1
臺北區
臺北區
臺北區
臺北區 111 學年度分科測驗模擬考
學年度分科測驗模擬考
學年度分科測驗模擬考
學年度分科測驗模擬考 數學甲
數學甲
數學甲
數學甲(111-B3)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題(占
占
占
占 76 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題(占
占
占
占 18 分
分
分
分)
1.
若正整數 a 同時滿足下列兩個條件： 1
1000
a
<
<
2
a
a
−
可以被 1000 整除。
則這樣的正整數 a 共有幾個？ (l) 2 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 10 個
2.
培養皿中有甲、乙兩種細菌，已知甲細菌的數量每 8 小時會增為原來的 4 倍，乙細菌的數
量每 2 小時會增為原來的 2 倍。若一開始甲細菌的數量是乙細菌數量的 K 倍，過了 120 小
時後，兩細菌的數量相等，則 K 最接近下列哪一個數？
(1)
6
10
(2)
7
10
(3)
8
10
(4)
9
10
(5)
10
10
3.
如右圖，△ABC 中，
AD
為 BAC
∠
的角平分線，I 為內心，且
15
AB
=
，
10
AC
=
，
10
BC
=
。現過 I 點作一直線，分別交
AB
、 AC 於 R、S 兩點，若
AR
t AB
=
，
3
2
t
AS
AC
=
，
則實數
t
的值為下列哪一個選項？
(1)
2
5
(2)
3
5
(3)
4
7
(4)
5
7
(5)
9
14
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 40 分
分
分
分)
4.
設
( )
f x
為三次實係數多項式，
(1)
( 3)
0
f
f
=
−
=
，
(2)
10
f
=
，
(3)
48
f
=
，請選出正確的選項。
(1)
( )
f x
的首項係數為
3 (2)
( )
f x
除以
( )
f x
的餘式為
18 (3)
( )
f x
的圖形和
x
軸相切
(4)
( )
20
f x
=
有三實根
(5)
2
1
( )
lim
8
(
1)
x
f x
x
→
=
−
5.
若函數
( )
y
f x
=
的圖形如右，已知每個方格邊長為
1
單位，
請選出正確的選項。
(1)
2
lim
( )
3
x
f x
−
→
= (2)
4
lim ( )
x
f x
→
不存在
(3)
0
lim ( )
0
x
f x
→
= (4)
( 1)
0
f ′
− < (5)
(0)
0
f ′
=
6.
已知二階方陣
1
a
b
A
a
=
，其中
0,
0
a
b
>
>
，且
3
A
A
=
，請選出正確的選項。
(1)
1
A
−
存在
(2)
det( )
0
A
= (3)
2
A
I
= (4)
1
2
a
=
(5)
1
4
b
=
7.
以下關於三角形的敘述，請選出正確的選項。
(1)
有△
ABC
能同時滿足下列條件：
1
1
tan
1, tan
, tan
2
3
A
B
C
= −
=
=
(2)
有△
ABC
能同時滿足下列條件：
1
1
cos
, cos
2
3
A
B
= −
=
(3)
僅有一個△
ABC
會滿足下列條件：
12
4
sin
, cos
,
10
13
5
A
B
AC
=
=
=
RA6111
B
C
D
I
A
2
(4)
僅有一個△
ABC
會滿足下列條件：
5
4
sin
, cos
,
10
13
5
A
B
AC
=
=
=
(5)
僅有一個△
ABC
會滿足下列條件：
1
sin
3 cos
1, sin
,
10
3
A
A
B
AC
−
=
=
=
8.
甲、乙、丙三人依照下列規則進行羽球比賽：其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結
束時，輸的一方在下一局當裁判，比賽按這種規則一直進行到其中一人連勝兩局或三人合
計打滿
5
局結束。三人實力相當，每局每人勝負的機率皆為
1
2
，各局勝負皆互相獨立。設
k
A
、
k
B
、
k
C
分別表示甲、乙、丙三人在第
k
局獲勝的事件，例如
1
2
A
A
∩
表示甲在第
1
局
和第
2
局皆獲勝，
1
2
(
)
P A
A
∩
表示甲在第
1
局和第
2
局皆獲勝的機率。假設第一局由丙先
當裁判，請選出正確的選項。
(1)
1
2
3
1
(
)
8
P A
C
A
=
∩
∩
(2)
若丙連勝兩局，必定是發生在第
2
局和第
3
局
(3)
若打滿
5
局，第
5
局獲勝者為丙的機率為
1
3
(4)
若比賽在第
X
局結束，則此隨機變
數
X
的期望值
23
(
)
8
E X
=
(5)
承
(4)
，變異數
71
Var(
)
64
X
=
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題（
（
（
（占
占
占
占 18 分
分
分
分）
）
）
）
9.
已知
n
a 為一等差數列，其首項為
5
2
，公差為
3
2
，若數列
n
b
滿足
1
n
n
b
a
=
，試球
20
1
1
(
)
k
k
i
b
b
+
=
×
=
。
(
化為最簡分數
)
10.
已知圓
2
2
: (
)
(
)
1(
0)
C
x a
y
a
a
−
+
−
=
>
與直線
:
2
L y
x
=
相交於
A
、
B
兩點，
M
為圓
C
的圓心。
當△
MAB
的面積為最大時，實數
a
的值為
。
(
化為最簡根式
)
11.
童軍訓練要求以三條童軍繩彼此互相垂直來穩固一垂直地面
之旗桿。若已知其繩長
6
HA
=
呎，
6
HB
=
呎，
12
HC
=
呎，
試求旗桿結繩處
H
距離地面之高度
HP
為
呎。
3
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題(占
占
占
占 24 分
分
分
分)
12-14
題為題組
設拋物線
2
(
0, , ,
)
y
ax
bx c a
a b c
=
+
+
≠
為實數 與
x
軸交於相異兩點
( , 0)
α
、
( , 0)
β
且
α
β
<
，
試回答下列問題：
12.
若
2
(
)(
)
y
ax
bx c
a x
x
α
β
=
+
+ =
−
−
，試以
a
、
α
、
β
表示
b
與
c
。
(
非選擇題，
2
分
)
13.
試證明此拋物線與
x
軸所圍成的區域面積
3
|
|
(
)
6
a
S
β α
=
−
。
(
非選擇題，
6
分
)
14.
承第
13.
題，試求拋物線
2
4
2
y
x
x
= −
+
−
與
x
軸所圍成的區域面積。
(
非選擇題，
4
分
)
15-17
題為題組
設
A
、
B
、
C
為複數平面上相異三點，分別代表複數
1
2(cos
sin )
z
i
α
α
=
+
、
2
2(cos
sin
)
z
i
β
β
=
+
、
3
2(cos
sin )
z
i
γ
γ
=
+
，其中
0
2
α β γ
π
≤
<
、 、
。已知△ABC 為正三角形，
試回答下列問題：
15.
請選出正確的選項。(多選題，4 分)
(1)
1
2
3
0
z
z
z
+
+
= (2)
α β γ
π
=
+ +
(3)
1
2
|
| 2 3
z
z
−
=
(4)
1
2
1
|
| |
|
z
z
z
+
=
(5)
2
1
z
z
所有可能值的和為
1
−
16.
試證明：
2
2
3
1
z
z
z
⋅
=
。(非選擇題，4 分)
17.
1
2
3
| 3
2
|
z
z
z
+
−
之值為 。(化為最簡根式)(選填題，4 分)
4
RA6111
臺北區
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臺北區
臺北區 111 學年度分科測驗模擬考
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學年度分科測驗模擬考
學年度分科測驗模擬考 數學甲
數學甲
數學甲
數學甲(111-B3)
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.(1) 2.(4) 3.(3) 4.(2)(3)(5) 5.(3)(4) 6.(2)(4)(5) 7.(1)(4)(5) 8.(2)(4)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：9.
16
65
10.
10
2
11. 4
混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題：
：
：
：12.
(
),
b
a
c
a
α β
αβ
= −
+
=
13.
略 14.
8 2
3
15. (1)(3)(4)(5) 16.
略 17. 2 13