加載中. ..
PDF
1
新北基高級中學
新北基高級中學新北基高級中學
新北基高級中學 110 學年度分科測驗聯合模擬考數學甲
學年度分科測驗聯合模擬考數學甲學年度分科測驗聯合模擬考數學甲
學年度分科測驗聯合模擬考數學甲 B卷
卷卷
卷
第壹部分
第壹部分第壹部分
第壹部分：
：：
：選擇題
選擇題選擇題
選擇題(共占
共占共占
共占 76 分
分分
分)
一
一一
一、
、、
、單
單單
單選題
選題選題
選題(占
占占
占18 分
分分
分)
1. 已知點
(4, 2)
P，圓 2 2
: 4 4 2 0
C x y x y
+ − + − =
，下列何者為過 P點且與圓相切的直線？
(1)
3 10 0
x y
+ − =
(2)
3 2 0
x y
− + =
(3)
2 8 0
x y
+ − =
(4)
2 0
x y
− =
(5)
4 0
x
− =
2. 天文學家規定 1星等的亮度是 6星等的 100 倍，星等和亮度呈現指數成長模型關係。依
此規則，地球上看織女星，它是 0.03 星等。從地球上看天狼星的亮度約為
1.47
−
星等。
則在地球上看天狼星的亮度大約是織女星亮度的幾倍？
(1) 1.5 (2) 4 (3) 15 (4) 30 (5) 40
3. 現有 A，B兩動點在數線上移動，已知當時間 t時，A、B兩點在數線上的位置分別為
( )
f t
、
( )
g t
，且 5 2
( ) 2 4
f t t t
= + −
，3 2
( ) 1
g t t t t
= − − +
。若當
t c
=
時，兩動點在數線上的
位置相同，試求 c的範圍為何？
(1)
0 1
c
< <
(2)
1 2
c
< <
(3)
2 3
c
< <
(4)
3 4
c
< <
(5)
4 5
c
< <
二
二二
二、
、、
、多選題
多選題多選題
多選題(占
占占
占40 分
分分
分)
4. 已知 2
( ) ( 2)( 1) 3
f x x x x
= + + − +
，3
( ) 1
g x x
= −
，下列哪些選項正確？
(1)
( )
f x
除以
( )
g x
的餘式是二次式 (2)
( ) ( )
f x g x
×
除以
1
x
−
的餘式為 3
(3)
( ) ( )
f x g x
×
的展開式中，
5
x
項的係數為 0
(4)
( )
y f x
=
的圖形與
( )
y g x
=
的圖形恰只有一個交點
(5)
(0,1)
是
( )
y f x
=
圖形的對稱中心
5. 某家科技公司共有 456 名員工，經過健康檢查後發現這些員工的員工的平均年齡恰為 40
歲，標準差為 3歲，血壓(y)對年齡(x)的最適直線為：
1.2 70
y x
= +
(x的單位為歲，y的單
位為毫米水銀)，下列哪些選項正確？
(1) 年齡(x)與血壓(y)有正相關 (2) 456 名員工的平均血壓為 120 毫米水銀
(3) 若456 名員工血壓的標準差為 6毫米水銀，其 x與y的相關係數為 0.6
(4) 若血壓的單位改為厘米水銀，則最適直線的斜率仍是不會改變
(5) 若血壓的單位改為厘米水銀，則最適直線的方程式仍是不會改變
6. 設有三數列
n
a
、
n
b
、
n
c
，且
1
log
n
n
b
a
=，
10
n
a
n
c
−
=，
n
a
每項皆為正數，下列哪些
選項正確？
(1)
n
b
每項皆為正數 (2) 若
1
2
n n
a a
−
=，
2
n
≥
，則
n
b
是公差為
log 2
的等差數列
(3) 若
1
2
n n
a a
−
− = ，
2
n
≥
，則
n
c
是公比為 2的等比數列
(4) 若
n
a
是遞增數列，則
n
b
是遞增數列 (5) 若
n
a
是遞增數列，則
n
c
是遞減數列
7. 1
cos sin
2
y x x
= − − ，其中 0x
π
≤ ≤
，選出下列哪些選項正確？
(1) y的最大值為
1
2
2
+ (2) y的最大值為
1
2
(3) y的最小值為
1
2
−
(4)
0
x
=
時，y有最大值 (5)
x
π
=
時，y有最小值
RA5116
2
8. 己知方程式 3
4 3 4
x i
= +
的三個根分別為
1 2 3
, ,
a a a
，而方程式 6
4 3 4
y i
= +
的六個根分別為
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
b b b b b b
，則下列哪些選項是正確的？
(1)
2
1 1
a b
=
(2)
2
1 1
| | | |
a b
=
(3)
1 2 3
, ,
a a a
在複數平面上的對應點，沒有一個落在第四象限
(4) 將
1 2 3
, ,
a a a
在複數平面上的對應點連成三角形，則其周長為
6 3
(5) 將
1 2 3 4 5 6
, , , , ,
b b b b b b
在複數平面上的對應點連成六邊形，則其面積為
6 2
三
三三
三、
、、
、選
選選
選填題
填題填題
填題(占
占占
占18 分
分分
分)
9. 若圓
1
O
與圓
2
O
的半徑比為
2 :1
，且圓
1
O
與圓
2
O
交於 A、B兩點，過 B點做一直線分別交
圓
1
O
與圓
2
O
於C、D兩點，在△ACD 中，
2
3
CAD
π
∠ = ，則 tan
ACD
∠ =
。
(化為最簡根式)
10. 已經知道一條光束從空氣進入水中會產生折射現象，且入射角會大於折射角。在空間坐
標中，水面為 xy 平面，xy 平面上方的空氣中一點 A(l, 2, 3)朝著
( 2, 2, 1)
L
= − − −
方向發射
一光束，經過水面(xy 平面)後，在 xy 平面下方發生折射現象，觀察發現折射線通過一點
( 7, 6, 10)
B
− − −
。若此光束在空氣中和在水中的夾角為
θ
，則
sin
θ
= 。
(化為最簡根式)
11.已知 P點為橢圓
2 2
1
11 36
x y
+ =
上一動點，Q點為雙曲線
2 2
1
9 16
x y
− + =
上一動點。若
1 2
,
F F
為橢
圓與雙曲線的兩焦點，當 P點與 Q點重合時，此時△
1 2
PF F
的面積為 。
(化為最簡根式)
第貳部分
第貳部分第貳部分
第貳部分：
：：
：混合題或
混合題或混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題非選擇題
非選擇題(占
占占
占24 分
分分
分)
12-14 題為題組
電腦工程師設計一款發牌遊戲，電腦滑鼠按下去，每一次會發一張牌，且每一張牌只有紅色
或藍色的分別。已知工程師設計第一張牌發出紅色牌的機率為
1
5
，且之後都依據以下規則來
發牌：若前一張發出紅色牌，則下一張是藍色牌的機率為
2
3
；若前一張發出藍色牌，則下一
張是紅色牌的機率為 p。
已知
n
a
和
n
b
分別表示發第 n張牌發出紅色牌和藍色牌的機率。試回答下列問題。
12.
2 2
a b
+
的值為下列哪一個選項？(單選題，2分)
(1)
1
3
(2)
2
3
(3)
2
5
(4)
4
5
(5) 1
13.工程師希望 3
1
5
a
=
，試求 p值。(5 分)
14. 承13.，已知某人玩此遊戲前三張牌均發出同色牌，求此人拿到的前三張牌均為紅色牌
的機率為何？(5 分)
3
15-17 題為題組
近年來手機遊戲多以轉蛋、抽獎、摸彩的方式來提升遊戲等級，玩家籍由儲值的方式，
將現實生活中的金錢，換取虛擬世界的貨幣(如鑽石、點卷等)，再由這些虛擬貨幣換取轉蛋
的機會來抽取或加強遊戲角色。
而由於機率的不確定性，對於遊戲公司宣稱抽中機率 1%的角色，即使玩家抽 100 次也
沒抽中 1次，仍不能證明遊戲公司公告的機率不實，甚至有些遊戲公司沒有公布抽中機率。
也因此近日有民眾提案籲訂「轉蛋法」希望遊戲公司公布中獎機率，並經第三方機構驗
證。以保障玩家權益。
另外，部分遊戲公司為了避免遊戲玩家屢抽不中，因此建立了保底機制，即當玩家抽卡
達一定次數時，最後一次抽卡必定抽中。如保底次數設定為 10 次，則當前 9次沒抽中時，
第10 次必定抽中。試回答下列問題：
15.若遊戲公司宣稱抽中遊戲角色「翰林小子」的機率為 0.5%，且每次抽卡結果互不影響。
在沒有保底機制的情況下，小明重複進行抽卡直到抽中「翰林小子」時停止，令隨機變
數X表小明的總抽卡次數，則 X的期望值 E(X)最接近下列何者？(單選題，2分)
(1) 100 次 (2) 200 次 (3) 300 次 (4) 400 次 (5) 500 次
16.若遊戲公司宣稱抽中遊戲角色「翰林大師」的機率為定值，且每次抽卡結果互不影響。
在沒有保底機制的情況下，小華重複進行抽卡直到抽中「翰林大師」時停止，令隨機變
數Y表小華的總抽卡次數，已知 Y的期望值 E(Y)為250 次，則 Y的變異數 Var(Y)為何？
(4 分)
17.若遊戲公司希望保底次數設定方式如下，當玩家連續 n次沒抽中的機率開始低於 50%時
，則設定保底次數為 n。如某角色抽中機率為 0.25，第 1次沒抽中的機率為 0.75，連續 2
次沒抽中的機率為 2
(0.75) 0.5625
=，連續 3次沒抽中的機率為 3
(0.75) 0.421875 0.5
= ≤ ，
故設定保底次數為 3次。承第 15.題，試求「翰林小子」的保底次數應設定為多少次？
(6 分)
4
RA5116 新北基高級中學
新北基高級中學新北基高級中學
新北基高級中學 110 學年度分科測驗聯合模擬考
學年度分科測驗聯合模擬考學年度分科測驗聯合模擬考
學年度分科測驗聯合模擬考
數學甲
數學甲數學甲
數學甲 B卷
卷卷
卷 參考答案
參考答案參考答案
參考答案
選擇題
選擇題選擇題
選擇題：
：：
：1. (2) 2. (2) 3. (2) 4. (3)(4)(5) 5. (1)(3) 6. (2)(5) 7. (2)(5) 8. (2)(3)(4)
選填題
選填題選填題
選填題：
：：
：9.
3
5
10.
6
3
11.
3 11
混合題或
混合題或混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題非選擇題
非選擇題：
：：
：12.(5) 13.
1
6
14.
1
26
15. 2 16. 62250 17. 137 次