1
111 學年度全國高級中學分科測驗第六次模擬考數學甲(111-E6)
第壹部分：選擇(填)題(占 76 分)
一、單選題(占 18 分)
1. 設 a，b 為實數且 a＞b＞1，若
10
log
log
3
a
b
b
a
+
=
，
b
a
a
b
=
，則
2
2
a
b
+
的值為下列哪一個選
項？ (1) 24 (2) 27 (3) 30 (4) 36 (5) 42
2. 設
[
]
1
2 ,
1 1 2
3
A
B
=
= −
，C＝AB，若
3
C
kC
=
，則實數 k 為下列哪一個選項？
(1) 36 (2) 49 (3) 54 (4) 63 (5) 81
3. 已知自然常數
1
lim 1
k
k
e
k
→∞
=
+
。對任意的正整數 n，數列
n
a 恆滿足
1
<
+1
2
n
n
n
n
n
a
n
n
+
<
+
，
則
lim
n
n
a
→∞
的值為下列何者？ (1) e (2)
2
e
(3)
e (4)
1
e
(5) 無法判斷
二、多選題(占 40 分)
4. 在△ABC 中，若
,
,
a
BC b
AC c
AB
=
=
=
，則以下哪些條件可以確定△ABC 必為等腰三角形？
(1) ∠A＝30°，a＝4，
2 2
2 6
b
=
+
(2) cos(A＋B)＝2cosAcosB (3) sin(A＋B)＝sinB
(4) cos2A＝cos2B (5) a cosA＝b cosB
5. 設 z 為複數且 z 的實部與 z 的虛部的和為零，
1
i
= − ，請選出正確的選項。
(1) z 在複數平面上所形成的圖形為一直線 (2) ∣z－1∣＝∣z＋i∣
(3) ∣z－4∣的最小值為 2 (4) 恰有一個複數 z 滿足∣z－4∣＝3
(5) 恰有一個複數 z 滿足∣z－i∣＝∣z－2∣
6. 設 a 為非零實數，試選出最小值為 6 的選項。 (1)
9
a
a
+
(2)
2
2
9
a
a
+
(3)
2
2
9
1
a
a
+
+
(4)
2
2
9
2
2
a
a
a
a
+ + +
+ +
(5)
2
4
2
4
4
4
a
a
a
a
+
+
+
7. 設 O 為坐標平面上的原點(0,0)，A(3,1)，B(1,3)及 P，Q 為平面上異於 O 的相異四點，且
(2 cos )
(sin )
OP
OA
OB
θ
θ
=
−
，
(sin )
(2 cos )
OQ
OA
OB
θ
θ
=
−
，其中 0
2
θ
π
< <
。請選出正確
的選項。
(1) 存在
θ
使得 OP 平分 AOB
∠
(2) 恰存在兩個
θ
使得向量
OP
與 OQ
垂直
(3) 存在
θ
使得 A，B，P 三點共線 (4) 存在
θ
使得 A，B，Q 三點共線
(5) △OPQ 面積的最大值為 12
8. 設實係數多項式函數
4
2
( )
, ( )
,
0
f x
x
ax
bx g x
ax b a
=
+
+
=
+
≠ ，
若
( )
y
f x
=
的圖形與
( )
y
g x
=
的圖形相切且兩圖形只有兩個
交點，如右略圖，請選出正確的選項。
(1) 方程式
( )
0
f x
′
=
必有實根 (2) a＝1 (3)
4
b
= −
(4) 滿足
( )
( )
f
g
α
α
′′
′′
=
的實數
α
恰有兩個
(5)
( )
f x
的所有極值之和為 9
−
RA6108
2
三、選填題（占 18 分）
9. 某間自助式吃到飽火鍋店，點完湯底後，可自行至冷藏櫃夾取食材，若該間店的冷藏櫃有
四層，由上而下依序為「肉品區」、「海鮮區」、「火鍋料區」、「蔬菜區」。每一區都
有三種不同食材，某位顧客想從這些食材中挑選若干種放進火鍋中，若希望從這四層冷藏
櫃挑選的食材中，取自任意兩層冷藏櫃的食材種類之和至少 1 種，最多 3 種，則該顧客
有 種選擇食材的方法。
10.如下圖，小萱在一張標有 x 軸及 y 軸的紙上畫了函數
( )
sin
3
f x
a
x c
π
=
+
的部分圖形，其
中
0
a
> ，
2
c
π
π
< <
，A，B 在 y 軸異側，A 為最高點，B 為最低點，且圖形過點
3
(0,
)
2
。
若將此張紙沿 x 軸折起使得兩個半平面垂直，此時
15
AB
=
，
則數對
( , )
a c
＝ 。(化為最簡分數、最簡根式)
11.已知空間中△ABC 的三頂點為
(1, 1, 4), (3, 5, 2), (4, 2, 2)
A
B
C
−
−
，有一平面
:
0
E x
ay bz
c
+
+
+ =
分別交
AB
、 AC 於 P、Q 兩點，且 AC 與平面 E 垂直，若△ABC 的面積為△APQ 的 6 倍，
試求實數序組
( , , )
a b c
= 。
3
第貳部分：混合題或非選擇題(占 24 分)
12-14 題為題組
已知橢圓
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
Γ
+
=
> > 的左右焦點分別為
1
F 、
2
F ，直線 L 過
1
F 並與Γ交於
A、B 兩點，若Γ的長軸長為短軸長的 2 倍，且△
2
ABF 的周長為 16，試回答下列問題：
12.橢圓Γ的長軸長為下列哪一個選項？(單選題，3 分)
(1) 6 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 14
13.試求橢圓Γ的方程式。(非選擇題，3 分)
14.若△
2
ABF 的內切圓之面積為
π
，A、B 兩點的坐標分別為
1
1
( ,
)
A x y 、
2
2
( ,
)
B x y ，
試求
1
2
|
|
y
y
−
的值。(非選擇題，6 分)
15-17 題為題組
在某款遊戲中，若將遊戲畫面視為一個坐標平面，玩家一開始須從點
( 3, 3)
A
−
發射一道
雷射光線，該光線在地面上(即 x 軸上)經反射一次後再照到圓
2
2
:
4
4
7
0
C x
y
x
y
+
−
−
+ = 上，
在此遊戲中，圓 C 有三種顯示模式。試回答下列問題：
15.穿透模式(光線可穿透圓 C)：
若光線反射後穿過圓 C 的圓心，則反射光線的斜率為何？(非選擇題，4 分)
16.黑洞模式(圓 C 會吸收觸碰到的所有光線)：
若光線反射照到圓 C 後被吸收，且不再繼續前進，則此道光線從一開始到反射照到圓 C 所
經過的最短路徑為 。(化為最簡根式) (選填題，4 分)
17.石化模式(圓 C 會阻擋觸碰到的所有光線)：
若光線反射照到圓 C 後被阻擋住透不過去，則被阻擋住的所有反射光線在 x 軸上所成的最
大範圍為 a
x
b
≤ ≤ ，試求數對
( , )
a b
。(非選擇題，4 分)
4
RA6108
111 學年度全國高級中學分科測驗第六次模擬考
數學甲(111-E6)
參考答案
選擇題：1.(3) 2.(2) 3.(4) 4.(3)(4) 5.(1)(2)(5) 6.(2)(4) 7.(1)(3)(4) 8.(1)(3)(4)
選填題：9. 837 10.
5
( 3,
)
6
π
11.
(1, 2, 2)
−
混合題或非選擇題：12. (2) 13.
2
2
1
16
4
x
y
+
= 14.
4 3
3
15. 1 16.
5 2 1
−
17.
3
(
,1)
4
−