1
107
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學乙
乙
乙
乙
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題：
：
：
：(18 分
分
分
分)
1. 設
a
、 b 是兩個正實數，已知
56
.
11
log =
a
，
966
.
12
log =
b
，試問
10
b
大約是
11
a
的多少倍？
（已知
16
.
3
10 ≈
）
(1)
一倍
(2)
一百多倍
(3)
三百多倍
(4)
一千多倍
(5)
三千多倍。
2.
設等腰三角形的三邊長為
a
、 b 、
c
，且
a
、 b 、
c
皆為正整數，
若
30
=
−
−
+
−
−
+
−
−
b
a
c
c
a
b
c
b
a
，則滿足條件的等腰三角形中，有幾種不同的形狀？
(1)
4 種
(2)
5 種
(3)
6 種
(4)
7 種
(5)
8 種。
3.
設事件 A 發生的機率為
( )
3
1
=
A
P
，事件 B 發生的機率為
( )
4
1
=
B
P
；若 A 與 B 為獨立事件，
則事件
B
A
−
發生的機率
(
)
=
− B
A
P
？
(1)
12
1
(2)
6
1
(3)
4
1
(4)
3
1
(5)
2
1
。
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題：
：
：
：(32 分
分
分
分)
4.
已知二階轉移矩陣
=
d
c
b
a
A
，且 A 的反方陣為
=
−
f
e
A
2
1
1
，請問下列哪些選項
是正確的？
(1)
2
=
+
+
+
d
c
b
a
(2)
1
−
=
e
(3)
2
−
=
f
(4)
=
2
8
8
2
A
(5)
若
=
y
x
y
x
A
且
1
=
+ y
x
，則
9
2
=
xy
。
5.
桌上覆蓋了點數1、 2 、 3 及 4 的四張紙牌，玩家僅知道這四種點數各有一張牌，但不知各紙牌
的點數，如下所示：
此紙牌遊戲進行方式如下：
「甲、乙兩人依序從中隨機各掀開一張紙牌，每張牌被掀開的機率均
等，點數較大者得1分；接著再依序從剩下的兩張紙牌中隨機各掀開一張，點數較大者再得1分
。」最後甲、乙總得分較多者獲勝，請問下列哪些選項是正確的？
(1)
甲選到點數1的機率為
2
1
(2)
甲選到點數1與 2 的機率為
4
1
(3)
若甲知道點數1的紙牌位置且不會故意選它，則甲選到點數1的機率為
2
1
(4)
若乙知道點數1的紙牌位置且不會故意選它，則甲選到點數1的機率為
2
1
(5)
若乙知道點數1的紙牌位置且不會故意選它，則乙獲勝的機率為
4
1
。
6.
已知兩變數 X 、Y 的數據如下：
令 X 、Y 的算術平均數分別為
1
µ
、
2
µ
，其標準差
分別為
1
σ
、
2
σ
， X 與Y 的相關係數為
5
.
0
−
=
r
，以
最小平方法得Y 對 X 的迴歸直線為直線 L 。
現在將兩變數的數據互換後如下：
令
'
X 與
'
Y 的相關係數為
'
r ，以最小平方法得
'
Y 對
'
X 的迴歸直線仍為直線 L ，
試問下列哪些選項恆成立？
(1)
5
.
0
' −
=
r
(2)
直線 L 的斜率小於 0
(3)
2
1
σ
σ
=
(4)
2
1
µ
µ
=
(5)
11
+
= a
b
。
RB599
X
1
2
4
a
Y
8
7
b
3
'
X
8
7
b
3
'
Y
1
2
4
a
2
7.
已知兩個二次函數
( )
x
f
y
=
與
( )
x
g
y
=
的圖形恰相交於
(
)
0
,
4
−
及
(
)
2
,
0
兩點，其函數圖形如右所示，若函數
( )
( )
x
g
x
f
y
−
=
有最小值 2
− ，則下列哪些選項是正確的？
(1)
不等式
( )
( )
0
>
−
x
g
x
f
的解為
0
4
<
<
−
x
(2)
4
+
x
是多項式
( )
( )
x
g
x
f
+
的因式
(3)
函數
( )
( )
x
g
x
f
y
−
=
的圖形是凹口向上的拋物線
(4)
(
)
(
)
2
2
2
−
−
=
−
g
f
(5)
方程式
( ) ( )
0
=
x
g
x
f
的所有根的乘積大於 0 。
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：(24 分
分
分
分)
A.
甲、乙、丙、丁、戊、己等六人到速食店點餐，只剩麥香雞、麥香魚、麥香豬等三種套餐可以
選擇，且每種套餐都是僅剩 4 份可提供，若每個人選擇一份套餐，且甲、乙不要選擇同一種套
餐，則這六個人選擇套餐的方式有 種。
B.
如右圖，有兩個正△ABC、△BDF 及正方形 ABDE ，若正△ABC
的邊長為 2 ，則 AF CD
⋅
v v
= 。
（化為最簡根式）
C.
兩個實係數多項式分別為
( )
2
3
6
2
3
4
+
+
+
+
=
x
x
ax
x
x
f
、
( )
1
2
2
3
4
+
+
+
+
=
bx
x
x
x
x
g
，
( )
x
f
除以
+
+
3
2
2
x
x
所得的餘式為
( )
x
r
，
( )
x
g
除以
+
+
3
2
2
x
x
所得的餘式為
( )
x
r
2
，則數對
(
)
=
b
a
,
。
3
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(26 分
分
分
分)
一、設聯立不等式
≤
−
+
≥
+
−
≥
≥
0
7
0
6
3
2
0
0
y
x
y
x
y
x
的可行解區域為 Ω ：
(1)
請在坐標平面上畫出可行解區域 Ω ；並求區域 Ω 的面積。
(2)
在上述聯立不等式的限制下，試求目標函數
y
x
6
3
+
的最大值。
(3)
將上述聯立不等式再加入一個條件後，得新聯立不等式為
≥
−
≤
−
+
≥
+
−
≥
≥
3
0
7
0
6
3
2
0
0
ky
x
y
x
y
x
y
x
，在此新聯立不
等式的限制下，可使目標函數
y
x
6
3
+
有最大值 29 ，則實數 =
k
？
二、一個袋子內裝有大小相同的 m 顆紅球和 n 顆白球（其中 m 、n 為正整數）
，總球數不超過100 顆
球，每顆球由袋中被取出的機會均等。每次由袋中取出一球，取後不放回，連續取兩次，設取
出紅球的次數為 x 次，
0
=
x
、1、 2 ，其得分記為
(
)
5
6
+
x
分。
(1)
若
5
=
= n
m
，求取出一紅球及一白球的機率
(
)
=
=
1
x
P
？
(2)
請以 m 、 n 表示取得紅球的次數 x 的期望值
( )
x
E
。
(3)
承
(2)
，若取球得分的期望值為
(
)
10
5
6
=
+
x
E
分，則此袋中最多有多少顆球？
（即球
n
m
+ 的最大值）
4
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學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學乙
乙
乙
乙
選擇題：
1. (3) 2. (4) 3. (3) 4. (1)(2)(5) 5. (1) 6. (1)(2)(3)(4) 7. (2)(3)(4)
選填題：
A. 474 B. 4 2 3
+
C. (3, 5)
−
非選擇題：一、
(1)
，
17
平方單位
(2) 33 (3)
1
2
二、
(1)
5
9
(2)
2m
m
n
+
(3) 96
顆