1
108
學年度全國高級中學指定科目第六次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第六次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第六次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第六次模擬考數學甲
(108-E6)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題（
（
（
（占
占
占
占 76 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 18 分
分
分
分）
）
）
）
1. 關於聯立不等式
|
2 | 2
| 2
1| 5
x
x
+
>
+ <
的解，下列哪一個為最恰當的選項？
(1)－1＜x＜0 (2)－3＜x＜1 (3)－2＜x＜4 (4) 0＜x＜2 (5)－3＜x＜2
2. 若函數
( )
2 sin(
) 2 cos
5
6
f x
x
x
π
=
+
−
+
，則函數
f
(x)
的最大值為何？
(1) 7 (2) 5 (3) 3 (4) 1 (5) 0
3.
已知
2
2
1
0
1
3
0
1
A
−
=
−
，且
1
0
a
A
b
=
，
2
0
1
c
A
d
=
，則二階行列式
a
c
b
d
之值為
下列哪一個選項？
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4)
1
8
(5)
11
16
−
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題（
（
（
（占
占
占
占 40 分
分
分
分）
）
）
）
4.
已知空間中有
A(0 , 6 , 1)
，
B
(4 , 2 ,
－
1)
兩點與平面
E
：
2x
＋
y
＋
2z
＋
1
＝
0
，若有另一平
面
F
垂直平分
AB
，則下列敘述哪些正確？
(1)
平面
F
的方程式為
2x
－
2y
－
z
＝
4
(2)
直線
1
1
2
1
:
1
2
2
x
y
z
L
−
−
−
=
=
與平面
F
相交於
P
點，且其坐標為
(2 , 4 , 3)
(3)
若平面
E
與平面
F
的交線為
L
2
，則
L
2
的直線方程式為
1
1
1
2
2
x
y
z
+
−
=
=
−
(4)
平面
E
與平面
F
的銳夾角小於
60
(5)
若
Q
點到平面
E
與平面
F
等距離，則
Q
點的軌跡為兩平面
5.
如右圖，彈珠臺自
O
點沿虛線路徑滑下，最後從
A
～
E
中某一個
出口流出，稱為一局。過程中彈珠遇到交叉點只能往左或往右，
其機率均為
1
2
。今遊戲規則為玩家玩一局需先付
2
元，若彈珠自
出口
A
或
E
流出則玩家可得
4
元，自出口
B
或
D
流出可得
2
元，自出口
C
流出可得
1
元。令
X
為金額的隨機變數，
P
(X )
為機率質量函數，玩一局的期望值為
E
(X )
，標準差為，
X
σ
，則下列敘述哪些正確？
(1)
玩一局賺錢的機率為
1
8
(2)
玩一局賠錢的機率為
3
8
(3)
期望值
( )
2
E X
>
(4)
標準差
1
X
σ
= (5) |
( ) |
X
X
E X
σ
−
≤
的機率為
1
8
6.
試問下列選項中的方程式，哪些恰有三個相異實根？
(1)
cos 2
| cos | | sin |
x
x
x
=
+
，其中
x
π
π
− ≤ ≤
(2)
2 sin
1
x
x
π
= − ，其中
x
π
π
− ≤ ≤
(3)
2
log | | 2
x
x
=
(4)
2
| log
| 2
x
x
−
=
(5)
3 sin
cos
2
x
x
+
=
，其中 0 x
π
≤
≤
RA691
2
7. 已知△ABC 的三邊長分別為
2
AB
=
，
7
BC
=
，
8
AC
=
，設點 D 為 AC 上的中點，
則下列敘述哪些正確？
(1)
3
cos
8
A
=
(2) △ABC 面積為
55
4
(3) △ABC 最大角的餘弦值為
2
30
(4) △ABC 外接圓直徑大於 3 (5)
10
2
BD
=
8. 如右圖，設 O，A，B 三點不共線，在
OA
的延長線上取 C 點，
使得
2
OC
OA
=
；在
OB
的延長線上取 D 點，使得
3
OD
OB
=
。
若
AD
與
BC
交於 E 點且 OE
x OA y OB
=
+
，且
OE
的延長線交
CD
於 P 點，使得 OP
OA
OB
α
β
=
+
，則下列選項哪些正確？
(1)
3
5
x
=
，
4
5
y
=
(2)
4
3
α
=
，
1
β
=
(3) △OCE 面積
3
5
= △OCP 面積
(4) 如圖，若在平面上有一點 Q，且 OQ
m OC n OD
=
+
，則
1
m
n
+ < 且
0,
0
m
n
>
<
(5) 如圖，若在△OCD 外有一點 H，則
4
6
5
5
OH
OA
OB
=
+
可能成立
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題（
（
（
（占
占
占
占 18 分
分
分
分）
）
）
）
A. 在坐標平面上，對數函數 y＝log x 的圖形與直線
1
3
y
x
k
=
+ 交於
1
1
( ,
)
A x y 與
2
2
(
,
)
B x y 兩
點，其中
1
2
x
x
<
且
3 10
AB
=
，則
2
1
x
x
=
。
B. 已知三次多項式函數 f(x)滿足
1
( )
lim
18
1
x
f x
x
→−
=
+
，
2
( )
lim
9
2
x
f x
x
→
= −
−
。若
( )
0
f x
=
之三根為
α
，
β
，
γ
，則
α
β γ
+
+ =
。
C. 右圖中的長方體其中三個頂點分別為
(1,1,1)
A
，
(1, 3, 4)
B
−
，
(3, 1, 0)
C
−
，則此長方體的體積為
。
3
第
第
第
第貳
貳
貳
貳部分
部分
部分
部分：
：
：
：非
非
非
非選擇題
選擇題
選擇題
選擇題（
（
（
（占
占
占
占 24 分
分
分
分）
）
）
）
一、已知
1
Γ
與
2
Γ
為兩圓且其圖形對稱於直線
1
0
L x
y
− =
：
。若
2
2
1
:
2
4
20
0
x
y
x
y
Γ
+
−
−
−
= 且
點
( , )
P a b
落在
2
Γ
上，試求：
(1)
2
Γ
的圓心坐標及半徑為何？
(3
分
)
(2)
若直線
L
2
：
4x
－
3y
＋
25
＝
0
，則
P
點至直線
L
2
的最遠與最近的距離為何？
(3
分
)
(3)
若有兩非零向量
(
1,
1)
u
a
b
=
−
+
，
(3, 4)
v
=
，則
u v
⋅
的最大值與最小值為何？
(3
分
)
(4)
承
(3)
，
u
與
v
所張成的平行四邊形的最大面積為何？
(3
分
)
二、設
(cos 33
sin 33 )(sin 21
cos 21 )
(sin 64
cos 64 )(sin 86
cos 86 )
i
i
z
i
i
+
+
=
+
+
，試求下列各式的值：
(1)
若
1
n
z
=
，則滿足此式的最小正整數
n
為何？
(3
分
)
(2)
2
3
20
1 z
z
z
z
+ +
+
+
+
⋯⋯
的值。
(3
分
)
(3)
2
3
4
2
3
4
1
1
1
1
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
+
+
+
+
+
的值。
(3
分
)
(4)
2
3
4
| (2
)(2
)(2
)(2
) |
z
z
z
z
−
−
−
−
的值。
(3
分
)
4
RA691 108
學年度全國高級中學指定科目第六次模擬考數學甲
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參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(4)
2.
(1)
3.
(4)
4.
(3)(5)
5.
(1)(2)
6.
(1)(2)
7.
(1)(2)(5)
8.
(2)(3)(4)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：A.
1000
B.
6
C.
20
非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題：
：
：
：一
一
一
一、
、
、
、
(1)
圓心為
(2 , 1)
，半徑為
5 (2)
最遠距離為
11
，最近距離為
1
(3)
最大值為
36
，最小值為－
14 (4) 27
二
二
二
二、
、
、
、
(1) 5 (2) 1 (3) 3 (4) 31