1
新北基高級中等學校
新北基高級中等學校
新北基高級中等學校
新北基高級中等學校 111 學年度學測模擬考數學
學年度學測模擬考數學
學年度學測模擬考數學
學年度學測模擬考數學 B(111-E4)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(占
占
占
占 90 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 35 分
分
分
分)
1. 試問下列直線
1
L 到
5
L 中，何者斜率最小？
1
L ：通過
( 2, 6) (1, 4)
−
、
兩點的直線
2
L ：x 截距為
4
−
且 y 截距為 5
−
的直線
3
L ：通過點
(2,1)
且與直線
5
3
1
x
y
−
=
垂直的直線
4
L ：通過
(1, 0)
且與
0
x
y
+
=
平行的直線
5
L ：
( 2, 2)
(2, 4)
P
Q
−
、
兩點連線段的中垂線
(1)
1
L
(2)
2
L
(3)
3
L
(4)
4
L
(5)
5
L
2.
右圖為著名的楊輝三角形，其第 n 層
(
頂層稱第
0
層
)
正好對應於
二項式 n 次展開式的係數
(
n
N
∈
)
。例如第三層
1 3 3 1
是以
3
為
指數的二項式展開形式
3
(
)
x
y
+
的係數。試問第一層到第六層所
有的數字和為下列何者？
(1) 55 (2) 93 (3) 94
(4) 126 (5) 254
3.
有一邊長為
2
的正立方體如右圖。已知 M 為
AB
中點，
設 OMG
θ
∠
=
，試問 cos
θ
之值為下列何者？
(1)
5
5
(2)
10
5
(3)
10
10
(4)
2
2
(5)
2
4.
已知視力為
1.0
時，可以清楚辨認出開口寬度約
為視線夾角
l
角分
(1
度角＝
60
角分
)
的字母 C 之
開口方向。附圖為量測視力模擬圖。若依此圖
方式量測
(
即眼睛平視於 C 之開口中心，以眼睛至
C 之開口中心為平視距離
)
，今有一字母 C 之開口
寬度為
1
毫米
(mm)
，則在視力
1.0
的狀況下，能清楚辨認此字母 C 之開口方向的最遠平
視距離為 y 公尺，試問 y 應如何表示？
(1
公尺＝
1000
毫米
)
(1)
1000
1
sin(
)
60
(2)
1
1
2000 sin(
)
120
×
(3)
2000
1
tan(
)
60
(4)
2
1
1000 tan(
)
120
×
(5)
1
1
2000 tan(
)
120
×
5.
某人家中一盞燈離地
3
公尺，其照射的燈光形成直圓錐狀，且直圓錐的軸與地板垂直。
今發現照在地板的區域形成半徑
1
公尺的圓，如圖
(
一
)
所示。已知燈可旋轉，且旋轉角度
為
θ
時，如圖
(
二
)
所示。若
70
θ
=
時，則其地板上照亮區域所形成邊界的圖形為下列哪個
選項的圖形
(
或一部分
)
？
(1)
圓
(2)
橢圓
(3)
拋物線
(4)
雙曲線
(5)
無圖形
RB423
2
6.
若三次多項式函數的函數圖形如右，且已知不等式
(
2)(
5) ( )
0
x x
x
f x
−
−
<
有 k 個整數解，
試問 k 之值為下列何者？
(1) 0 (1) 1 (3) 2
(4) 3 (5) 4
7.
已知：若
0
a >
且 m 為正整數，則 m 次方程式
m
x
a
=
恰有一正實數解，記為
m
a 。今有一
數列
n
a ，
7
1
7
a =
，且當
1
n ≥ 時，
7
7
1
(
)
n
n
a
a
+
=
。試問滿足
n
a 為有理數的最小正整數 n
之值為下列何者？
(1) 7 (2) 8 (3) 9 (4) 10 (5)
不存在正整數 n 使
n
a 為有理數
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
8. A440
為國際規定的標準音高之一，其「中央
A
」的頻率及純音聲波的波形分別為
440Hz
f =
及
sin(880
)
y
x
π
=
，其中 x 為時間，單位為秒。已知人類可聽到的聲音頻率範
圍約
20Hz
～
20000Hz
。試選出正確的選項。
(
說明：
Hz
為每秒震動次數，頻率 f 與週期 T
的轉換公式為
1
T
f
=
。舉例如下：當某純音聲波的頻率為
440Hz
時，代表此純音聲波的
週期
T
為
1
440
一秒。
) (1)
sin
y
x
= −
的圖形可由
sin
y
x
=
的圖形往左平移
π
單位得到
(2)
sin
y
x
= −
的圖形可由
sin
y
x
=
的圖形往右平移
4 π
單位得到
(3)
純音聲波的波形為
sin(20
)
y
x
π
=
的聲音其頻率為
20Hz (4)
人類可以聽到純音聲波的波形為
sin(3000
)
y
x
π
=
的聲音
(5)
人類無法聽到純音聲波的波形為
sin(60000
)
y
x
π
=
的聲音
9.
設有
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
號的卡片各一張，今從這七張卡片每次抽取一張，依序抽出
三張卡片且取後不放回。假設每張被抽取的機率均等，試選出正確的選項。
(1)
三張卡片號碼都是奇數的方法數為
24
種
(2)
三張卡片號碼都是偶數的方法數為
6
種
(3)
三張卡片號碼乘積為奇數的機率大於乘積為偶數的機率
(4)
已知三張卡片號碼乘積
為偶數的條件下，三張卡片號碼都是偶數的機率為
1
31
(5)
第一張卡片號碼與第二張卡
片號碼差為
2
的倍數，且第二張卡片號碼與第三張卡片號碼差也為
2
的倍數之機率為
1
7
10.
新冠肺炎
(COVID-19)
於全球肆虐，約有
5.75
億人已遭受感染。某生想了解自己國家中的
三個城市：
X
市、
Y
市與
Z
市的每日病例數
(
單位：千人
)
，三者是否有關聯性。於是蒐集
6
月中到
7
月中的相關數據，並繪製了兩張散布圖如下，其中圖
(
一
)
為
X
市每日病例數
(x)
與
Y
市每日病倒數
(y)
的散布圖，相關係數為
R
，並假設其迴歸直線
(
最適直線
)
方程式為
y
ax b
=
+
；而圖
(
二
)
為
X
市每日病例數
(x)
與
Z
市的每日病例數
(z)
的散布圖，相關係數為
0.91
，且其迴歸直線
(
最適直線
)
方程式為
0.51
2.44
z
x
=
+
。
3
透過上述資料，試選出正確的選項。
(1) Y
市每日病例數與
Z
市每日病例數呈現正相關
(2) R < 0.91 (3) X
市每日病例數的標準差小於
Z
市每日病例數的標準差
(4)
已知
Y
市
每日病例數的標準差大於
Z
市每日病例數的標準差，則
0.51
a >
(5)
因
X
市與
Y
市每日
病例數呈現高度正相關，所以加強
X
市的防疫措施就一定能使
Y
市的每日病例數下降
11.
已知一正球型地球儀球心坐標為
(0,0,0)
O
，半徑為
8
，
x
軸正向通過赤道與
0
經線
(
本初經
線
)
的交點，
y
軸正向通過赤道與東經
90
的交點，
Z
軸正向為球心往正北極方向。若
A
點
在赤道上
0
經線
(
本初經線
)
的位置，
B
點在赤道上東經
45
的位置，
C
點在東經
60
、北緯
30
處。試選出正確的選項。
(1) C
點之
z
坐標為
4 (2) C
點所在的緯線長為
8 3
π
(3)
若有一
P
點由北極
N
走直線往球心方向移動到南極
S
，則
∠ APB
會先變大再變小
(4)
承
(3)
，平面
ANS
與平面
BNS
的兩面角
(
取銳夾角
)
，與此路線當中
∠ APB
的最大值相
等
(5)
若有一
Q
點從赤道上西經
67.5
沿赤道方向移動到赤道上東經
112.5 (
不經過
0
經
線
)
，則
∠ AQB
保持不變
12.
小惠經由朋友的介紹認識了小凱，在看過小凱照片與聽完朋友描述後，參考網路文章
《情人的加分扣分，請遵守貝氏定理》
，小惠估計小凱是理想情人的機率為
40%
，於是
決定跟他來一場午餐約會，而根據過往經驗與猜測，理想情人會提早到的機率是
85%
、
非理想情人會提早到的機率是
60%
。這日，小惠提早十分鐘抵達餐廳，發現小凱已經在
靠窗的位子等待。試選出正確的選項。
(1)
見面前，小惠評估小凱不是理想情人的機率
低於
50% (2)
見面前，小惠評估小凱會提早到的機率為
85% (3)
見面前，小惠評估小
凱會提早到的機率高於
60% (4)
見面後，已知小凱提早到的情況下，小惠重新評估小凱
是理想情人的機率高於
50% (5)
見面後，已知小凱提早到的情況下，小惠重新評估小凱
是理想情人的機率和見面前相比是變大了
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
13.
設二階方陣
2
2
2
2
A
=
−
，
2
1
0
0 1
I
=
，
2
2
2
A
A
I
pA qI
+
+
=
+
，其中
p
，
q
為實數，則數對
( , )
p q =
。
14.
一臺搬運貨物的無人車可以透過遠端操作，在一條筆直的工作軌道上移動。已知無人車
的訊號發射站設置在工作軌道上的
8
( )
3
A
及
16
(
)
3
B
兩點，由兩發射站到無人車的距離和若
超過
14
，則訊號強度會太差而無法控制無人車。令無人車的位置為
( )
C k
，則可控制無人
車的實數
k
值範圍最大為
。
15.
有
9
位同學的數學成績為
50
、
60
、
77
、
84
、
85
、
86
、
89
、
95
、
100
，今自其中隨機刪除
3
人，則中位數不變之機率為
。
(
化為最簡分數
)
16.x
，
y
為兩實數，且滿足
2
2
log
4
12
log
4
12
x
y
x
y
+
=
+
−
=
−
，則
4
x
=
。
17.
如右圖，
O
、
P
、
A
、
Q
四點共線，若
OB
在
OA
上的正射影為
OP
，
OC
在
OA
上的正射影為
OQ
，且
4
OQ
OP
=
，若
20
OC OA
⋅
=
，則
BC OA
⋅
=
。
18.
某公司車子售價
4
萬美金，原購買方案是分三次付款，依序付
1
萬、
2
萬與
1
萬，且每次
間隔三個月。已知公司收到的錢會馬上全數轉到巴韭特基金公司做投資，一期三個月，
每期會有
25%
的投資報酬且複利計算
(
即第一期初轉人
10000
元，第一期滿可得到
12500
元，第二期滿可得到
15625
元
)
。若有客人欲用現金一次付清，但希望在價錢上能有些折
扣，則公司至少要收
元
(
美金
)
，才能在六個月後的錢不會比原來的方案少。
4
(
注意，原有的方案及新方案都會投入基金複利計算
)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題(占
占
占
占 10 分
分
分
分)
19-20
題為題組
將一木塊繫在彈簧之端點，放置於光滑水平桌上，將彈簧的另
一端固定於牆上。當彈簧未被伸長或壓縮時，此時木塊位置稱
為平衡點，將平衡點訂定為原點，方向向右為正，方向向在為
負。若施力使彈簧向右伸長後放手，則木塊將會隨著彈簧左右
震盪，如右圖，在物理上稱這樣的運動為「簡諧運動」。
在木塊開始運動後，記錄
0~8
秒內木塊的位置如下表：
根據上述資料，試回答下列問題。
19.
已知木塊運動模式為週期運動，
由上表可知週期為
T
秒，振幅為
h
，則T
h
+
=
？
(
單選題，
4
分
)
(1) 7 (2) 9 (3) 12 (4) 13 (5) 14
20.
若木塊位置
x
與時間
t
的關係式可表示為
sin(
)
x
a
bt
c
d
=
+
+
，求此關係式。
(
0,
0, 0
2 )
a
b
c
π
>
>
≤
<
(
非選擇題，
6
分
)
RB423
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新北基高級中等學校 111 學年度學測模擬考數學
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學年度學測模擬考數學 B(111-E4)
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(5)
2.
(4)
3.
(1)
4.
(5)
5.
(4)
6.
(4)
7.
(2)
8.
(1)(4)(5)
9.
(1)(2)(4)(5)
10.
(1)(4)
11.
(1)(2)(3)(4)(5)
12.
(3)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：13.
(1,9)
14.
3
11
k
− ≤
≤
15.
3
28
16.
2
17.
15
18.
32400
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：
19.
(2)
20.
5sin(
)
2
2
x
t
π
π
=
+
時間
(
秒
)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
位置
5
0
5
−
0
5
0
5
−
0
5