1
全國公私立高級中學
全國公私立高級中學
全國公私立高級中學
全國公私立高級中學 110 學年度分科測驗第五次聯合模擬考
學年度分科測驗第五次聯合模擬考
學年度分科測驗第五次聯合模擬考
學年度分科測驗第五次聯合模擬考卷
卷
卷
卷 I
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(共占
共占
共占
共占 76 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
1. 某個國家中，民眾的飲食習慣可區分為米飯與麵食兩大類。經調查後發現，前一天晚餐
吃米飯的人，隔天改吃麵食的比例為 60%。前一天晚餐吃麵食的人，隔天改吃米飯的比
例為 90%。若 9 月 l 日晚餐吃麵食的民眾比例為 80%，則 9 月 4 日晚餐吃米飯的民眾比
例為下列哪一個選項？(1) 80% (2) 65% (3) 50% (4) 35 % (5) 20%
2. 已知 a,b 皆為正整數且 a
b
< ，若
|
6 | | 2
6 |
x
x
− >
−
且
|
| |
|
x a
x b
−
>
−
有實數解，則數對
( , )
a b
有幾組解？ (1) 0 (2) 3 (3) 6 (4) 9 (5) 12
3. 已知
2
log
6
0
x
x
− + = 的兩根為
,
α β
，
0.5
6
0
x
x
+ − =
的兩根為
,
γ δ
，則
α β γ δ
+
+ +
之值為
下列哪一個選項？ (1) 0 (2) 3 (3) 6 (4) 9 (5) 12
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 40 分
分
分
分)
4. 若實係數多項式函數
( )
f x
除以
3
2
x
x
−
的餘式為 3
7
x
+ ，請問下列選項哪些是正確的？
(1)
( )
f x
係數的總和必定為 10 (2)
( )
f x
除以
2
x
的餘式必定為 3
7
x
+
(3)
( )
f x
除以
3
x
的餘式必定為 3
7
x
+ (4)
( )
f x
除以 x 的餘式必定為 3
7
x
+
(5)
2
2
( )
x f x
x
+
除以
3
2
3
3
x
x
−
的餘式必定為
2
11x
5. 圖(1)為示意圖，直線 L 平行直線 AB，已知 OP
OA
OB
α
β
=
+
，
請問下列哪些選項中的
α
與
β
，會使得 P 點落在灰色區域？
(灰色區域不包含邊界)
(1)
0.2
0.8
α
β
= −
=
且
(2)
0.2
0.8
α
β
=
=
且
(3)
1.2
0.8
α
β
=
= −
且
(4)
log 0.6
log 8
α
β
=
=
且
(5)
10
2
3
x
α
β
−
=
=
且
6. 袋中有編號 1, 2, 3, ⋯ ,9 顆球，每顆球被取出的機率皆為
1
9
，請問下列選項哪些是正確的？
(1)
從袋中取出
l
顆球，其編號的期望值為
4.5
(2)
從袋中
1
次取出
l
顆球，取
3
次，取後放回，其編號總和的期望值為
15
(3)
從袋中
l
次取出
l
顆球，取
2
次，取後不放回，其編號總和的期望值為
9
(4)
從袋中
1
次取出
l
顆球，取
2
次，取後放回，其編號乘積的期望值為
25
(5)
從袋中
l
次取出
l
顆球，取
2
次，取後不放回，其編號乘積的期望值為
25
7.
圖
(2)
為示意圖，圖中 O 點為圓心，圓半徑為
1
，A，B 為
圓上兩點， AOB
x
∠
=
弳，且
0
2
x
π
< <
，請問下列選項那些是正確的？
(1)
sin
2
2
x
x
<
(2)
sin
cos(
2)
x
x
<
+
(3)
2
1 cos
2 2 cos
x
x
−
< −
(4)
2
2 2cos x
x
−
<
(5)
2
2
2
2
x
x
π
<
−
圖(1)
L
O
A
B
RA5117
圖(2)
x
y
O
x
A
B
1
1
−
2
8.
在坐標平面上，
2
( ,
)
P a
a
−
，
Q
兩點皆為函數
2
( )
y
f x
x
=
= −
圖形上的動點，其中以
P
點為切點的切線為直線
L
，以
Q
點為切點的切線為直線
M
，直線
L
，
M
兩者互相垂直，
且相交於
R
點，請問下列選項哪些是正確的？
(1)
直線
L
的方程式為
2
2
y
ax
a
= −
+
(2)
直線
M
的斜率為
1
a
(3) Q
點坐標為
2
1
1
(
,
)
a
a
−
−
(4)
直線
M
的方程式為
2
1
1
2
16
y
x
a
a
=
−
(5) R
點的
y
坐標為
1
4
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
9.
某已知
a
, b, c
皆為實數，
sin
cos
y
a
x b
x c
=
+
+
的函數圖形對稱於
(3, 4)
，且振幅為
5
，
則
2
2
2
a
b
c
+
+
=
。
10.
數列
n
a
<
>
的首項
1
5
a
=
，當
n
為大於或等於
2
的正整數時，
1
2
3
1
n
n
a
a
a
a
a
−
=
+
+
+
+
⋯
。
若
1
2
3
1
1
1
1
7
12
k
a
a
a
a
+
+
+
+
≥
⋯
，則正整數
k
的最小值為
。
11.
2
2
3
3
2
1
lim(3
2
2
3 )
n
n
n
n
n
n
−
+
+
+
→∞
+
+
×
=
。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(占
占
占
占 24 分
分
分
分)
12
至
14
題為題組
2021
年新冠肺炎入侵臺灣，為了防止疫情擴散，學生在家遠距上課，餐飲業禁止內用
，只能外帶，某餐飲店家老闆幽默地在店家門口掛上紅布條，其內容如下：
疫情期間
⋯⋯
解開的人才可以內用。
3
3
2
3
(
cos
3) 9
3
x
x
x dx
−
+
−
放棄吧，外帶幫你打 9 折。
雖然我們並不想內用成為防疫破口，但本著數學人求真求知的精神，讓我們依循下列步驟解
出這一題。令
3
2
( )
cos
9
3
x
f x
x
x
=
−
，請回答下列問題。
12.
試寫出
(
)
f
x
−
。
(
以
x
，
cosx
表示
) (3
分
)
13.
試求
3
2
3
9
x dx
−
−
之值。
(3
分
)
14.
本著數學人求真求知的精神，請算出
3
3
2
3
(
cos
3) 9
3
x
x
x dx
−
+
−
之值。
(6
分
)
3
15
至
17
題為題組
圖
(3)
為示意圖，空間中，直線
L
與直線
M
為歪斜線，直線
L
垂直平面
N
於
A
。直線
L
另有
B
，
C
兩點使得
AB
BC
=
。直線
M
上有
三點
D
，
E
，
F
，其中
,
,
AD BE CF
皆垂直
AC
，
且
8,
5,
6
AD
BE
CF
=
=
=
。因此
D
亦在平面
N
上，並令
B
, C, E, F
在平面
N
的投影點依序為
G
, H, I, J
。
15.
請問
|
|
|
|
|
|
AG
AH
GH
+
+
之值為下列哪一個選項？
(
單選，
3
分
)
(1) 0 (2) 6 (3) 10 (4) 24 (5) 26
16.
請問下列選項哪些是正確的？
(
多選題，
4
分
)
(1)
5
AI
>
(2)
5
AJ
<
(3) DE
與
EF
的長度必定相等
(4) AI
必為△
ADJ
的內角平分線
(5)
直線
L
與直線
M
的距離必等於△
ADJ
在 DJ 上的高的長度
17.
直線 L 與 直線 M 的距 離為 多少？ (5 分)
圖(3)
N
B
A
D
C
M
L
F
E
I
J
4
RA5117
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全國公私立高級中學 110 學年度分科測驗第五次聯合模擬
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考
考
考
考卷
卷
卷
卷 I
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1. (2) 2. (4) 3. (5) 4. (1)(2)(5) 5. (1)(4) 6. (2)(4) 7. (3)(4)(5) 8. (1)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
9. 41 10. 6 11.
1
81
混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題：
：
：
：
12.
3
2
(
)
cos
9
3
x
f
x
x
x
−
= −
−
13.
9
2
π
14.
27
2
π
15. (1) 16. (3)(5) 17. 4.8