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圖(1)
RA195 全國公私立高中
全國公私立高中全國公私立高中
全國公私立高中 109 學年度第一次學測能力模擬考
學年度第一次學測能力模擬考學年度第一次學測能力模擬考
學年度第一次學測能力模擬考
[南一版
南一版南一版
南一版]
第壹部分
第壹部分第壹部分
第壹部分：
：：
：選擇題
選擇題選擇題
選擇題（
（（
（占
占占
占60 分
分分
分）
））
）
一
一一
一、
、、
、單選題
單選題單選題
單選題（
（（
（占
占占
占30 分
分分
分）
））
）
1. 下列何者正確？
(1)
21 3 7
= − × −
(2)
21 3 7
− = − − × −
(3)
7 7
3
3
=
−
−
(4)
2 3
i i
<
(5)
21 1 21
− − × − =
2. 設a, b為實數，若 3 2
( ) 2 7
f x ax x bx
= + − +
且
( 5) 57
f
− =
，則 f(5)之值為下列何者？
(1) 0 (2) 57 (3)
57
−
(4) 107 (5)
107
−
3. 已知 x是不為 0的整數，且
1 2 3 4 5 6
7 7 7 7 7 7
x x x x x x
×××××
亦為整數，則符合條件的 x
值共有幾個？ (1) 0 個 (2) 2 個 (3) 4 個 (4) 6 個 (5) 8 個
4. 光圈為相機鏡頭內控制進光量的元件，若光圈張開的面積
越大，鏡頭的進光量越大，照片的曝光程度也越明顯。市
售相機會在鏡頭上標示「光圈係數」，用來表示光圈張開
的大小程度，若假設光圈為圓形，「光圈孔徑」即為該圓
的直徑，且光圈係數與光圈孔徑成反比關係。圖(1)為某款
市售鏡頭，最下面的刻度如：1.4,2,2.8,…,16,22 即為此鏡頭
的光圈係數，可以發現相鄰兩個光圈係數之間的比值非常
近似
2
，代表每轉動一格刻度，光圈係數大約增為原本
2
倍時，光圈面積則大約減為原本
1
2
倍。假設現在光圈位置
在刻度 5.6，若想讓光圈面積大約增為現在的 5倍以上，則
至少應將光圈調到什麼刻度比較接近？
(1) 2 (2) 4 (3) 8 (4) 11 (5) 16
5. 一般來說，細菌大部分採二分裂法進行無性生殖，細菌分裂至個數倍增的時間，稱為代
期（generation time）。設某種細菌一「α菌」的代期為 20 分鐘(即：每經過 20 分鐘，
細菌數量增為原本的 2倍)，某間餐廳為了顧客的安全，每經過 2小時會進行店內滅菌一
次，每次滅菌約可殺死 80%的α菌。若剛滅菌完時α菌的數量為 A，再經過 9小時後，
α菌的數量為 kA，請利用對數表，如表(1)，求 k約為多少？
表(1)
(1) 26700
(2) 26800
(3) 214000
(4) 224000
(5) 330000
6. 若
2
x
<
且
4
y
<
，則滿足不等式 2
log ( 6) log (5 )
x x
y y
+ > 之所有點
( , )
x y
所形成的圖形的面
積為多少平方單位？ (1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10
log
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
3010
3032
3054
3075
3096
3118
3139
3160
3181
3201
21
3222
3243
3263
3284
3304
3324
3345
3365
3385
3404
22
3424
3444
3464
3483
3
502
3522
3541
3560
3579
3598
23
3617
3636
3655
3674
3692
3711
3729
3747
3766
3784
24
3802
3820
3838
3856
3874
3892
3909
3927
3945
3962
25
3979
3997
4014
4031
4048
4065
4082
4099
4116
4133
26
4150
4166
4183
4200
4216
4232
4249
4265
4281
4298
27
4314
43
30
4346
4362
4378
4393
4409
4425
4440
4456
RA195
2
二
二二
二、
、、
、多選
多選多選
多選題
題題
題（
（（
（占
占占
占30 分
分分
分）
））
）
7. 若
| 1| 3
x
− ≤
，
| 1| 1
y
+ ≤
，x, y為實數，試選出正確的選項。
(1)
4 3
x
− ≤ ≤
(2)
2 0
y
− ≤ ≤
(3)
4 4
x y
− ≤ + ≤
(4) 2 2
0 16
x y
≤ + ≤
(5)
23 3 4 5 15
xy x y
− ≤ − + + ≤
8. 平時喜歡玩飛鏢的小國與小康看到一個很特別的靶，如圖(2)所示，x為實數且
1, 1, 0
x
≠ −
，他們兩人各射了 10 隻飛鏢後，結果如表(2)。試選出正確的選項。
表(2) (單位：支)
人名
分數 小國 小康
3
x
3 1
2
x
1 2
x 1 3
1 5 4
(1) 小國的總分必大於小康的總分
(2) 小國的總分必小於小康的總分
(3) 若 x > 1，則小國的總分必大於小康的總分
(4) 若小康的總分要大於小國的總分，則
1
x
< −
(5) 存在一有理數 x，可以使兩人的總分相同
9. 若
1
log
A e
π
=
，1
log
e
B
π
=
，1
1
log
e
C
π
=，1
1
log
D
e
π
=，其中
3.142
π
≈
，
2.718
e
≈
，
試選出正確的選項。 (1)
A C D
> >
(2)
D A B
> >
(3)
B D C
> >
(4)
C D B
> >
(5)
D A C
> >
10. 小翊和小辰相約到一個畫有直角坐標的公園去運動，小翊說：「我慢跑的路線是一條拋
物線，沿途會經過
(0,3),(2, 1)
−
與
(4,3)
三個點。」小辰說：「我喜歡沿著直線跑步，途
中會經過
(0, 3)
−
，且我會避開你慢跑的路線，以免衝撞。」若小辰跑步的直線路徑斜率
為m，則m可為下列哪些數值？ (1)
9
−
(2)
6
−
(3)
3
−
(4) 0 (5) 1
11. 多項式函數 4 3 2 2
( ) , ( ) (3 ) 3
f x x x x x g x x a x a
= − − + = + − −
，其中a為實數，式選出正確的
選項。 (1)
( ) 0
f x
=
的根皆為實根 (2)
( ) 0
f x
≤
的解與
( 1) 0
x x
+ ≤
的解相同
(3)
( ) 0
g x
=
的根必含有
3
−
(4)
( ) 0
g x
<
的解可能同時含有
π
及
π
−
(5) 若同時滿足
( ) 0
f x
>
與
( ) 0
g x
<
的整數解只有一個，則
1 2
a
− ≤ ≤
12. 設3 2
(2 1) 16 4 6 2
f x x x x
+ = + + −
，且 3 2
( )
f x ax bx cx d
= + + +
，試選出正確的選項。
(1)
( )
f x
除以
2
x
−
的餘式為4 (2)
( )
f x
除以
2
( 1)
x
−
的餘式為
2
−
(3)
( )
f x
除以
2
( 1) ( 2)
x x
− −
的餘式為 2
3 3 2
x x
− −
(4)
(2 1) 0
f x
+ =
恰有一實根為
1
4
(5) 2
( ) 0
f x
=
恰有一正實根
第
第第
第貳
貳貳
貳部分
部分部分
部分：
：：
：選填題
選填題選填題
選填題（
（（
（占
占占
占40 分
分分
分）
））
）
A. 計算
1
(1 )
1
1
(1 )
1
i
i
i
i
+ −
−
=
+ +
+
。(請化為最簡分數)
單位：分
圖(2)
3
x
2
x
x
1
3
B. 若
2 3 2 3
,
6 6
α β
− +
= = ，則
3 3
α β
+
= 。(請化為最簡分數)
C. 若拋物線 2
y x ax b
Γ = + +
： ，a, b為實數且
Γ
與
1
: 2 4
L y x
= −
、
Γ
與2
: 2 4
L y x
= − +
均恰交
於一點，則(a, b)= 。
D. 已知p, q, r, s為實數，若 3 2
2( 3) 3( 3) 1 ( 1)( 3)( 1) ( 1)( 3)
x x p x x x q x x
− + − + = − − + + − −
( 3)
r x s
+ − +
，則
p q r s
+ + +
= 。
E. 己知
( 3)
A
−
與B(4)是數線上的兩個點，若P(x)是數線上的動點，其中x為整數，且滿足P到
A點及P到B點的距離乘積小於12，則所有可能的x值之總和為 。
F. 設k是實數，已知 36 36
log , log
a b
是方程式 2
2 0
x x k
− − =
的兩實根，則
2 3
a b
+
的最小值為
。
G. 函數 3 2
( ) 12 4 17 6
f x x x x
= + − +
，若
( 1) 15, ( 2) 40
f f
− = − = −
，則方程式
( ) 0
f x
=
的所有負
根之和為 。
H. 如圖(3)，
2, 2 3, 2 3
AB BC BD= = − = + ，E在以
AC
為直徑的半圓上且
BE AC
⊥，F在以
AD
為直徑的半圓上
且
BF AD
⊥
，求
3 3
BE BF
+
的值為 。
圖(3)
AB C D
E
F
4
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參考答案
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選擇題
選擇題選擇題
選擇題：
：：
：1. (5) 2. (2) 3. (3) 4. (1) 5. (3) 6. (2) 7. (2)(3) 8. (3)(5) 9. (2)(4)
10. (2)(3)(4) 11. (1)(3) 12. (1)(3)(4)(5)
選填題
選填題選填題
選填題：
：：
：A.
4 3
5 5
i
−
B.
1
2
C.
( 4,5)
−
D.
4
−
E. 4 F. 12 G.
3
2
−
H.
12 3