)
A 到直線 PO 的距離為
2
2
13
(3)
B 點關於直線 PO 的對稱點坐標為
−
2
7
,
3
(4)
P 點坐標為
7
,
2
7
(5)
若圓C 恰為
PAB
∆
之內切圓，則圓心 O 的坐標為
(
)
2
,
1
−
。
答：
(1)(3)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
(1)
○：設直線 PO 交
x
軸於 D 點，因為直線 PO 是
APB
∠
的角平分線，
所以
PA
：
AD
PB
=
：
DB
，又 D 點坐標為
(
)
0
,
3
−
AD
：
7
=
DB
：
2
2
7
= ：1
(2) ×
： A 到直線 PO 的距離為
(
)
2
7
1
1
3
0
10
2
2
=
−
+
+
−
−
(3)
○：過 B 作直線 PO 的垂直線
BE
交
PA
於 F 點
BE
方程式為
2
1
=
+ y
x
E 點坐標為
−
4
7
,
4
5
B 點關於直線 PO 的對稱點 F 的坐標為
−
2
7
,
3
(4) ×
：因為 B 點關於直線 PO 的對稱點 F 會落在
PA
上，
所以
PA
方程式為
10
2
−
=
−
y
x
， P 點為
PA
與 PO 交點
P 點坐標為
(
)
7
,
4
(5) ×
：檢查
(
)
2
,
1
−
到
x
軸的距離
(
)
2
,
1
−
≠
到直線
PA
的距離
12.
已知
a
、 b 、
c
為實數，且三次函數
( ) (
)
+
+
+
=
=
c
bx
ax
x
x
f
y
2
1
的圖形如圖所示，若 P 點為
( )
x
f
y
=
的對稱中心。試選出正確的選項。
(1)
0
>
c
(2)
若
( )
x
f
y
=
的圖形在
1
−
=
x
的一次近似為
k
mx
y
+
=
，則
0
>
m
(3)
不等式
0
2
≤
+
+
c
bx
ax
無實數解
(4)
0
>
b
(5)
c
bx
ax
y
+
+
=
2
頂點的
x
坐標大於
2
1
。
答：
(1)(2)(3)(5)
（
108
課綱第一冊第三章三次函數）
解：
(1)
○：
0
=
x
代入
( )
x
f
y
=
過點
(
)
c
,
0
，由圖知
0
>
c
(2)
○：由圖知，在
1
−
=
x
的一次近似直線斜率為正
0
>
m
(3)
○：由圖知，
0
2
=
+
+
c
bx
ax
無實數解
0
4
2
<
− ac
b
，
又
0
>
a
，所以
c
bx
ax
+
+
2
恆正
不等式
0
2
≤
+
+
c
bx
ax
無實數解
(4) ×
：
( )
(
)
(
)
c
x
c
b
x
b
a
ax
x
f
y
+
+
+
+
+
=
=
2
3
，
因為對稱中心 P 點的
x
坐標
0
3
>
+
−
a
b
a
→
>0
a
0
<
+ b
a
→
>0
a
0
<
b
(5)
○：承
(4)
，
0
3
>
+
−
a
b
a
3
1
3
>
−
a
b
2
1
2
3
3
1
2
=
×
>
−
a
b
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題（
（
（
（占
占
占
占 25 分
分
分
分）
）
）
）
13.
6
4
25
4
−
−
的整數部分為
x
，小數部分為 y ，若
y
1
的值為
b
a
+
，
其中
a
、 b 為整數，則
b
a
+ 的值為 。
答：
5
（
108
課綱第一冊第一章無理數）
解：
(
)
2
3
6
2
5
1
24
4
24
2
25
4
−
=
−
=
−
−
=
−
−
，
2
3
−
=
y
，
2
3
2
3
1
1
+
=
−
=
y
，故
3
=
a
，
2
=
b
5
=
+ b
a
14.
有一圓和
0
1
=
+
− y
x
相切且切點為
(
)
1
,
0
，又圓心在
0
8
2
3
=
−
−
y
x
上，
則此圓的圓心為 。
答：
(
)
1
,
2
−
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：圓心在
0
1
=
−
+ y
x
與
0
8
2
3
=
−
−
y
x
上
故圓心為
(
)
1
,
2
−
15.
已知多項式
( )
x
f
除以
1
−
x
的商式為
( )
x
g
，餘式為 3 ；
( )
x
g
除以
2
−
x
的商式為
( )
x
h
，餘式為 2 ；
( )
x
h
除以
3
−
x
的餘式為1，
則
( )
x
xf
除以
(
)(
)(
)
3
2
1
−
−
−
x
x
x
的餘式為 。
答：
6
8
5
2
+
− x
x
（
108
課綱第一冊第三章多項式）
解：
( ) (
) ( )
3
1
+
−
=
x
g
x
x
f
(
) (
) ( )
[
]
3
2
2
1
+
+
−
−
=
x
h
x
x
(
)(
) ( )
(
)
3
1
2
2
1
+
−
+
−
−
=
x
x
h
x
x
(
)(
) (
) ( )
[
]
(
)
3
1
2
1
3
2
1
+
−
+
+
−
−
−
=
x
x
Q
x
x
x
(
)(
)(
) ( ) (
)(
)
(
)
3
1
2
2
1
3
2
1
+
−
+
−
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
Q
x
x
x
( )
(
)(
)(
) ( )
(
)(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
Q
x
x
x
x
x
xf
3
1
2
2
1
3
2
1
+
−
+
−
−
+
−
−
−
=
( )
(
)(
)(
) ( ) (
)(
)(
)
3
2
1
3
2
1
−
−
−
+
−
−
−
=
x
x
x
x
Q
x
x
x
x
x
xf
(
)(
)
(
)
6
8
5
2
3
1
2
2
1
3
+
−
=
+
−
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
x
16. x
、 y 為實數，
1
2
2
=
+ y
x
，則
2
−
x
y
的最大值為 。（化為最簡分數）
答：
3
3
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：令
2
−
=
x
y
m
0
2
=
−
−
m
y
mx
當圓與
0
2
=
−
−
m
y
mx
相交
1
1
2
0
0
2
≤
+
−
−
m
m
1
2
2
+
≤
−
m
m
≤
+
≤
3
1
1
4
2
2
2
m
m
m
3
1
2
=
m
3
3
±
=
m
3
3
2
3
3
≤
−
=
≤
−
x
y
m
17.
已知三次函數
( )
(
)
(
)
k
h
x
p
h
x
a
x
f
y
+
−
+
−
=
=
3
滿足以下兩條件：
(
Ⅰ
)
若
( )
β
α
=
f
，則
(
)
β
α
−
=
−
−
4
2
f
恆成立；
(
Ⅱ
)
( )
x
f
y
=
圖形恰通過兩個象限。
則
=
+
+
+
k
p
h
a
。
答：
1
−
（
108
課綱第一冊第三章三次函數）
解：
(
Ⅰ
)
因為若
( )
β
α
=
f
，則
(
)
β
α
−
=
−
−
4
2
f
恆成立；
所以
(
)
(
)
2
,
1
2
4
,
2
2
−
=
−
+
−
−
+
β
β
α
α
為
( )
x
f
y
=
之對稱中心
1
−
=
h
，
2
=
k
，即
( )
(
)
(
)
2
1
1
3
+
+
+
+
=
x
p
x
a
x
f
(
Ⅱ
)
( )
x
f
y
=
圖形恰通過兩個象限
( )
x
f
y
=
圖形必過
(
)
0
,
0
(
)
(
)
2
1
0
1
0
0
3
+
+
+
+
=
p
a
，所以
2
−
=
+ p
a
(
)
1
2
1
2
−
=
+
−
+
−
=
+
+
+
k
p
h
a
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題
混合題
混合題
混合題或非選擇題
或非選擇題
或非選擇題
或非選擇題（
（
（
（占
占
占
占 15 分
分
分
分）
）
）
）
第
18
至
20
題為題組
小賴的媽媽家位於數線上 10
+
的位置，小賴想買房子，房子的位置須滿足和媽媽家距離
至少 2 單位且不超過
t
單位，其中
2
>
t
，則：
18.
若小賴房子的位置為
x
，下列哪一個選項是正確的？（單選題）
(1)
t
x
<
−
<
10
2
(2)
t
x
≤
−
≤
10
2
(3)
t
x
<
−
<
10
2
(4)
t
x
≤
−
≤
10
2
(5)
t
x
<
−
≤
10
2
。
答：
(4)
（
108
課綱第一冊第一章實數）
解：
t
x
≤
−
≤
10
2
，故選
(4)
19.
承上題，若
5
=
t
且
x
為整數，則
x
的值有 個。
答：
8
（
108
課綱第一冊第一章實數）
解：
5
10
2
≤
−
≤ x
15
12
≤
≤ x
或
8
5
≤
≤ x
，
x
為整數
15
,
14
,
13
,
12
,
8
,
7
,
6
,
5
=
x
，共8 個
20.
承
19.
題，若滿足不等式的整數解
x
有 4 個，則
t
的範圍為何？
答：
4
3
<
≤ t
（
108
課綱第一冊第一章實數）
解：
t
x
≤
−
≤
10
2
10
12
+
≤
≤
t
x
或
8
10
≤
≤
−
x
t
滿足不等式的整數解
x
有 4 個，則
13
,
12
,
8
,
7
=
x
所以
≤
−
<
<
+
≤
7
10
6
14
10
13
t
t
<
≤
<
≤
4
3
4
3
t
t
4
3
<
≤ t