1
112 學年度全國高級中學學測模擬考(112-E1)
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 35 分)
1. 設實數 x 滿足
1
2023
2022
1
x
=
−
，下列哪一個選項為
1
2023
1
x
−
之值？
(1) 1011 (2) 1012 (3) 2022 (4) 2023 (5) 2024
2. 已知
31
4
a
=
、
8
b
= 、
62
c
=
和 d，且 d 為無理數將這四個數標註在數線上，即 A(a)、B(b)
、C(c)和 D(d)。試選出正確的選項。
(1) a b c
d
+ + + 必為一個無理數 (2) abcd 必為一個有理數
(3) 點 A 和點 B 的中點位於點 C 的右邊 (4)若 c
d
b
< < ，則
63
d
=
(5) 若
2
d 為有理數且
2
2
2
c
d
b
<
< ，則
63
d
= ±
3. 考慮兩實數乘積 (2
5)(4
5)
3 2 5
+
−
= +
，下列哪一個選項的值與雙重根號
6 2 3 2 5
−
+
的值相等？ (1)
2
5
4
5
−
+
+
(2)
2
5
4
5
+
+
−
(3)
2
5
4
5
+
−
−
(4)
3
5
3
5
+
−
−
(5)
4
5
2
5
+
−
−
4. 多項式
2
2
3
( )
4(
1) (
1) (
3) (
1)
f x
x
x
x
x
=
+ − −
+ − +
等於下列哪一個選項？
(1)
2
(
1)
x x
−
−
(2)
2
2 (
1)
x x
−
+
(3)
(
1)(
1)
x x
x
−
+
− (4)
2
2(
1) (
1)
x
x
−
+
− (5) 2 (
1)(
1)
x x
x
−
+
−
5. 定義指數
(
)
z
z
y
y
x
x
=
，其中 x，y，z 為正實數，例如
5
2
32
3
3
=
。下列哪一個選項的值
最大？ (1)
3
4
2
(2)
4
3
2
(3)
4
2
3
(4)
3
2
4
(5)
2
3
4
6. 己知二次函數
( )
y
f x
=
圖形的頂點坐標為 ( , ( ))
h f h 。若函數圖形在區間 b
x
a
≤ ≤ 範圍內，
( )
f b 為最大值但 ( )
f a 不是最小值，其中
, ( )
( )
b
a f a
f b
<
≠
。試選出正確的選項。
(1) h
b
< (2) h b
= (3) b h a
< < (4) h a
= (5) h a
>
7. 根據氣象局資料，到了 21 世紀初，地震學者採用更能直接反應地震破裂過程物理特性(如
地層錯動的大小和地震的能量等)的表示方法，即地震矩規模(M
W
)來描述地震大小，其計
算公式為
0
2
log
10.73
3
W
M
M
=
−
，其中的
0
M 為地震矩，是地震學家用來表示地震所釋放
出之能量的數量。根據記錄，1999 年集集大地震的地震矩規模為 7.7，2016 年美濃地震
的地震矩規模為 6.4，兩次地震所釋放的能量(地震矩)，前者是後者的幾倍？選出最接近
的數值。(1)20 倍 (2)60 倍 (3)75 倍 (4)90 倍 (5)105 倍
二、多選題(占 20 分)
8. 已知 n 為正實數，下列哪些選項是絕對值不等式 |
| 2
x
n
x
− ≥
的解？
(1)
0
x
= (2)
3
n
x
= (3)
2
3
n
x
=
(4)
x
n
=
(5)
2
x
n
=
9. 若多項式函數 ( )
f x 滿足
2
6
4
3
2
( )
(
)
( )
4
2
4
5
3
g x
f x
f x
x
x
x
x
x
=
−
=
−
−
+
−
，試選出正確的選
項。 (1) deg ( ) 3
f x
= (2)
2
deg ( )
deg (
) deg ( )
g x
f x
f x
=
−
(3)
( )
f x 的首項係數為 2
(4)
2
(
)
f x
的係數和等於 ( )
f x 的係數和 (5)
(
1)
x x
− 是 ( )
g x 的因式
10. 平面上三角形 ABC 頂點坐標分別為 (0, 5)
A
、 (2,3)
B
、 ( 4,1)
C
−
，令圓
Г
為過三角形三頂
點的外接圓，試選出正確的選項。 (1)
AB
AC
⊥
(2) 圓
Г
的圓心為 ( 1, 2)
−
(3) 圓
Г
的半徑等於 10 (4) 原點(0, 0)在圓
Г
的外部 (5) 圓
Г
恰通過三個象限
RA1100
2
11. 有一直角三角形，其中兩股長分別為 a、b，斜邊長為 c，若 a、b、c 為互質正整數，羅
馬時期的數學家丟番圖(Diophantus)約在西元前 250 年提出下列公式：
2
2
2
2
2
a
m
n
b
mn
c
m
n
=
−
=
= +
，其中 m, n 為互質正整數(
m
n
>
)。根據此公式，當
2
2
a
m
n
=
− 為質數時，
則下列哪些選項中的數值不可能為完全平方數？
(1) b c
+ (2) 2
1
b
+ (3) 2
1
c
+ (4) 2(
1)
a b
+ + (5) 2(
1)
a
c
+ +
三、選填題(占 30 分)
12. 設 x、y 為循環小數，且
0.9
x
=
、
0.03
y
=
，則 x y
− 的值等於 。(化為最簡分數)
13. 若
4
10
10
10000
10
10
k
+
=
，則整數 k= 。
14. 已知
2023
2
、
2023
5
兩數的科學記號分別為
608
10
a
×
、
1414
10
b
×
，其中1
,
10
a b
≤
<
，則
ab= 。
15. 已知四次多項式函數
2
( )
(3
16)(
1) (
5)
f x
a x
x
x
=
−
−
+
的部分圖形
如右所示，則滿足不等式 ( ) 0
f x
< 的整數解有 個。
16. 己知三次實條數多項式函數
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+ ，其中
0
a
≠ 。若
3
( )
5
4
y
g x
x
x
=
=
−
+
的圖形向右平移 2 個單位可得到
( )
y
f x
=
的圖形，則
( )
y
f x
=
的圖形在
0
x
= 附近會近似
於直線 。
17. 某甲計算多項式
3
2
( )
f x
x
ax
bx c
=
+
+
+ 除以
3
2
( )
g x
ax
bx
cx
d
=
+
+
+ 的餘式，其中 a，b，c
，d 為實數，且
0
a
> 。他誤看成 ( )
g x 除以 ( )
f x ，計算後得出餘式為
2
2
18
x
−
− 。假設
( )
f x 除以 ( )
g x 正確的餘式等於
2
px
qx
r
+
+ ，則
r
q
p
+ = 。
3
第貳部分：混合題或非選擇題(占 15 分)
18-20 題為題組
坐標平面上 O 為原點，給定點 ( 12, 9)
P
−
− 與圓
Г
：
2
2
2
10
x
y
+
=
，另有兩點 A、B 在圓
Г
上且
2 19
AB
=
，已知直線 L 過 P、A、B 三點且斜率為 m，根據上述，試回答下列問題
：
18. 直線 L 方程式為下列哪一個選項？(單選題，3 分)
(1)
9
(
12)
y
m x
+ =
+
(2) (
9)
(
12)
0
y
m x
+ +
+
= (3)
9
(
12)
y
m x
− =
−
(4)
(
9)
12
m y
x
+ = +
(5)
(
9)
12
m y
x
− = −
19. 圓心 (0, 0)
O
到弦 AB 的距離為下列哪一個選項？(單選題，5 分)
(1) 9 (2) 8 (3) 6 (4) 3 (5) 0
20. 若直線 M 過點 P，與圓
Г
相交於 C、D 兩點，且弦長
CD
AB
≥
，則直線 M 的斜率 t 之範
圍為何？ (非選擇題，7 分)
4
RA1100
112 學年度全國高級中學學測模擬考(112-E1)
參考答案
選擇題：1. (1) 2. (3) 3. (3) 4. (5) 5. (2) 6. (3) 7. (4) 8. (1)(2)(4) 9. (1)(4)(5)
10. (1)(2)(3) 11. (3)(5)
選填題：12.
29
30
13. 6 14. 10 15. 7 16.
7
6
y
x
=
+
17. 9
混合題：18.
(1)
19. (1) 20.
24
0
7
t
≤ ≤