全國高中 113 年(112 學年度)高三下第五次
分科測驗模擬考數學(數甲卷 I)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇(填)題
一、單選題
1. 比較四個實數
2
1
log
3
1
=
a
，
3
1
log
2
1
=
b
，
2
1
5
=
c
，
5
2
1
=
d
的大小。
試選出正確的選項。
(1)
d
c
b
a
>
>
>
(2)
d
a
b
c
>
>
>
(3)
d
b
c
a
>
>
>
(4)
d
c
a
b
>
>
>
(5)
a
d
c
b
>
>
>
答： (2)
解：
d
a
b
c
>
>
>
>
>
>
2
1
1
2
2. 設 a
E
A
、
A
b
E
A
為兩個不平行的非零向量，且
A
c
E
A
3
=
A
a
E
A
2
+
A
b
E
A
，則
A
c
E
A
與下列何者平行？
(1)
5
3
A
a
E
A
5
2
−
A
b
E
A
(2)
5
2
A
a
E
A
5
3
+
A
b
E
A
(3)
5
2
A
a
E
A
5
7
−
A
b
E
A
(4)
4
3
A
a
E
A
4
1
+
A
b
E
A
(5)
A
a
E
A
3
2
+
A
b
E
答： (5)
解： a
3
2
+
b
3
//
a
3
2
+
b
3
= a 2
+ b
3. 設
(
)
1
,
2
A
，
(
)
5
,
4
B
，
(
)
3
,
6
C
，
(
)
7
,
1
−
D
，
(
)
3
,
3
−
E
及
(
)
6
,
9
−
F
為坐標平面上的六個
點。若直線 L 與
ABC
∆
及
DEF
∆
共有三個交點，則 L 的斜率
m
之可能的最大範圍為何？
(1)
8
2
<
< m
(2)
1
3
−
<
<
−
m
(3)
8
>
m
或
1
−
<
m
(4)
2
>
m
或
1
−
<
m
(5)
R
m
∈
答： (4)
解： (
Ⅰ) L 恰與
DEF
∆
交於 D ：
=
=
2
8
DC
DA
m
m
⇒
8
2
<
< m
(
Ⅱ) L 恰與
DEF
∆
交於 E ：不合
(
Ⅲ) L 恰與
DEF
∆
交於 F ：
−
=
−
=
1
3
FA
FC
m
m
⇒
1
3
−
<
<
−
m
(
Ⅳ) L 恰與
ABC
∆
交於 A ：
−
=
=
1
8
AF
CA
m
m
⇒
8
>
m
或
1
−
<
m
(
Ⅴ) L 恰與
ABC
∆
交於 B ：不合
(
Ⅵ) L 恰與
ABC
∆
交於 C ：
−
=
=
3
2
CF
CD
m
m
⇒
2
>
m
或
3
−
<
m
所求
2
>
m
或
1
−
<
m
故選(4)
二、多選題
4. 設函數
( )
x
x
x
f
y
cos
2
3
cos
−
−
=
=
，
x
為任意實數，但
2
π
π
+
≠ k
x
， k 為任意整數，
試選出正確的選項。
(1)
( )
x
f
y
=
為一個奇函數
(2)若
2
3
2
π
π
<
< x
時，
( )
x
f
y
=
有最小值 6
(3)
( )
x
f
y
=
無最大值
(4)
( )
x
f
y
=
函數圖形與
x
軸不相交
(5)直線
π
k
x
=
（ k 為任意整數）皆為
( )
x
f
y
=
函數圖形的對稱軸
答： (3)(4)(5)
解： (1)應為偶函數
(2)
( ) (
)
(
)
2
5
2
1
cos
1
cos
2
cos
2
1
cos
1
cos
=
+
−
−
≥
−
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
f
等號成立於
1
cos
−
=
x
(3)(4)承(2)，正確
(5)當
π
k
x
=
⇒
1
cos
±
=
x
，正確
5. 若二階方陣
=
d
c
b
a
A
的行列式值不為 0，試選出正確的選項。
(1)在坐標平面上任意三角形經過二階方陣
=
d
c
b
a
A
的線性變換下，仍為三角形
(2)在坐標平面上任意三角形經過水平伸縮為原來的 5 倍且鉛直伸縮為原來的
5
1
倍的變換
下，所得的三角形面積不變
(3)在坐標平面上任意直線經過二階方陣
=
d
c
b
a
A
的線性變換下，仍為直線
(4)在坐標平面上任意圓方程式經過二階方陣
=
d
c
b
a
A
的線性變換下，仍為圓方程式
(5)在坐標平面上，
x
y
cos
=
的圖形在水平伸縮為原來的 3 倍且鉛直伸縮為原來的 3 倍的變
換下，可得到
x
y
3
cos
3
=
的圖形
答： (1)(2)(3)
解： (4)可能為橢圓 (5)應為
=
3
cos
3
x
y
6. 某工廠生產的 20 個相同產品中有 4 個不良品，品管員從其中每次任取一個，逐一加以檢
查，每次每個產品被取出的機會均相等，試選出正確的選項。
(1)取出的產品不再放回，第三次取到不良品的機率為
5
1
(2)取出的產品再放回，第三次取到不良品的機率為
5
1
(3)取出的產品不再放回，在第五次取出第三個不良品的機率為
323
6
(4)取出的產品再放回，在第五次取出第三個不良品的機率為
3125
96
(5)取出的產品不再放回，已知品管員前 3 次恰取出一個不良品的情形下，他第五次取出不
良品的機率為
17
4
答： (1)(2)(3)(4)
解： (1)(2)正確
(3)
323
6
!
2
!
2
!
4
16
2
17
3
18
4
19
15
20
16
=
×
×
×
×
×
(4)
3125
96
!
2
!
2
!
4
20
4
20
16
3
2
=
×
×
(5)
17
3
!
1
!
2
!
3
18
4
19
15
20
16
16
2
17
3
16
3
17
14
!
1
!
2
!
3
18
4
19
15
20
16
=
×
×
×
×
+
×
×
×
×
×
7. 已知二組數據
(
)
Y
X ,
：
(
)
1
1
, y
x
，
(
)
2
2
, y
x
，……，
(
)
n
n
y
x
,
， X 與Y 的相關係數為
(
)
6
.
0
,
=
Y
X
r
，標準差分別為
3
=
X
σ
，
1
=
Y
σ
，平均數分別為
X
µ
，
Y
µ
。若 X 與Y 的迴
歸直線通過原點，下列何者正確？
(1)
(
)
6
.
0
,
−
=
X
Y
r
(2)
3
.
0
1
,
3
2
1
=
+
+ Y
X
r
(3)
(
)
6
.
0
2
3
,
1
2
−
=
+
+
−
X
Y
r
(4)
Y
X
µ
µ
5
=
(5)
Y
X
µ
µ
>
答： (3)(4)
解： (1)
(
)
(
)
6
.
0
,
,
=
=
Y
X
X
Y
r
r
(2)
(
)
6
.
0
,
1
,
3
2
1
=
=
+
+
Y
X
Y
X
r
r
(3)
(
)
(
)
(
)
6
.
0
,
,
2
3
,
1
2
−
=
−
=
=
−
+
+
−
Y
X
X
Y
X
Y
r
r
r
(4)迴歸直線：
(
)
(
)
(
)
X
X
Y
Y
X
Y
x
r
y
µ
σ
σ
µ
−
×
=
−
,
，過
(
)
0
,
0
⇒
(
)
X
Y
µ
µ
−
×
=
−
3
1
5
3
⇒
X
Y
µ
µ
=
5
(5)無法確定
X
µ
，
Y
µ
之正負
8. 設函數
( )
2
3
4
2
9
2
4
1
x
x
x
x
f
+
−
=
，
4
2
<
<
−
x
，即函數
( )
x
f
的定義域為開區間
(
)
4
,
2
−
，試選出正確的選項。
(1)
( )
x
f
在開區間
(
)
4
,
0
上為嚴格遞增函數
(2)
( )
x
f
在定義域上的最小值為 0，最大值為 38
(3)
( )
x
f
在定義域上，只在開區間
(
)
3
,
1
上的圖形為凹向下
(4)
( )
4
27
3
=
f
為
( )
x
f
的一個極小值
(5)
4
11
,
1
為
( )
x
f
的一個反曲點
答： (1)(2)(3)(5)
解：
( )
(
)
2
2
3
3
9
6
−
=
+
−
=
′
x
x
x
x
x
x
f
( )
(
)(
)
3
1
3
9
12
3
2
−
−
=
+
−
=
′′
x
x
x
x
x
f
x
2
− 0 1 3 4
( )
x
f ′
－ 0 ＋ ＋ 0 ＋
( )
x
f ′′
＋ ＋ 0 － 0 ＋
( )
x
f
三、選填題
9. 如圖，甲乙兩人在圓形體育館內的中心點 O 同時出發，
且兩人一直保持等速率移動，甲朝正北方的出口直線前
行，出了體育館仍然保持直線前進；乙朝正東方的出口
直線前進，並一出體育館立即沿著體育館圓周逆時針方
向繞了
6
1
圈時，正好甲乙兩人在體育館外第一次可以互視，
則甲乙兩人的速率比
=
乙
甲
v
v
:
。(化為最簡根式)
答：
(
)
2 3: 3
π
+
解：
(
)
2
:
:
2 3: 3
3
3
r
v v
r
r
π
π
=
+ ×
=
+
甲
乙
10. 阿慶就讀的高中設有 8 位同學組成的糾察隊，負責每天早上及中午的值勤。每天早上需有
5 位同學，其中 3 位擔任門口守衛，另 2 位擔任教室巡視；中午也是需有 5 位同學，其中
3 位擔任門口守衛，另 2 位擔任教室巡視。學校要求每天早上及中午的門口守衛不可以由
同一人擔任，同時每天早上及中午的教室巡視也不可以由同一人擔任，則該校糾察隊每天
值勤工作的安排共有 種方法。
答： 38640
解：
巡視
門口
中午
巡視
門口
早上
FGH
FG
D
F
DE
DE
ABC
所求
×
+
×
×
+
×
×
×
×
=
3
2
3
3
4
2
3
2
2
1
5
2
3
1
2
2
5
2
8
3
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
38640
=
11. 設
b
a ,
為實數且
b
a
< ，若
8
3
lim
2
=
−
+
+
→
a
x
a
bx
x
a
x
，則數對
(
)
=
b
a ,
。
答：
(
) (
)
8
,
0
,
=
b
a
解：
=
+
=
+
=
+
+
→
8
2
1
2
lim
:
0
3
2
b
a
b
x
a
ab
a
a
x
羅必達
分子
=
=
⇒
8
0
b
a
或
−
=
=
14
11
b
a
(不合)
第貳部分：混合題或非選擇題
12-14 題為題組
設四平面方程式如下：
0
1
5
3
:
1
=
+
−
+
z
y
x
E
，
0
11
4
:
2
=
−
+
−
z
y
x
E
，
0
23
7
:
3
=
+
+
+
az
y
x
E
，
0
58
23
20
:
4
=
+
−
+
z
y
bx
E
，試回答下列問題。
12. 求聯立方程式
=
+
+
+
=
+
−
+
0
23
7
0
1
5
3
az
y
x
z
y
x
的解所代表的圖形為何？(單選題)
(1)一點 (2)一平面 (3)一直線 (4)二平面 (5)沒有圖形
答： (3)
解： 相異兩平面交於一線
13. 令
t
x
= ，求聯立方程式
=
−
+
−
=
+
−
+
0
11
4
0
1
5
3
z
y
x
z
y
x
的解。(以直線參數式表示)
答：
−
=
−
=
=
t
z
t
y
t
x
19
18
19
54
19
13
19
7
，
R
t
∈
解：
−
=
+
−
−
−
=
−
=
t
z
y
t
z
y
t
x
11
4
3
1
5
−
=
−
=
=
⇒
t
z
t
y
t
x
19
18
19
54
19
13
19
7
，
R
t
∈
14. 若已知此四平面互異且其中
3
2
1
,
,
E
E
E
平面交線 L ，而交線 L 與
4
E 平面恰交於一點，
則實數
=
a
， b 值之最大可能範圍為 。
答：
9
−
=
a
且
R
b
∈ 但
4
≠
b
解：
0
7
1
4
1
1
1
5
3
=
−
−
=
∆
a
9
−
=
⇒ a
0
23
20
6
4
1
1
1
5
3
≠
−
−
−
=
∆ ′
4
≠
⇒ b
，
R
b
∈
15-17 題為題組
坐標平面上，以
1
Γ 表示
( )
x
x
x
x
f
y
4
4
2
3
+
−
=
=
的圖形，以
2
Γ 表示
( )
x
x
x
g
y
4
2
2
−
=
=
的圖形。根據上述，試回答下列問題。
15. 求出
1
Γ 與
2
Γ 兩圖形所有的交點坐標。
答：
(
)
0
,
0
，
(
)
0
,
2
，
(
)
16
,
4
解：
−
=
+
−
=
x
x
y
x
x
x
y
4
2
4
4
2
2
3
0
8
6
2
3
=
+
−
⇒
x
x
x
4
,
2
,
0
=
⇒ x
16. 設
1
Γ 與
2
Γ 兩圖形在
2
0
≤
≤ x
的範圍下所圍成的有界區域面積為 A ，試求 A 的值。
答： 4
解：
4
4
2
4
1
8
6
2
0
2
3
4
2
0
2
3
=
+
−
=
+
−
∫
x
x
x
dx
x
x
x
17. 承 16，若直線
k
y
=
將面積 A 二等分，則實數 k 的值為何？
答：
2
2
36
3
−
=
k
解：
−
=
=
x
x
y
k
y
4
2
2
0
4
2
2
=
−
−
⇒
k
x
x
有二根
β
α ,
(
)
k
2
4
4
2
+
=
−
+
=
−
⇒
αβ
α
β
α
β
2
2
3
2
4
2
2
3
2
=
+
+
−
=
+
+
−
∫
β
α
β
α
kx
x
x
dx
k
x
x
(
)
(
)(
) (
)
2
2
3
2
2
2
=
−
+
+
−
+
+
+
−
−
⇒
α
β
α
β
α
β
α
βα
β
α
β
k
(
)
( )
2
2
2
2
2
3
2
2
=
+
+
+
−
−
⇒
k
k
α
β
2
2
36
3
−
=
⇒ k