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學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題：
：
：
：(18 分
分
分
分)
1. 設
=(7, 4, 4)
u
−
−
，
=(2,1, 2)
v
−
，
=
w
u
t v
−
且 t 為實數；當 w 平分 u 和 v 的夾角時，則 t 為下
列何值？(1) 3
− (2)
2
− (3)
1
− (4) 1 (5) 3
2. 設 a，b 皆為實數，欲使
|
6 |
,
3
7
( )
,
3
7
a x
b
x
f x
x
x
x
−
+
≤
<
=
<
≥
若
若
或
為一連續函數，則 a b
−
為下列何值？
(1)
11
−
(2)
2
− (3) 7 (4) 9 (5) 11
3. 已知圓
2
2
:
6
8
0
x
y
x
y
Γ
+
−
−
=
，設 k 為實數，若直線
1
: 2
0
L
x
y
k
+
+
=
與圓 Γ 交於相異兩點 A、B
，直線
2
:
2
2
L
x
y
k
−
=
與圓 Γ 交於相異兩點 C、D；當兩直線
1
L 、
2
L 所截弦長相等時，即 AB
CD
=
時，則 k 為下列何值？ (1) 10 (2) 5 (3) 0 (4) 5
− (5)
10
−
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題：
：
：
：(40 分
分
分
分)
4. 設
1
1
1
1
A
=
−
，
1
1
2
2
1
1
2
2
B
−
=
，則下列選項哪些是正確的？
(1) A 為一鏡射矩陣 (2) AB 為一旋轉矩陣 (3) AB
BA
=
(4) 設
0
k > ，則
2019
0
(
)
0
k
AB
k
=
(5) 設△ABC 經
2019
(
)
BA
變換到△ A B C
′ ′ ′
，則△ A B C
′ ′ ′
的面積會大於△ABC 的面積
5. 設
1
i =
−
且 a 為實數，關於實係數多項式
3
( )
1
f x
x
ax
=
+
+
與
4
2
( )
1
g x
x
ax
=
+
−
的敘述，
則下列選項哪些是正確的？
(1) 當
0
a = 時，方程式
( )
0
f x =
恰有一實根 (2) 當
0
a > 時，方程式
( )
0
f x =
恰有一正實根
(3) 若方程式 ( )
0
f x =
恰有一實根
α
，則 (2 ) 0
f
α
>
(4) 方程式 ( )
0
g x =
必有實根 (5) 方程式 ( )
( )
f x
g x
=
必有實根
6. 設
1
i =
−
且 n 為正整數，已知 z、 z i
−
、iz 皆為
1
n
x = 的複數根，將之標記在複數平面上可得其
對應的點分別為 ( )
A z 、
(
)
B z
i
−
、 ( )
C iz ，原點為 O，則下列選項哪些是正確的？
(1) 複數 z 的實部 Re(z)是有理數
(2) 若複數 z i
−
的主輻角為 Arg(
)
z
i
−
，則180
Arg(
)
360
z
i
<
−
<
(3) 複數
1
iz + 亦為
1
n
x = 的複數根
(4)
( )
A z 、
(
)
B z
i
−
、 ( )
C iz 三點皆在不同的象限內 (5) 滿足條件的正整數 n 最小值為 12
7. △ABC 中，
6
AB = ，
10
AC =
，
120
BAC
∠
=
，點 M 在 BC
MC
=
，則下列選項哪些是正確的？
(1)
14
BC =
(2) △ABC 的外接圓面積為
28
3
π
(3)
15
4
AM =
(4) 將圖(一)中的△AMC 以 AM 為摺痕摺至與△AMB 重疊，
得△ AMC′ ，如圖(二)所示，則
60
BMC′
∠
<
(5) 承(4)，得 7
8
BC′
<
<
RA685
C
M
B
A
M
B
A
C′
圖(一)
圖(二)
2
8. 箱子中有若干張卡片，其中一張寫著 1，一張寫著 2，n 張寫著 3，n 為正整數。從中依序抽兩張
不同的卡片，點數依序為 a，b，取後不放回，令隨機變數 X 表示
2
a
b
+
，隨機變數 Y 表示 2a b
+
。請選出正確的選項。
(1) 隨機變數 X 的可能值最小為 5 (2) 當
2
n =
時，
7
X = 的事件機率為
1
6
(3) 當
2
n =
時，
8
X = 的事件機率為
1
6
(4) 當
1
n = 時，X 的期望值為
6
(5) 不論 n 是何值，X 的期望值等於 Y 的期望值
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：(18 分
分
分
分)
A. 坐標平面上一直線 : 4
3
0
L
x
y
k
−
+
=
與對數函數
2
log
y
x
=
圖形相交於 A，B 兩點，且
5
2
AB =
，
試求 k= 。
B. 如右圖(此為示意圖)，平行四邊形 ABCD 中
0
AC
BD
⋅
=
，
10 |
|
AC
AD
AC
⋅
=
，
則 AC AB
⋅
= 。
C. 在空間中，
(4, 0, 3)
OA
=
−
，
(2, 1,3)
OB
=
−
，
(3, 3, 3)
OC
=
，H 為異於原點 O 的點。若 OA
、
OB
、 OC
在 OH
方向上的正射影分別為 OH
、 OH
、 3 OH
，則 |
|
OH
= 。
(化為最簡分數)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(24 分
分
分
分)
一、 設計師小翰欲設計一個大型的公共藝術作品，先以 3D 列印設計
一個四面體的模型，底面 BCD 平貼在桌面(平面 E)上研究擺設位置
，如圖(一)。已知四面體 ABCD 中，
34
AB =
，
5
DC = ，
6
BC = ，
3
AD = ， AD
BD
⊥
且 AD
CD
⊥
，試回答下列問題：
(1) 圖(一)中，若平面 ABC 與底面 BCD 所形成的兩面角為
θ
，
則求 cos
θ
的值。(4 分)
(2) 如圖(二)，以 BC 為軸，將圖(一)中的四面體 ABCD 旋轉到使得
平面 ABC 與桌面 E 垂直，則求此時 D 點到桌面 E 的距離。(2 分)
A
B
C
D
3
(3) 如圖(三)，以 BC 為軸，將圖(一)中的四面體 ABCD 旋轉到使得邊
AD 與桌面 E 平行，則求此時 D 點到桌面 E 的距離。(2 分)
(4) 如圖(四)，以 BC 為軸，將圖(一)中的四面體 ABCD 旋轉到使得
平面 ABC 平貼於桌面 E 上，則求此時 D 點到桌面 E 的距離。(4 分)
二、右圖為一個小迷宮，從入口進去後，最後可以安全由
出口出來便是破解此迷宮，規定進去後走過的路徑不
可重複，也就是必須向前走不能後退，且在每一條路
的盡頭都綁了一隻惡犬(迷宮中有 7 隻惡犬，如右圖英
文字母標示處)，遇到惡犬者便被淘汰。假設走到每一
個路口時，接下來各前進方向被選擇的機會都相等，
請依上述訊息回答下列個問題：
(1) 小翰走一次迷宮且欲到惡犬 的機率。(2 分)
(2) 小翰走一次迷宮且被淘汰的機率。(3 分)
(3) 在小翰走一次迷宮且被淘汰的情況下，求遇到惡
犬 的機率。(3 分)
(4) 設 n 為正整數，有 n 個人各走一次迷宮，且彼此之間的走法是獨立的，則這 n 個人當中
至少有一人可破解此迷宮的機率不小於 0.8，求 n 的最小值。(4 分)
(參考數值： log 2
0.3010
≈
； log 3 0.4771
≈
； log 7 0.8451
≈
； log11 1.0414
≈
)
○
C
○
C
4
RA685 107 學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
學年度全國高級中學指定科目第二次模擬考數學甲
選擇題：1. (1) 2. (1) 3. (4) 4. (2)(4) 5. (1)(4)(5) 6. (2)(3)(5) 7. (1)(5) 8. (3)(4)(5)
選填題：A. 5
− B. 200 C.
5
3
非選擇題：一、(1)
4
5
(2)
16
5
(3) 4 (4)
12
5
二、(1)
1
6
(2)
11
12
(3)
2
11
(4) 19