1
106 學年度全國高級中學指定科目
模擬考數學甲
第
第
第
第 壹
壹
壹
壹 部 分
部 分
部 分
部 分 ：
：
：
： 選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題 (占
占
占
占 78 分
分
分
分 )
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題(占
占
占
占 18 分
分
分
分 )
1. 坐標平面上曲線 :
log
y
x
Γ
=
與一條斜率為
1
2
的直線 L 交於 A、B 兩點，若 A、B 的橫坐標
分別為 a、b(b > a)且
5
AB =
，試問方程式
log
2
10
b
x
a
=
的解 x 最接近下列哪一個選項？
(1) 3 (2) 2 (3)
1
2
(4)
3
2
(5)
1
3
2. 下列各個選項，請選出正確的敘述。
(1) 在 0
2
x
π
≤
≤
時，方程式 2 cos 3
2
x
x =
有 2 個相異實根
(2) 在 0
2
x
π
≤
≤
時，方程式| sin | | cos |
10
x
x
x
+
=
有 1 個實根
(3) 在 0
2
x
π
≤
≤
時，方程式 2 cos 3
| sin |
| cos |
x
x
x
=
+
有 5 個相異實根
(4) 在 0
2
x
π
≤
≤
時，方程式
2
log
10
x
x
=
有 2 個相異實根
(5) 在 0
2
x
π
≤
≤
時，方程式 2 cos 3
10
x
x =
有 6 個相異實根
3. 實係數多項式方程式
4
3
2
( )
2(
2)
7(
1)
0
f x
x
k
x
k
x
px
q
=
+
−
−
−
+
+
=
，已知 2 i
+
為其複數根
(
1
i =
− )，另有兩根為實根。今將 p，q 以 k 表示，若 p q
×
有最小值 m，則 log |
|
m 的值最接近
下列哪一個選項？( log 2
0.3010
≈
， log 3 0.4771
≈
， log 7 0.8451
≈
)
(1) 0.1 (2) 0.5 (3) 1.8 (4) 2.1 (5) 3.4
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 32 分
分
分
分)
4. 設多項式函數 f(x)滿足
0
(2
)
(2
)
lim
2
h
f
h
f
h
h
→
+
−
−
=
， (1) 0
f
=
，
( )
4
f
x
′′
=
，請選出正確選項。
(1)
( 1)
0
f −
=
(2)
(0)
5
f
=
(3)
(1) 1
f ′
= (4)
(2)
2
f ′
=
(5)
(3)
5
f ′
=
5. 設
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+
，其中 a，b，c，d 為實數且
0
a ≠ ，已知
5
( )
lim
2
5
x
f x
x
→
=
−
，
6
( )
lim
1
6
x
f x
x
→
= −
−
，
若 f(x)=0 的三根為△ABC 的三邊長，請選出正確選項。
(1) f(7)=1 (2) a=2 (3)
120
a
b
c
d
+
+
+
= −
(4) △ABC 面積為 3 6 (5) △ABC 為銳角三角形
6. 坐標平面上，圓 C：
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
，已知 P 點在圓 C 上，圓 C 與直線 :
1
0
L x
y
−
− =
的交點為 Q、R，若△PQR 為圓內接三角形面積最大者，請選出正確選項。
(1) QR 的中點坐標為
5 3
,
2 2
(2) P 點坐標為(1, 2) (3) 過 P 點的切線為
2
0
x
y
−
−
=
(4) 圓 C 與
| 2
3 | 1
y
x
=
−
+
的圖形有 4 個交點
(5) 有一光源在 A(1, 4)，將圓 C 投影至 x 軸上的投影長為
14
3
7. 設 f(x)為實係數三次多項式且方程式 (1
)
0
f
i
−
=
，
1
i =
−
，則下列敘述哪些正確？
(1)
( 1
)
0
f
i
− −
=
(2) 方程式
( )
0
xf x = 必有實根
(3) 若 (1)
0
f
<
且 (2) 0
f
>
，則 (3) 0
f
>
(4) 若 ( )
0
f x =
有一負根時，則
2
(
)
0
f x
=
必有兩純虛根 (5)
3
( )
f x
x
=
必有實根
RA682
2
三、選填
選填
選填
選填題
題
題
題(占
占
占
占 28 分
分
分
分)
A. 設
2
2
cos
sin
3
3
i
π
π
ω
=
+
，
1
i =
−
，若複數數列滿足
1
1
z = ，
1
1
n
n
z
z
ω
+
=
⋅
+
，
1
2
25
z
z
z
a
bi
+
+
+
=
+
⋯⋯
，則實數數對(a, b)= 。(化為最簡根式)
B. 設 A、B、C、D 為空間中四個相異點， CD 垂直平面 ABC，已知
13
AB =
，
15
BC =
，
10
CD =
，△ABC 為銳角三角形，
12
sin
13
BAC
∠
=
，
3
cos
5
ACB
∠
=
，試求四面體 D ABC
−
體積為 。(四面體體積=
1
3
底面積×高)
C. 有一個抽球拿獎金的活動，紅色球每顆價值 50 元，綠色球每顆價值 20 元，藍色球每
顆價值 10 元。已知袋中原有紅色球 5 顆、綠色球 6 顆，主辦單位希望再放入一些藍
色球。假設袋中所有色球被抽中的機率皆相同，今隨機自袋中抽取一球，價值金額的
期望值為 20 元。若滿足上述要求下，試問「一次取兩球所得總價值不超過 60 元」的
機率為 。(化為最簡分數)
D. 空間坐標中，已知平行六面體 ABCD
EFGH
−
中，
(0, 2, 1)
A
−
、 (3,3, 3)
D
−
、 (3,0, 2)
G
−
、
(4, 2, 4)
H
−
，
試求直線 AD 與直線 GH 之間最短距離為
。(化為最簡根式)
(0, 2, 1)
A
−
(3, 3, 3)
D
−
(3, 0, 2)
G
−
(4, 2, 4)
H
−
B
C
E
F
3
第
第
第
第 貳
貳
貳
貳 部 分
部 分
部 分
部 分 ：
：
：
： 非
非
非
非 選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題 (占
占
占
占 22 分
分
分
分 )
一、在坐標平面上，直線 L 通過點(1, 0)且與曲線
3
:
4
1
y
x
x
Γ
=
−
−
相切，試求：
(1) 切點坐標。(4 分)
(2) 切線 L 方程式。(2 分)
(3) 切線 L 與曲線 Γ 所圍區域面積。(4 分)
二、有一種穀倉的設計：下半部的形狀是高為 1 公尺的正六角柱，
上半部是側稜為 3 公尺的正六角錐，如右圖所示。
(1) 若 O 為正六邊形
1 2 3 4 5 6
P P P P P P 的中心，設
AO
x
=
且
0
3
x
<
<
，試以 x 表示
1
4
AP AP
⋅
。(5 分)
(2) 承(1)，若 V(x)表示穀倉的體積，試將 V(x)表示為 x 的函數。
(註：角錐體積=
1
3
底面積× 高) (2 分)
(3) 穀倉的最大體積為多少立方公尺？((5 分)
A
3
1
1
P
2
P
3
P
4
P
5
P
6
P
4
RA682
106 學年度全國高級中學指定科目模擬考數學甲
參考答案
第
第
第
第 壹
壹
壹
壹 部 分
部 分
部 分
部 分 ：
：
：
： 選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
1. (1) 2.(5) 3.(3) 4.(2)(5) 5.(3 )(5) 6.(1)(4) 7.(2 )(3) (4 )
選
選
選
選 填
填
填
填 題
題
題
題
A.
(13,4 3) B. 280 C.
57
65
D.
7 5
15
第
第
第
第 貳
貳
貳
貳 部 分
部 分
部 分
部 分 ：
：
：
： 非
非
非
非 選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
選 擇 題
一 、 (1 ) ( 1, 2)
−
(2)
1
y
x
= − + (3)
27
4
二 、 (1 )
2
2
9
x −
(2)
3
2
3
( )
(
3
9
27)
2
V x
x
x
x
=
−
−
+
+
(3) 16 3 立 方 公 尺