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學年度全國高級中學指定科目第一次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第一次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第一次模擬考數學
學年度全國高級中學指定科目第一次模擬考數學乙
乙
乙
乙
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題：
：
：
：(14 分
分
分
分)
1. 為維護學生身心健康，培養主動學習，教育部規定學校每週至少應安排兩日，由學生自主規劃
運用並決定是否參加早自習。若甲，乙兩校各自隨機從星期一到星期五中選擇了兩天早自習由
學生自主規劃運用，且這兩校的選擇互不相關，則兩校恰好都有選到星期一的機率為？
(1)
1
4
(2)
2
5
(3)
4
5
(4)
4
25
(5)
7
10
2. 已知
1 2
3
2
1
0
1 3
1
1
0
1
−
=
−
且
1 2
1 2
1
0
3
2
3
4
1 3
0
2
1
1
−
−
=
−
−
，
若
11
3
2
1 2
1 2
1
0
1
1
3 4
1 3
0
a
−
−
=
−
−
，則 a=？
(1) 121 (2) 512 (3) 1024 (4) 2048 (5) 2019
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題：
：
：
：(40 分
分
分
分)
3. 設二次函數
2
2
( )
3
3
(1
)
f x
x
x
a
x
=
−
+
−
，其中 a 為實數且
3
a ≠ ，下列敘述何者正確？
(1) f(x)的圖形與 x 軸可能不相交 (2) 若 f(x)有最小值，則
3
a <
(3) 若 f(x)的圖形與 x 軸交於兩點，則 f(x)的圖形開口向上
(4) 若 f(x)的圖形與 x 軸只有一個交點，則
3
2
a =
(5) 0 有可能為 f(x)的最小值
4. 根據《開心民調公司》針對幸福市市議員所做的最新民調說明，在 95%的信心水準下，市民對
於西瓜候選人的支持度為 4 成 5，抽樣誤差為 3.0 個百分點。本次調查共成功訪問了若干位 20
歲以上的合格選民，請問下列選項何者正確？
(1) 幸福市市民中，恰有 45%的市民支持西瓜候選人
(2) 真正的支持度 p 有 95%的機率會落在 0.42 至 0.48 之間
(3) 若以同樣方式在幸福市進行多次民調，在 95%的信心水準下，所得的信賴區間約有 95%的
區間會包含真正的支持度
(4) 若將此次民調的信心水準調高至 99.7%，則抽樣誤差會變更為 4.5 個百分點
(5) 此民調共成功訪問了 1100 位合格選民
5. 設一線性規劃之可行解區域為四邊形 ABCD 區域(含邊界)，其中 (6, 0)
A
， (3, 6)
B
， (7,9)
C
，
(9, )
D
k ，
0
5
k
<
<
。若目標函數 ax by
+
在點
13
(8,
)
2
P
有最大值 53，且此目標函數在同個可行解
區域之最小值為 m，則下列哪些敘述是正確的？
(1)
4
k =
(2)
0
ab <
(3) 最小值發生在點 A (4)
27
m =
(5) 若 ( , )
Q x y 為可行解區域上一點，則
2
2
x
y
+
的最小值為 36
6. 籤筒中有 10 枝籤，其中 3 枝籤是有獎籤且每枝籤被抽出的機率相等。今有甲，乙，丙三人依序
各抽出一枝籤且每人只抽一次，抽出後不放回，並規定第 K 個抽中有獎籤者可以得到獎金 10K
元。例如：若甲沒抽中、乙抽中、丙抽中，則甲得 0 元、乙得 10 元、丙得 20 元。
則下列選項何者正確？
(1) 三人獲得總獎金為 60 元的機率為
1
120
(2) 三人獲得總獎金為 30 元的機率為
1
15
(3) 甲獲得獎金的期望值為 3 元 (4) 丙獲得獎金的期望值為
13
3
元
(5) 三人獲得總獎金的期望值為 9 元
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2
7. 學測成績是將原始得分(0 分到 100 分)換算為級分(0 級分到 15 級分)。級距計算方式為：以各科
到考的考生，計算其原始得分前百分之一考生(取整數，小數無條件進位)的平均原始得分，再
除以 15，並取至小數點後第二位，第三位四捨五入，作為級距。例如：若原始得分前百分之一
考生的平均原始得分是 90 分，那麼原始得分 0 分為 0 級分，原始得分 0.01 分到 6.00 分為 1 級
分，原始得分 6.01 分到 12.00 分為 2 級分，以此類推，原始得分 78.01 分到 84.00 分為 14 級分
，而原始得分 84.01 分到 100 分者為 15 級分(滿級分)。若已知 107 年學測數學科級距為 6.65 分
，小明，小成為當年考生，則下列敘述何者正確？
(1) 若小明數學原始得分為 56 分，則小明數學級分為 9 級分
(2) 若小成數學級分為 12 級分，則小成數學原始得分可能為 72 分
(3) 滿級分 15 級分所對應的原始得分為 93.36 分到 100.00 分
(4) 每一級分的總人數未必一樣
(5) 如果想要拿到滿級分 15 級分，那麼原始得分一定要比前百分之一考生的平均原始得分還高
才行
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：(24 分
分
分
分)
A. 若 P 點為圓：
2
2
1
x
y
+
=
上任意一點，Q 點為圓：
2
2
4
x
y
+
=
上任意一點，O 為原點，
則 OP OQ
⋅
的最大值為 。
B. 已知
6
x
y
+
=
分別與
2
log
y
x
=
及
2
x
y =
交於 P、Q 兩點，而
11
x
y
+
=
分別與
2
log
y
x
=
及
2
x
y =
交於 R、S 兩點，其中 P，Q，R，S 四點皆為格子點(x, y 坐標均為整數)，則 P，Q，R，S 四點
所形成的四邊形面積為 平方單位。(化為最簡分數)
C. 小 A 與小 B 常一起談天說地，他們為了加強隱私，避免聊天內容外洩，約定自此所有溝通訊息
裡每一個文字均以一串 0 或 1 混合的數字串表示，數字串規則如下：
(1) 一個數字串只會對應到一個文字
(2) 任一數字串開頭必為 1
例如：若發出的訊息為 101011 並得知了此訊息依序對應到 3 個文字，則這個訊息可能的組合為
(10,10,11) 、 (1010,1,1) 、 (10,101,1) ，但不能為 (10,1, 011) 、 (101, 01,1) 。現在小 C 好奇他們聊天
內容，特意攔截到了一組訊息為 1010101010011，假設此訊息依序對應了 3 個文字，則此訊息
有 種不同的組合。
3
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(22 分
分
分
分)
一、某地區有大聯，家家福兩家購物中心，根據市場調查，每個月大聯購物中心會留住 80%的顧
客，而 20%轉向家家福；家家福購物中心則會留住 60%的顧客，而 40%轉向大聯。若目前大
聯，家家福兩家購物中心的市場佔有率分別為 50%及 50%，且顧客的總人數不變，試求：
(1) 兩個月後，大聯購物中心的市場占有率。(5 分)
(2) 若長期下來市場占有率會趨於穩定，則在穩定狀態下大聯購物中心的市場占有率為何？
(答案請以最簡分數表示)(5 分)
二、下表為西元 1978~2018 年之間，每隔十年測得大氣中二氧化碳濃度 X(10ppm)與全球年平均溫
度 Y(攝氏)之間的關係：
試求：
(1) X 與 Y 的相關係數。( 3.4
1.84
≈
，答案請四捨五入至小數點後第二位)(7 分)
(2) Y 對 X 的迴歸直線斜率。(2 分)
(3) 科學家估計到了西元 2038 年，大氣中二氧化碳濃度將升至 45(10ppm)，請依此數據推估
西元 2038 年時，全球年平均溫度為攝氏幾度。(答案請四捨五入至小數點後第一位)(3 分)
西元
1978
1988
1998
2008
2018
大氣中二氧化碳濃度 X(10ppm)
33
35
37
39
41
全球年平均溫度 Y(攝氏)
14.1
14.4
14.6
14.5
14.9
4
RB596 107 學年度全國高級中學指定科目第一次模擬考數學乙
選擇題：1. (4) 2. (4) 3. (2)(4)(5) 4. (3)(4)(5) 5. (1)(4) 6. (1)(3)(4) 7. (1)(4)
選填題：A. 2 B.
35
2
C. 15
非選擇題：一、(1) 64% (2)
2
3
二、(1) 0.92 (2)
17
200
(3) 15.2