全國高中 113 年(112 學年度)高三下第五次
分科測驗模擬考數學(數甲 A 卷)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇(填)題
一、單選題
1. 已知 a 、 b 、 c 為實數，
( )
a
x
x
f
−
=
與
( )
2
bx
x
g
=
的圖形均通過點
(
)
c
,
1
，若
( )
x
f
y
=
圖形上以
(
)
c
,
1
為切點的切線為 L，
( )
x
g
y
=
圖形上以
(
)
c
,
1
為切點的切線為 M ，且 L 與 M
互相垂直，則
=
+
+
c
b
a
3
2
？
(1) 1
− (2) 2
− (3) 3
− (4) 4
− (5) 5
−
答： (3)
解：
( )
a
x
x
f
−
=
2
1
⇒
( )
2
1
2
1
−
=
′
x
x
f
⇒ L 斜率
( )
2
1
1
=
′
f
( )
2
bx
x
g
=
⇒
( )
bx
x
g
2
=
′
⇒ M 斜率
( )
b
g
2
1
=
′
M
L
⊥
⇒
1
2
2
1
−
=
× b
⇒
1
−
=
b
又
(
)
( )
2
,
1
x
x
g
c
−
=
∈
⇒
1
−
=
c
又
(
)
( )
a
x
x
f
−
=
∈
−1
,
1
⇒
2
=
a
所求
( ) ( )
3
3
2
2
−
=
−
+
−
+
=
2. 將一個正立方體木塊的六面塗上紅色後，各邊再平分成
n
段（
2
≥
n
），並將此正立方體切
割成
3
n 個大小相同的小正立方體。若這
3
n 個小正立方體中，至少一面有塗色的小正立方
體有
n
a 個，令
200
2
4
2
a
a
a
a
S
k
+
+
+
+
+
=
，則
S
log
最接近下列哪個數值？
(1) 5
.
5 (2) 6 (3) 5
.
6 (4) 7 (5) 5
.
7
答： (4)
解：
3
2
2
=
a
，
3
3
4
2
4
−
=
a
，
3
3
6
4
6
−
=
a
，……
3
3
3
3
3
3
3
3
200
198
200
4
6
2
4
2
=
−
+
+
−
+
−
+
=
S
[
]
9030
.
6
3010
.
2
3
200
log
3
log
=
×
=
=
S
3.
8
cos
2
2
8
sin
1
2
+
+
−
的化簡結果為何？
(1)
4
cos
4
4
sin
2
−
(2)
4
cos
2
2
4
sin
2
−
(3)
4
sin
2
4
cos
4
−
(4)
4
cos
4
(5)
4
sin
2
−
答： (5)
解： 所求
(
)
−
+
+
−
=
1
4
cos
2
2
2
4
cos
4
sin
2
2
2
4
cos
2
4
cos
4
sin
2
+
−
=
(
) (
)
4
sin
2
4
cos
2
4
sin
4
cos
2
−
=
−
+
−
=
二、多選題
4. 已知
a
、 b 為實數，
( )
b
ax
x
x
f
+
+
=
2
，試選出正確的選項。
(1)
( )
x
f
必有最小值
(2)當
2
=
a
時，
( )
x
f
的最小值為
( )
1
−
f
(3)當
2
=
a
，
0
=
b
時，
( )
x
f
在
1
0
≤
≤ x
時的最大值為 3
(4)若
( )
x
f
在
1
0
≤
≤ x
時的最大值為 3，則
2
=
a
(5)若
( )
x
f
在
1
0
≤
≤ x
時的最大值為 0，則
0
=
b
或
1
−
=
+ b
a
答： (1)(2)(3)(5)
解： (1)正確，開口向上
(2)正確，對稱軸
1
−
=
x
(3)正確，最大值
( )
3
0
1
2
1
1
2
=
+
×
+
=
f
(4)反例：
( )
(
)
→
−
−
=
+
−
=
≤
≤
1
0
2
2
1
2
3
4
x
x
x
x
x
f
最大值
( )
3
0
=
f
(5)正確，
( )
( )
0
1
1
0
0
=
+
+
=
=
=
b
a
f
b
f
或最大值
最大值
5. 設
x
、 y 、
z
均為非零實數，
a
、 b 、
c
均為不等於 1 的正實數，且
z
y
x
c
b
a
=
=
，
試選出正確的選項。
(1)若
2
=
a
、
4
=
b
、
8
=
c
，則
1
:
2
:
3
:
:
=
z
y
x
(2)若
1
=
ab
，則
x
y
−
=
(3)若
c
b
a
>
>
，則
z
y
x
<
<
(4)若
c
ab
= ，則
z
y
x
=
+
(5)若
1
=
abc
，則
z
y
x
1
1
1
+
+
之值為 0
答： (2)(5)
解： (1)
z
y
x
8
4
2
=
=
⇒
z
y
x
3
2
=
=
⇒
2
:
3
:
6
:
:
=
z
y
x
(2)
y
y
x
a
a
a
−
=
=
1
⇒
y
x
−
=
(3)當
0
1
>
>
>
>
c
b
a
時，
z
y
x
>
>
(4)
t
c
b
a
z
y
x
=
=
=
⇒
x
t
a
1
=
，
y
t
b
1
=
，
z
t
c
1
=
→
= c
ab
z
y
x
c
t
1
1
1
=
+
⇒
z
y
x
1
1
1
=
+
(5)承(4)
→
= 1
abc
0
1
1
1
1 t
t
z
y
x
=
=
+
+
⇒
0
1
1
1
=
+
+
z
y
x
6. 若 S 為
( )
1
,
1
、
(
)
1
,
1
−
、
(
)
1
,
1
−
−
、
(
)
1
,
1
−
四頂點所形成的正方形邊界，經矩陣 A 線性變
換後為 S ′ ，試選出正確的選項。
(1)當
−
=
1
0
0
1
A
時， S 和 S ′ 不相交
(2)當
=
3
0
0
2
A
時， S 和 S ′ 不相交
(3)當
°
°
°
−
°
=
270
cos
270
sin
270
sin
27
cos
A
時， S 和 S ′ 重合
(4)當
°
−
°
°
°
=
270
cos
270
sin
270
sin
270
cos
A
， S 內部和 S ′ 內部重疊的面積小於 3
(5)當
−
=
1
0
2
1
A
時， S 內部和 S ′ 內部重疊的面積為 2
答： (2)(3)(5)
解： (1) A 為鏡射矩陣，關於
x
軸成對稱，故 S 與 S ′ 重合
(2) A 為伸縮矩陣，故 S 與 S ′ 無交點
(3) A 為旋轉矩陣，逆時針旋轉
°
270 ，故 S 與 S ′ 重合
(4) A 為鏡射矩陣，關於
x
y
−
=
成對稱，故 S 與 S ′ 重合，面積 4
=
(5) A 為推移矩陣，重疊部分面積
2
= （畫圖即知）
7. 坐標平面上有一正方形 ABCD ，其
(
)
2
,
2
A
、
(
)
6
,
2
B
、
(
)
6
,
2
−
C
、
(
)
2
,
2
−
D
，
若
( )
4
3
3
+
−
=
ax
x
x
f
，其中
a
為實數，試選出正確的選項。
(1)當
( )
x
f
有極值時，
0
>
a
(2)若
0
>
a
，則
( )
x
f
在
a
x
=
時有極大值
(3)當
2
=
a
時，
( )
x
f
y
=
的圖形和正方形 ABCD 的邊交於兩點
(4)若
( )
x
f
y
=
的圖形和正方形 ABCD 的邊相切，則
1
=
a
(5)
( )
x
f
y
=
的圖形和正方形 ABCD 的邊可能交於奇數個點
答： (1)(3)(4)
解： (1)
( )
a
x
x
f
3
3
2
−
=
′
之判別式：
(
)
0
3
3
4
0
2
>
−
×
×
−
a
⇒
0
>
a
(2)承(1)，
a
x
−
=
有極大值，
a
x
=
有極小值
(3)當
2
=
a
時，
( )
4
6
3
+
−
=
x
x
x
f
，
在
2
=
x
時，有極小值
2
2
4
2
2
2
4
=
−
<
×
×
−
在
2
−
=
x
時，有極大值
6
2
4
2
2
2
4
=
+
>
×
×
+
又
( )
6
8
4
12
8
2
>
=
+
+
−
=
−
f
，
( )
2
0
4
12
8
2
<
=
+
−
=
f
因此
( )
x
f
y
=
的圖形和正方形 ABCD 的邊交於兩點
(4)當
( )
x
f
y
=
的圖形和正方形 ABCD 的邊相切，即極大值為 6，極小值為 2
可得
6
2
4
=
+
a
a
⇒
1
=
a
(5)由
( )
x
f
y
=
圖形的對稱中心和正方形 ABCD 的對稱中心均為
(
)
4
,
0
因此兩個圖形的交點必兩兩對稱於
(
)
4
,
0
∴
( )
x
f
y
=
的圖形和正方形 ABCD 的邊必交於偶數個點
8. 已知坐標平面上一個圓與兩軸均有相交，此圓被
x
軸截成兩段弧長比為
3
:
1
的圓弧，
且圓截
x
軸所得之弦長為 2，又圓心
(
)
b
a
O
,
′
到直線
0
2
=
− y
x
的距離為
5
5
，
試選出正確的選項。
(1)圓心到
x
軸的距離為半徑的
2
2
倍
(2)
1
2
=
− b
a
(3)圓的半徑為
2
(4)圓心在直線
x
y
= 上
(5)滿足條件的圓有兩個
答： (1)(2)(3)(4)(5)
解： (1)(3)
(2)
5
5
5
2
=
− b
a
⇒
1
2
=
− b
a
(4)(5)∵
1
=
b
⇒
(
) (
)
1
,
3
,
=
b
a
，
( )
1
,
1
或
(
)
1
,
3
−
−
，
(
)
1
,
1
−
−
又圓與兩軸都有交點
⇒
(
) ( )
1
,
1
,
=
b
a
，
(
)
1
,
1
−
−
⇒ 圓：
(
)
(
)
2
1
1
2
2
=
−
+
−
y
x
或
(
)
(
)
2
1
1
2
2
=
+
+
+
y
x
三、選填題
9. 印有 1、3、5、7、9 的五張卡片，其中 9 可當作 6 使用，則從中抽出三張卡片，
可以排成 個不同的三位數。
答： 96
解： 無 9
⇒
24
!
3
4
3
=
×
C
有 9
⇒
72
2
!
3
4
2
1
1
=
×
×
C
C
合計 96 種
10. 如右圖所示，由兩個全等的灰色正方形及四個全等的平行四邊形
不重疊且無空隙拼成一個正八邊形。若正方形的邊長為 2，
則 AE
E
A
⋅
A
BC
E
A
的值為 。
（化為最簡根式）
答：
2
4
4
+
解： 所求
(
) (
)
2
,
2
2
2
2
,
2
⋅
+
=
2
4
4
4
2
2
2
2
+
=
+
+
=
11. 若
−
+
+
−
+
+
+
+
∞
→
4
4
4
4
4
8
10
8
10
22
12
2
2
lim
n
n
n
k
n
n
n
n
n
之值
為 。
答： 4000
此題佳
解： 所求
∑
=
∞
→
×
−
=
n
k
n
n
n
n
k
1
4
10
8
10
lim
5
1
4000
5
1
5
1
5
1
10
0
5
10
0
4
=
=
=
∫
x
dx
x
第貳部分：混合題或非選擇題
12-15 題為題組
空間中有四個平面：
1
E ：
0
=
+
+
z
y
x
、
2
E ：
3
=
+
+
z
y
x
、
3
E ：
9
=
+
+
z
y
x
及
4
E ：
0
=
−
+
z
y
x
，若
4
E 上有一正三角形 ABC ，而 A 、 B 、 C 也分別在
1
E 、
2
E 、
3
E 上，
此正三角形與
2
E 的截痕為
BD
，試回答下列問題。
12.
1
E 和
2
E 的距離為何？
答： 3
解：
(
)
3
3
0
3
,
2
1
=
−
=
E
E
d
13. 若
a
AD
=
，則
BD
長為何？（單選題）
(1)
a
3 (2) a
2 (3)
a
5 (4)
a
6 (5)
a
7
答： (5)
此題佳
解：
AD
：
(
)
2
1
, E
E
d
CD
=
：
(
)
2
3
, E
E
d
3
3
=
：
3
6
1
= ： 2
→
= a
AD
a
CD
2
=
，
a
AB
3
=
，
a
AB
AD
AB
AD
BD
7
60
cos
2
2
2
=
°
⋅
−
+
=
14. 若
2
E 和
4
E 的銳夾角為
θ
，則
θ
cos 之值為何？
答：
3
1
解：
(
) (
)
3
1
3
3
1
,
1
,
1
1
,
1
,
1
cos
=
−
⋅
=
θ
15. 試求 A 到 BD 的距離及正三角形 ABC 之邊長。
答：
(
)
4
6
3
,
=
BD
A
d
；
ABC
∆
邊長
2
14
3
=
此題佳
解：
2
1
7
60
sin
3
2
1
×
×
=
°
×
×
×
h
a
a
a
⇒
7
2
3
3
a
h
=
AH
h
=
θ
sin
⇒
3
3
8
7
2
3
3
=
×
a
⇒
2
14
=
a
故
(
)
4
6
3
,
=
= h
BD
A
d
故
ABC
∆
邊長
2
14
3
3
=
a
16-18 題為題組
設 n 是大於 1 的正整數，
1
>
a
，已知
( )
0
1
=
f
且
( )
(
)
1
1
=
−
−
n
f
n
af
，試回答下列問題。
16. 試以
a
表示
( )
3
f
與
( )
4
f
之值。
答：
( )
a
a
f
1
1
3
2
+
=
，
( )
a
a
a
f
1
1
1
4
2
3
+
+
=
解：
( )
(
)
[
]
1
1
1
+
−
=
n
f
a
n
f
，
( )
0
1
=
f
⇒
( )
a
f
1
2
=
，
( )
a
a
f
1
1
3
2
+
=
，
( )
a
a
a
f
1
1
1
4
2
3
+
+
=
17. 試以
n
與
a
表示
( )(
)
1
>
n
n
f
，並證明之。
答：
( )
a
a
a
a
n
f
n
n
1
1
1
1
2
2
1
+
+
+
+
=
−
−
證： 數學歸納法
18. 試以
a
表示
( )
n
f
n
∞
→
lim
。
答：
1
1
−
a
解： ∵
1
>
a
∴
1
1 <
a
∴
( )
1
1
1
1
1
lim
−
=
−
=
∞
→
a
a
a
n
f
n