武 陵 高 中 1 1 3 學 年 度 第 一 學 期 數 學 科 高 三 數 甲 期 中 考 試 題
範圍:選修數甲(上)單元微分 (301-316,320)
一、多選題：
20%(每題 10 分，錯 1 選項得 6 分，錯 2 選項得 2 分，錯 3 選項以上得 0 分)
1.
右圖為三次函數
3
2
f x
ax
bx
cx
d
的圖形， , , ,
a b c d 為實數，在反曲點所作的切線為水平切
線，請選出正確的選項﹕
(1)
0
b
(2)
0
c
(3) 3
2
0
a
b c
(4) 6
2
0
a
b
(5)
2
3
0
b
ac
2. 關於多項式函數
4
3
2
f x
x
bx
cx
dx e
， , , , ,
a b c d e 為實數，下列各敘述哪些正確？
(1)
f x
在
0
x
的近似直線為 y dx e
(2)
f x
在
x
a
的近似直線為
'
y
f
a x
f a
(3) 若
0
f a
，
'
0
f
a
，則
f x
除以
2
x a
的餘式是 0
(4) 若
2
x a
是
f x
的因式，則
0
f a
，
'
0
f
a
(5)
若
'
''
0
f
a f
a
，則可找到一個區間
,
p q
，
,
a
p q
，使得
f x
在區間
,
p q
為遞增函數
二.選填題 I
：請在答案卡上對應的位置劃記答案 40%(每格 8 分)
A.
多項式函數
2
2
2
5
f x
x
x
x
x
，試求
' 1
f
○
3
○
4 。
B.
函數
2
2
3
1
x
x
f x
x
，試求
'
1
f
○
5 。
C.
多項式函數
4
2
2
f x
x
，試求二階導數
'' 0
f
○
6
○
7 。
D.
多項式函數
3
3
5
f x
x
x
，
定義域為
5, 2
，試求
f x
的最大值為
○
8
○
9 。
E.
多項式函數
5
7
7
f x
x
x
，試
求
0.99
f
的近似值
。
(四捨五入至小數點後第 2 位)
三. 選填題 II
：請在答案卡上對應的位置劃記答案 25%(每格 5 分)
F. 函數
3
2
f x
x
x
，
以
1,
1
f
為切點所作的切線與
x
軸交於
1
, 0
a
，
以
1
1
,
a f a
為切點所作的切
線與
x
軸交於
2
, 0
a
，試求
2
a
。
(化簡為最簡分數)
背面有題
G.
函數
2
25
f x
x
，利用導數的定義求
' 3
f
。
(化簡為最簡分數)
H.
已知
3
2
4
9
7
y
x
x
x
與
2
y
x
k
的圖形有三個相異交點，試求 k 的範圍為
○
18
○
19
○
20
k
○
21
○
22 。
I.
函數
[ ]
f x
x x
，其中
[
]
為高斯符號，試求
0
2
2
lim
h
f
h
f
h
○
23
○
24 。
J.
多項式函數
3
2
9
15
8
f x
x
x
x
，
y
f x
圖形上有相異兩點
1,1
P
、
,
Q a b
，若直線 PQ 為
y
f x
的一條切線，
Q
為切點，試求
a
○
25
○
26 。
四.計算題：15%(計算題需要完整過程，否則不計分)
1. 如圖，曲線
2
4
y
x
與直線
3
x
的內接矩形 ABCD，C 、 D 在直線
3
x
上， A 在直線
3
x
左側，求矩形 ABCD 最大面積為多少？(8%)
2. 多項式函數
4
3
3
4
1
f x
x
x
，求出函數圖形的反曲點座標(7%)
武陵高中 113 學年上學期數甲高三第二次期中考答案卷
三.計算題：15%(需要完整過程，否則不計分)
1.
2.
武陵高中 113 學年上學期數甲高三第二次期中考答案卷
四.計算題：15%(需要完整過程，否則不計分)
1.
令
, 2
A x
x
3, 2
D
x
A 在第一象限， 0
3
x
ABCD
面積為
2
2
3
2
16
3
x
x
x
x
令
2
3
2
16
3
16
6
9
f x
x x
x
x
x
， 0
3
x
2
'
16 3
12
9
48
3
1
f
x
x
x
x
x
x
0
1
3
f
x
0
0
f x
0
↗ 64 ↘
0
x=1 時
f x
有最大值 64
ABCD
面積最大值為 8
(函數有各種不同令法 令函數+寫出定義域 3% 算出最大值過程+解 5%)
2.
4
3
3
4
1
f x
x
x
3
2
2
'
12
12
''
36
24
12
3
2
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
2
0
3
0
0
x
f
x
凹向變化
2
0,
3
x
x
處皆為反曲點
反曲點
2 11
0,1 ,
,
3 27
7%
多選題
20%
1 135
2 134
填充題
：65%(前 5 題每題 8 分 後 5 題每題 5 分)
A
2
B 3
C 64
D
3
E 1.02
F
8
5
G
3
4
H
12
20
k
I
1
J
4