1
新北基高級中學
新北基高級中學
新北基高級中學
新北基高級中學 110 學年度分科測驗聯合模擬考數學甲
學年度分科測驗聯合模擬考數學甲
學年度分科測驗聯合模擬考數學甲
學年度分科測驗聯合模擬考數學甲 A 卷
卷
卷
卷
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(共占
共占
共占
共占 76 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
1. 已知點
(4, 2)
P
，圓
2
2
:
4
4
2
0
C x
y
x
y
+
−
+
−
=
，下列何者為過 P 點且與圓相切的直線？
(1)
3
10
0
x
y
+
−
=
(2)
3
2
0
x
y
−
+
=
(3)
2
8
0
x
y
+
−
=
(4)
2
0
x
y
−
=
(5)
4
0
x −
=
2. 天文學家規定 1 星等的亮度是 6 星等的 100 倍，星等和亮度呈現指數成長模型關係。依
此規則，地球上看織女星，它是 0.03 星等。從地球上看天狼星的亮度約為 1.47
−
星等。
則在地球上看天狼星的亮度大約是織女星亮度的幾倍？
(1) 1.5 (2) 4 (3) 15 (4) 30 (5) 40
3. 若函數
( )
f x
滿足
1
0
( )
3
f x dx =
，
2
0
( )
5
f x dx =
，試求
1
1
1
1
2
3
lim
(
)
lim
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
k
n k
n
n
n
n
n
f
f
f
f
f
n
n
n
n
n
n
n
→∞
→∞
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
⋯
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 40 分
分
分
分)
4.
已知
2
( )
(
2)(
1) 3
f x
x
x
x
=
+
+
−
+
，
3
( )
1
g x
x
=
−
，下列哪些選項正確？
(1)
( )
f x
除以
( )
g x
的餘式是二次式
(2)
( )
( )
f x
g x
×
除以
1
x − 的餘式為
3
(3)
( )
( )
f x
g x
×
的展開式中，
5
x
項的係數為
0
(4)
( )
y
f x
=
的圖形與
( )
y
g x
=
的圖形恰只有一個交點
(5)
(0,1)
是
( )
y
f x
=
圖形的對稱中心
5.
某家科技公司共有
456
名員工，經過健康檢查後發現這些員工的員工的平均年齡恰為
40
歲，標準差為
3
歲，血壓
(y)
對年齡
(x)
的最適直線為：
1.2
70
y
x
=
+
(x
的單位為歲，
y
的單
位為毫米水銀
)
，下列哪些選項正確？
(1)
年齡
(x)
與血壓
(y)
有正相關
(2) 456
名員工的平均血壓為
120
毫米水銀
(3)
若
456
名員工血壓的標準差為
6
毫米水銀，其
x
與
y
的相關係數為
0.6
(4)
若血壓的單位改為厘米水銀，則最適直線的斜率仍是不會改變
(5)
若血壓的單位改為厘米水銀，則最適直線的方程式仍是不會改變
6.
設有三數列
n
a 、
n
b
、
n
c
，且
1
log
n
n
b
a
=
，
10
n
a
n
c
−
=
，
n
a 每項皆為正數，下列哪些
選項正確？
(1)
n
b
每項皆為正數
(2)
若
1
2
n
n
a
a
−
=
，
2
n ≥
，則
n
b
是公差為
log 2
的等差數列
(3)
若
1
2
n
n
a
a
−
−
=
，
2
n ≥
，則
n
c
是公比為
2
的等比數列
(4)
若
n
a 是遞增數列，則
n
b
是遞增數列
(5)
若
n
a 是遞增數列，則
n
c
是遞減數列
7.
1
cos
sin
2
y
x
x
=
−
−
，其中 0 x
π
≤
≤
，選出下列哪些選項正確？
(1) y
的最大值為
1
2
2
+
(2) y
的最大值為
1
2
(3) y
的最小值為
1
2
−
(4)
0
x =
時，
y
有最大值
(5)
x
π
=
時，
y
有最小值
RA5115
2
8.
若物體
A
做直線運動時，其位移
y
(m)
與記錄觀測時間
x
(sec)
間的函數局部圖形如右，觀測
時間由
5
x = − 至
5
x = ，圖形僅有反曲點
(1,1)
一點無極值點，
函數圖形以
(1,1)
為切點的切線斜率為
1
，則該物體
A
(1)
做等加速度運動
(2)
做等減速度運動
(3)
在觀測時間
1
x = 時位移
1
y = (m)
(4)
在觀測時間
1
x = 時瞬時速度＝
1(m/sec)
(5)
在觀測時間
1
x = 時瞬時加速度
=1(
2
/ sec
m
)
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
9.
若圓
1
O
與圓
2
O
的半徑比為 2 :1，且圓
1
O
與圓
2
O
交於
A
、
B
兩點，過
B
點做一直線分別交
圓
1
O
與圓
2
O
於
C
、
D
兩點，在△
ACD
中，
2
3
CAD
π
∠
=
，則 tan ACD
∠
=
。
(
化為最簡根式
)
10.
已經知道一條光束從空氣進入水中會產生折射現象，且入射角會大於折射角。在空間坐
標中，水面為
xy
平面，
xy
平面上方的空氣中一點
A
(l, 2, 3)
朝著
( 2, 2, 1)
L = − − −
方向發射
一光束，經過水面
(xy
平面
)
後，在
xy
平面下方發生折射現象，觀察發現折射線通過一點
( 7, 6, 10)
B − − −
。若此光束在空氣中和在水中的夾角為
θ
，則 sin
θ =
。
(
化為最簡根式
)
11.
若函數
(
1)(
2)(
4)(
5)
( )
3
x
x
x
x
f x
x
−
−
−
−
=
−
，則導數
(2)
f ′
=
。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(占
占
占
占 24 分
分
分
分)
12
-
14
題為題組
電腦工程師設計一款發牌遊戲，電腦滑鼠按下去，每一次會發一張牌，且每一張牌只有紅色
或藍色的分別。已知工程師設計第一張牌發出紅色牌的機率為
1
5
，且之後都依據以下規則來
發牌：若前一張發出紅色牌，則下一張是藍色牌的機率為
2
3
；若前一張發出藍色牌，則下一
張是紅色牌的機率為
p
。
已知
n
a
和
n
b
分別表示發第
n
張牌發出紅色牌和藍色牌的機率。試回答下列問題。
12.
2
2
a
b
+
的值為下列哪一個選項？
(
單選題，
2
分
)
(1)
1
3
(2)
2
3
(3)
2
5
(4)
4
5
(5) 1
13.
工程師希望長時間玩下去，發出紅色牌的機率為
1
5
，亦即
1
lim
5
n
n
a
→∞
=
，求
p
值。
(5
分
)
3
14.
承
13.
，已知某人玩此遊戲前三張牌均發出同色牌，求此人拿到的前三張牌均為紅色牌
的機率為何？
(5
分
)
15
-
16
題為題組
若以牛頓法求
2
( )
3
0
f x
x
=
−
=
方程式的正根
步驟
1
：因為
(1) (2)
0
f
f
<
，故此正根介於
1
與
2
之間，取
1
2
a =
步驟
2
：過
( )
y
f x
=
上點
(2, (2))
(2,1)
P
f
=
作
( )
y
f x
=
的切線
15.
該切線方程式為何？
(4
分
)
16.
步驟
3
：步驟
2
中的切線和
x
軸交點的
x
坐標
0
x
，令其為
2
0
a
x
=
重複步驟
2
與
3
：過
( )
y
f x
=
上點
2
2
( , (
))
Q a
f a
作
( )
y
f x
=
的切線和
x
軸交點的
x
坐標，令
其為
3
a
反覆步驟
2
與
3
可得一數列
1
2
3
4
,
,
,
,
a a a a
⋯⋯
，則選出下列正確的選項。
(
多選題，
8
分
)
(1)
2
3
2
a =
(2)
n
a
必遞減
(3)
對於所有正整數
n
，
3
n
a >
均成立
(4)
存在正整數
n
使得
3
n
a <
(5) lim
3
n
n
a
→∞
=
4
RA5115
新北基高級中學
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新北基高級中學 110 學年度分科測驗聯合模擬考
學年度分科測驗聯合模擬考
學年度分科測驗聯合模擬考
學年度分科測驗聯合模擬考
數學甲
數學甲
數學甲
數學甲 A 卷
卷
卷
卷
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1. (2) 2. (2) 3. (2) 4. (3)(4)(5) 5. (1)(3) 6. (2)(5) 7. (2)(5) 8. (3)(4)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
9.
3
5
10.
6
3
11.
6
−
混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題：
：
：
：
12.(5) 13.
1
6
14.
1
26
15.
4
7
y
x
=
−
16.(2)(3)(5)