1
110 學年度全國高級中學分科測驗第七次模擬考數學甲(110-E7)
第壹部分：選擇(填)題(占 76 分)
一、單選題(占 18 分)
1. 丹麥的數學家 Rasch 提出了一種用 S 型曲線(如右圖)
來描述「學生能力－題目難度」與「答對機率」的關係
，稱為 Rasch 模式。設學生的能力為
x
，試題 A 的
難度為
α
，則學生做試題 A 答對的機率大致可以用函數
( )
3
1 3
x
x
f x
α
α
−
−
=
+
表示。在某次測驗中，將試題 A 進行廣泛
測驗後發現：「能力1.0 的學生答對率為 0.2 」，則試題 A 的難度
α
值最接近下列哪一個選
項？ (1)1.8 (2) 2 (3) 2.3 (4) 2.5 (5) 2.8 。
2. 某外景節目錄影時設計一款遊戲，在地面上畫有 9 個
方格，如右圖所示。由左至右分別是「起始格」、
「第一格」、「第二格」、……、「第八格」。參加
遊戲的人需站在「起始格」上，透過丟擲一枚均勻
硬幣來移動，若擲出正面，參賽者往前跳一格；
若擲出反面，參賽者一次往前跳兩格。若跳到「第七格」，則參賽者獲勝，遊戲結束並可
獲得獎金；但若跳到「第八格」，則參賽者淘汰，遊戲結束並接受遊戲懲罰。若小萱參加
此遊戲，則小萱被淘汰的機率為下列哪一個選項？
(1)
21
64
(2)
37
64
(3)
43
64
(4)
43
128
(5)
85
128
。
3. 在坐標平面上，曲線
Γ ：
2
2
1
cos 2
cos 3
sin 2
sin 3
x
y
+
=
−
−
的圖形為下列哪一個選項？
(1)焦點在
x
軸上的橢圓 (2)焦點在 y 軸上的橢圓 (3)焦點在
x
軸上的雙曲線
(4)焦點在 y 軸上的雙曲線 (5)圓。
二、多選題(占 40 分)
4. 依據國際失智症協會（ADI） 2019 年發表的全球失智症報告，估計全球有超過 5 千萬名失
智者，到 2050 年預計將成長至1億 5 千 2 百萬人。下表為臺灣失智症協會依內政部109 年12
月底人口統計資料、國家發展委員會「中華民國人口中推估（ 2020 年至 2070 年）」及失
智症盛行率所推估的結果，其中人口數的單位為千人。試利用下表選出正確的選項。
( )
%
100%
=
×
失智人口數
失智症盛行率
總人口數
RA6104
2
(1)109 年12 月底 65 歲以上的總人口數約為 378.7 萬人
(2)由題表知失智總人口數在110 159
～
年中持續增加
(3)從110 150
～
年，若一年以 365 天計，則可以推得臺灣失智總人口數平均每天增加約 37 人
(4)若計算失智總人口數占全國總人口數比與年分的最適直線（迴歸直線）
，其斜率為正
(5) 45 64
～
歲失智人口數在這 50 年中平均每年約減少150 人。
5. 在學校某節下課，小萱、小華與小玉三人在玩猜拳遊戲「剪刀、石頭、布」
，三人一起出
拳。若兩人勝一人，則勝者兩人繼續猜拳，直到分出勝負；若一人勝兩人，則由此人勝出。
其他情形則不分勝負，三人重新猜拳，直到分出勝負為止。設隨機變數 X 為兩人猜拳恰一
人勝出所需的次數，且每人每次出拳為剪刀、石頭或布的機率相同，每次猜拳結果互不影
響。請選出正確的選項。
(1)兩人一起猜拳一次，恰一人勝出的機率為
1
3
(2)三人一起猜拳一次，不分勝負的機率為
1
3
(3)若兩人一起猜拳 20 次，則恰1人勝出的次數期望值小於13 次
(4)三人一起猜拳，猜到第 3 次才分出勝負的機率為
5
27
(5)隨機變數 X 的期望值為1.5 次。
6. 設 A 為二階方陣且有乘法反方陣，其中 O 為原點， P 、
Q
為平面上相異兩點且 O 、 P 、
Q
三點不共線。已知點 P 、
Q
分別經 A 線性變換後所得的點為 '
P 、
'
Q
，請選出正確的選項。
(1)原點 O 經 A 變換後仍為原點 O (2)若點 P 經
2
A
變換後仍為 P ，則 A I
= 或 A
I
= −
(3)若
OPQ
∆
與
'
'
OP Q
∆
全等，則 A 為鏡射變換矩陣
(4)若 G 為
OPQ
∆
的重心且 G 經 A 變換後得 '
G ，則
'
G 為
'
'
OP Q
∆
的重心
(5)
OPQ
∆
面積
det
'
'
A
OP Q
=
× ∆
面積。
7. 坐標平面上有一以原點 O 為圓心的圓 C ，交直線
2
2
0
x
y
− + =
於
Q
、 R 兩點。
已知圓 C 上有一點 P 使得
PQR
∆
為等腰三角形，試選出正確的選項。
(1) P 點只會在第二象限或第四象限 (2) O 點與 P 點皆在 QR 的中垂線上
(3) QR 的中點坐標為
4 2
,
5 5
−
(4)若
PQR
∆
為正三角形，此時的圓 C 方程式為
2
2
3.2
x
y
+
=
(5)若
PQR
∆
為等腰直角三角形，此時的圓 C 方程式為
2
2
2
x
y
+
= 。
8. 設
a
、 b 為實數，方程式
(
)(
)
2
2
2
0
x
ax b
x
ax
b
+
+
+
+
=
有四個相異複數根
1
z 、
2
z 、
3
z 、
4
z ，
且此四個複數根在複數平面上對應的點形成一個邊長為1的正方形，請選出正確的選項。
(1)
1
z 、
2
z 、
3
z 、
4
z 皆為虛根 (2)
1
z 、
2
z 、
3
z 、
4
z 為兩實根兩虛根
(3)
0
b
< (4)
0
a
> (5)
1
2
3
4
2 2
6
z
z
z
z
+
+
+
=
+
。
三、選填題（占 18 分）
9. 已知實係數多項式函數
( )
4
3
2
3
f x
x
x
ax
b
=
+
+
+ ，若
( )
y
f x
=
的圖形有一個
反曲點
(
)
1, 20 ，則
(
)
( )
0
2 4
2
lim
h
f
h
f
h
→
− −
−
−
的值為 。
10.如圖， ABC
∆
為等腰直角三角形，其中
90
A
∠ = ° ，
6
AB
=
，分別
作 A
∠ 、 B
∠ 、 C
∠ 的內角三等分線，每兩個內角相鄰的三等分線
分別交於 P 、
Q
、 R 三點，構成
PQR
∆
。若 PR
m
n
=
−
，
其中
m
，
n
為整數，試求 m n
+ 的值為 。
3
11.右圖為一個『成長樹』
，第一層樹幹是一條與地面垂直的
線段，其長度為 2 公尺；第二層樹枝會在第一層線段的
前端長出兩條與該線段成135
° 角的線段，長度為前一層線
段長度的一半；第三層照著第二層的方法在每一條樹枝線
段的前端長出兩條樹枝線段，以此類推，重複前面的方法
成長至第
n
層。設此成長樹第
n
層的最高點到地面的垂直
距離為此成長樹的高度
n
h 公尺，試求
lim
n
n
h
→∞
=
。
（化為最簡根式）
第貳部分：混合題或非選擇題(占 24 分)
12-14 題為題組
某校的生活科技課，老師給同學們一塊如右圖所示的木頭四角
錐模型 P ABCD
−
，其中 ABCD 為正方形，
PA
PB
PC
PD
=
=
=
，
並請同學們將此四角錐切割成三塊小四角錐，小華與同學討論後，
決定一種切割的方式。首先過 A 點做一個平面分別交
PB
、
PC
、
PD
於點 E 、 F 、 G ，沿平面 AEFG 切割，則 P AEFG
−
為一四角
錐，再將剩下的立體模型沿平面 ACF 切開，如此這樣就得到三塊小四角錐。
為了方便切割，考慮空間坐標系，設底面 ABCD 的中心為空間坐標的原點 O，
(
)
1, 1, 0
A
−
，
(
)
1,1, 0
B
，
(
)
1,1, 0
C
−
，
(
)
1, 1, 0
D
− −
，
(
)
0, 0,1
P
，
3
5
PE
PB
=
，
1
2
PF
PC
=
。試回答下列問題：
12. 試求平面 AEF 的方程式。
13. 試求 G 點坐標。
14. 試求所切割出的第一塊小四角錐 P
AEFG
−
的體積。
15-17 題為題組
美國統計學家 M.O.洛倫茲（Max Otto Lorenz）為了研究國民
收入在國民之間的分配問題，提出了「洛倫茲曲線」的概念。整個
洛倫茲曲線是一個正方形，正方形的底邊（即橫軸）表示收入由低
到高的人口累積百分比，正方形的左邊（即縱軸）表示收入的累積
百分比。如右圖，設洛倫茲曲線可以用連續函數
( )
f x 表示，例如
(
)
0.25
0.17
f
=
表示 25% 最低總收入者的總收入占全部總收入的
17% 。
另外，吉尼係數是 20 世紀義大利學者科拉多‧吉尼根據洛倫茲
曲線所定義，用以衡量所得分配公平程度的指標，其定義如下：
(
)
2
R
= ×
吉尼係數
的面積 ，其中 R 表示直線 y
x
= 與洛倫茲曲線所圍成之區域。吉尼係數愈大
代表所得分配愈不平均。已知某個國家的所得分配符合洛倫茲曲線
( )
3
4
7
7
f x
x
x
2
=
+
，試回答
下列問題：
15. 這個國家 21% 最低總收入者的總收入占全部總收入的百分比最接近下列哪一個選項？
(單選) (1)10% (2)11% (3)12% (4)13% (5)14% 。
16.求此國家的吉尼係數。
17. 若此區域 R 繞
x
軸旋轉，得到一個立體圖形，求此立體圖形的體積。
4
RA6104
110 學年度全國高級中學分科測驗第七次模擬考
數學甲(110-E7)
數學甲
參考答案
選擇題：1.(3) 2.(4) 3.(1) 4.(1)(3)(4) 5.(2)(4)(5) 6.(1)(4) 7.(3)(4) 8. (2)(5)
選填題：9. 256
−
10. 126 11.
8 2 2
3
+
混合題或非選擇題：12.
2
9
3
0
x
y
z
−
+
− =
13.
3
3 1
(
,
, )
4
4 4
−
−
14.
9
20
15. (5) 16.
1
7
17.
16
245
π