1
台中區高中 111 年(110 學年度)高三下
第二次分科測驗模擬考數學(數甲)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇（
（
（
（填
填
填
填）
）
）
）題
題
題
題（
（
（
（占
占
占
占 76 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題（
（
（
（占
占
占
占 18 分
分
分
分）
）
）
）
1. 若
n
σ
為數據
n
1
，
n
2
，……，
n
n
的標準差，則
(
)
=
∞
→
2
lim
n
n
σ
？
(1)
2
1
(2)
3
1
(3)
8
1
(4)
12
1
(5)
20
1
。
答：
(4)
解：
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
+
+
+
−
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
⋯
⋯
σ
(
)(
)
(
)
2
2
3
2
1
6
1
2
1
+
−
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
12
1
2
1
6
2
lim
2
2
=
−
=
∞
→
σ
n
2.
已知某地區共有甲、乙兩鎮，且自 2020 年起，在未來10 年內均因某因素，其人口總數將
會維持不變。若根據每年人口調查的紀錄發現以下規律：過去一年間，甲鎮有
%
20
的居民
會搬移至乙鎮，且乙鎮會有
%
60
的居民仍維持住在乙鎮，未來也會有此搬移規律。由最新
資料顯示，在 2022 年的人口調查中，此地區有
%
60
的居民居住於甲鎮。阿竣想依上述資
訊，推算 2020 年的人口數，試問：在 2020 年的人口調查時，
此此此此此此此
乙乙此此此
為下列哪
個選項？
(1)
4
1
(2)
2
1
(3)
3
2
(4)
4
3
(5)
5
4
。
答：
(4)
解：
=
%
40
%
60
%
60
%
20
%
40
%
80
2
y
x
=
−
%
40
%
60
%
60
%
20
%
40
%
80
1
2
y
x
=
−
5
2
5
3
25
11
25
7
25
14
25
18
1
y
x
4
25
5
2
5
3
25
18
25
7
25
14
25
11
×
−
−
=
=
4
3
4
1
3.
設多項式函數
( )
10
2
3
+
+
+
=
bx
ax
x
x
f
，若滿足
( )
x
f
為遞增函數的數對
(
)
b
a
,
，將其繪
製於橫坐標為
a
軸、縱坐標為 b 軸的新坐標平面上，並將其區域令為 S ，則有關 S 與不等
式
0
9
2
≥
+
− b
a
的解所交集的區域面積為多少平方單位？
(1)
90
(2)
96
(3)
102
(4)
168
(5)
180 。
2
答：
(2)
解：
( )
0
2
3
'
2
≥
+
+
=
b
ax
x
x
f
判別式
(
)
0
3
4
2
2
≤
×
×
−
b
a
則
y
x
3
2
=
與
0
9
2
=
+
− y
x
交於
(
)
3
,
3
−
、
(
)
27
,
9
所求面積
(
)
9
3
3
2
9
3
2
9
9
3
9
2
−
−
+
−
+
=
−
+
=
C
x
x
x
dx
x
x
(
)
[
]
96
84
108
72
=
−
+
+
=
二
二
二
二、
、
、
、多
多
多
多選題
選題
選題
選題（
（
（
（占
占
占
占 40 分
分
分
分）
）
）
）
4.
2020 年開始，新冠肺炎肆虐全球，觀察某國的確診人數發現，確診人數於某段時間接近
指數成長，現在假設某國在 2020 年 3 月
x
日的確診人數近似於
3
2
3
x
×
（單位：千人），
現在考慮數列〈
n
a 〉，其中
3
2
3
n
n
a
×
=
，請選出正確的選項。
(1)
〈
n
a 〉為等比數列，且其公比大於
4
3
(2)
2
a 相較於
1
a 成長了超過
%
20
(3)
若
n
n
a
b
log
=
，則
n
b 為公差小於
1
.
0 的等差數列
(4)
承
(3)
，將點
(
)
n
b
n
,
描繪於坐標平面上，所形成的圖形會落在某一直線上
(5)
27
30
2 a
a
=
。
答：
(2)(4)(5)
解：
(1)
公比
12
1
4
1
12
1
3
1
27
3
16
2
=
<
=
(2)
%
20
1
2
1
3
1
1
2
1
1
2
>
−
=
−
=
−
a
a
a
a
a
（∵
728
.
1
5
6
2
3
=
>
）
(3)
3
1
1
1
1
2
log
log
log
log
=
=
−
=
−
+
+
+
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
b
b
1
.
0
3010
.
0
3
1
2
log
3
1
>
×
=
≒
(4)
(
) (
)
+
=
×
=
=
2
log
3
3
log
,
2
3
log
,
log
,
,
3
n
n
n
a
n
b
n
n
n
n
3
log
3
2
log
+
=
∈
x
y
(5)
10
3
30
30
2
3
2
3
×
=
×
=
a
，
10
3
27
27
2
3
2
3
2
2
×
=
×
×
=
a
3
5.
下列各函數圖形中，請選出週期為
π
2
的選項。
(1)
( )
x
x
x
f
cos
cos
1
+
=
(2)
( )
x
x
x
f
cos
sin
2
=
(3)
( )
x
x
f
sin
2
1
3
+
=
(4)
( )
x
x
x
f
4
4
4
cos
sin
+
=
(5)
( )
(
)
x
x
x
x
f
cos
sin
sin
5
+
⋅
=
。
答：
(1)(3)
解：
(1)
週期
π
2
（分四象限畫圖即知）
(2)
( )
x
x
f
2
sin
2
1
2
=
，週期
π
π
=
×
=
2
1
2
(3)
週期
π
2
（畫圖即知）
(4)
( )
x
x
x
x
f
2
cos
2
1
2
1
2
2
cos
1
2
2
cos
1
2
2
2
4
+
=
+
+
−
=
(
)
x
4
cos
1
4
1
2
1
+
+
=
，週期
2
4
1
2
π
π
=
×
(5)
( )
2
1
4
2
sin
2
2
2
2
sin
2
2
cos
1
cos
sin
sin
2
5
+
−
=
+
−
=
+
=
π
x
x
x
x
x
x
x
f
週期
π
π
=
×
=
2
1
2
6.
設
( )
x
f
1
、
( )
x
f
2
均為實係數三次多項式，
( )
x
g
為實係數二次多項式。
已知
( )
x
f
1
、
( )
x
f
2
除以
( )
x
g
的商式分別為
( )
x
Q
1
、
( )
x
Q
2
，餘式分別為
( )
x
r
1
、
( )
x
r
2
，且
a
為非零實數，請選出正確的選項。
(1)
( )
x
af
1
除以
( )
x
Q
1
，餘式為
( )
x
ar
1
(2)
( )
( )
x
r
x
f
1
1
+
除以
( )
x
ag
的餘式為
( )
x
r
1
2
(3)
若
( )
x
xf
2
除以
( )
x
g
的餘式為
( )
x
xr
2
，則
( )
x
r
2
為常數多項式
(4)
( )
( )
( )
( )
x
f
x
Q
x
f
x
Q
2
1
1
2
−
可能為三次多項式
(5)
若
( )
x
f
2
有一次因式
a
x −
，則
( )
0
2
=
a
r
。
答：
(2)(3)
解：
( )
( )
( )
( )
x
r
x
Q
x
g
x
f
1
1
1
+
=
、
( )
( )
( )
( )
x
r
x
Q
x
g
x
f
2
2
2
+
=
(1)
( )
( )
( )
[
]
( )
x
ar
x
ag
x
Q
x
af
1
1
1
+
=
，須
( )
( )
x
Q
x
ar
1
1
deg
deg
<
，餘式方為
( )
x
ar
1
(4)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
r
x
Q
x
r
x
Q
x
f
x
Q
x
f
x
Q
2
1
1
2
2
1
1
2
−
=
−
但
( )
=
x
Q
1
deg
( )
1
deg
2
=
x
Q
，且
( )
x
r
1
deg
、
( )
1
deg
2
=
x
r
或 0 或不存在
( )
( )
( )
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
[
]
3
deg
deg
2
1
1
2
2
1
1
2
≠
−
=
−
x
r
x
Q
x
r
x
Q
x
f
x
Q
x
f
x
Q
(5)
( )
x
f
2
有一次因式
a
x −
，則
( )
( )
( )
( )
0
2
2
2
=
+
=
a
r
a
Q
a
g
a
f
但不能確定
( )
0
2
=
a
r
4
7.
已知
a
、
b
、
c
為空間中三個不平行的非零向量，則下列何者正確？
(1)
|
|
a × b
+
2
a ⋅ b
=
2
| |
a
⋅
2
| |
b
2
(2)
對任意實數
m
、
n
，
m a
n
+
b
⋅
a × b
0
=
(3)
若已知
| |
a
和
| |
b
，則當
a ⋅ b
越小時，
|
|
a × b
越大
(4) a × b × c
=
a × b × c
(5) c
在
a × b
上的正射影長為
a × b
⋅ c
|
|
a × b
。
答：
(1)(2)(5)
解：
(1)
|
|
a × b
+
2
a ⋅ b
=
2
| |
a
⋅
2
| |
b
2
+
θ
2
sin
| |
a
⋅
2
| |
b
2
=
θ
2
cos
| |
a
⋅
2
| |
b
2
(2)
由線性組合概念對任意實數
m
、
n
，
m a
n
+
b
⊥
a × b
(3)
承
(1)
應為
a ⋅ b
2
愈小，
|
|
a × b
2
愈大
(4)
無此規則
(5)
正確
8.
投擲一個正六體骰子，每面朝上的機會均等。
已知這六面的數字分別為1、1、 2 、 3 、 5 、8 ，設擲此骰子三次，
其朝上的數字分別為 X 、Y 、 Z ，請選出正確的選項。
(1)
滿足
Z
Y
X
<
<
的機率為
3
5
3
6
C
(2)
在
Z
Y
X
<
<
的條件下，滿足 X 、Y 、 Z 均為奇數的機率為
8
1
(3)
滿足
Z
Y
X
+
+
為偶數的機率大於
2
1
(4)
滿足
Y
X =
的機率為
6
5
(5)
在
Z
Y
X
+
+
為偶數的條件下，滿足
Y
X =
的機率為
13
2
。
答：
(2)(5)
解：
(1)
滿足
Z
Y
X
<
<
的機率為
27
2
216
12
4
6
6
1
3
4
2
2
1
1
3
4
3
=
+
=
+
有
無
C
C
C
(2)
在
Z
Y
X
<
<
的條件下，滿足 X 、Y 、 Z 均為奇數的條件機率
8
1
27
2
6
3
2
2
2
1
=
=
C
C
5
(3)
滿足
Z
Y
X
+
+
為偶數的機率為
<
=
+
27
13
6
4
6
2
6
2
2
3
1
3
一一一一
三一
C
2
1
(4)滿足
Y
X =
的機率為
9
2
6
1
4
6
2
1
2
1
2
=
×
+
=
=
=
=
非
Y
X
Y
X
(5)在
Z
Y
X
+
+
為偶數的條件下，滿足
Y
X =
的條件機率
為
13
2
27
13
27
2
27
13
6
2
6
1
2
6
2
6
2
6
2
6
1
2
55
33
2
11
2
88
22
2
=
=
×
×
+
×
+
×
×
=
+
+
一）
一
一一一一（
一）
一一一一（
一）
一
三一（
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題（
（
（
（占
占
占
占 18 分
分
分
分）
）
）
）
9.
已知平面上三點
(
)
3
,
2
A
、
(
)
1
,
4
B
、
θ
θ
θ
cos
sin
,
cos
2
P
，
π
θ
2
0
≤
≤
，
則
ABP
∆
面積的最小值為 。（化為最簡根式）
答：
2
2
9 −
解：
ABP
∆
面積
10
cos
2
cos
sin
2
2
1
3
cos
sin
2
cos
2
2
2
1
2
2
−
+
=
−
−
−
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
2
2
9
9
2
2
1
10
2
cos
1
2
sin
2
1
−
=
−
≤
−
+
+
=
θ
θ
10.
已知空間中兩點
(
)
3
,
2
,
1
A
、
(
)
1
,
1
,
2
−
B
，且有一動點
(
)
t
t
t
P
2
,
1
2
,
+
，
t
為實數。
若
PB
PA +
有最小值時，此時
=
t
。（化為最簡根式）
答：
3
10
5 −
解：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
1
2
1
+
+
+
−
+
−
+
−
+
−
=
+
t
t
t
t
t
t
PB
PA
5
9
11
18
9
2
2
+
+
+
−
=
t
t
t
(
)
(
)
+
+
−
+
−
+
−
=
2
2
2
2
3
5
0
0
3
2
0
1
3
t
t
當
3
2
,
1
、
(
)
0
,
t
、
−
3
5
,
0
共線，
6
亦即
3
10
5
2
5
5
0
1
3
5
3
2
1
3
2
−
=
+
=
−
+
=
−
−
t
t
時，
PB
PA +
有最小值
11.
在某夜市攤位舉辦了一場「紅包大放送」活動，每位顧客均可參與此活動一次。
每位顧客參與活動時，均可擲一枚不均勻銅板兩次，每次投擲互不影響，
已知此枚不均勻銅板出現正面的機率為
5
2
，並有下述規則：
(1)
若出現兩個反面可得獎金 200 元，並停止投擲；
(2)
若出現一正一反可得獎金300 元，並停止投擲；
(3)
若出現兩個正面可得獎金500 元，並且獲得擲一次兩顆公正骰子的機會，若擲得點數和
為質數，可再得獎金 250 元並停止投擲；若擲得點數和為合數，可再得獎金100 元並停
止投擲。
依上述規則，試問：每位參加活動的顧客可獲得獎金的期望值為 元。
答： 322
解：
100
500
250
500
300
200
$
75
7
36
21
5
2
5
2
75
5
36
15
5
2
5
2
25
12
!
2
5
3
5
2
25
9
5
3
5
3
+
+
=
×
×
=
×
×
=
×
×
=
×
+
+
P
A
合
正正
質
正正
反正
反反
(
)
322
75
7
600
75
5
750
25
12
300
25
9
200
=
×
+
×
+
×
+
×
=
X
E
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題（
（
（
（占
占
占
占 24 分
分
分
分）
）
）
）
12-14
題為題組
如圖（示意圖），
n
n
n
n
D
C
B
A
均為正方形，
n
為正整數，
其中
1
+
n
A
、
1
+
n
B
、
1
+
n
C
、
1
+
n
D
分別在
n
n
B
A
、
n
n
C
B
、
n
n
D
C
、
n
n
A
D
上，且滿足
1
+
n
n
A
A
：
n
n
B
A
1
+
1
+
=
n
n
B
B
：
n
n
C
B
1
+
1
+
=
n
n
C
C
：
n
n
D
C
1
+
1
+
=
n
n
D
D
：
n
n
A
D
1
+
3
=
： 4 。若將這些正方形置於坐標
平面上，且
x
D
C
B
A
//
//
1
1
1
1
軸，
y
D
A
C
B
//
//
1
1
1
1
軸，
且所有正方形中心均為坐標原點，試回答下列問題：
12.
若
1
2
OA
r
OA
=
，則實數
=
r
。（化為最簡分數）
答：
7
5
解：令
(
)
7
,
7
1
A
、
(
)
7
,
7
1
−
B
、
(
)
7
,
1
2
A
，
(
)
1
,
7
2
−
B
、
−
7
31
,
7
17
3
A
故
7
5
98
50
1
2
=
=
=
OA
OA
r
7
13.
若
3
4
1
1
=
B
A
，試求所有
(
無窮
)
正方形的面積總和。
答：
解：
(
)
98
25
49
48
49
7
5
1
3
4
2
2
=
−
×
=
−
14. 已知 O 為坐標原點，設
OA
n
(
)
n
n
y
x
,
=
，
n
為正整數。
若有一平面線性變換 T 滿足
=
+
+
n
n
n
n
y
x
T
y
x
1
1
，試求T 。
答：
−
7
4
7
3
7
3
7
4
解：
−
=
×
−
−
×
−
=
−
=
7
4
7
3
7
3
7
4
42
1
7
7
1
7
7
31
7
7
17
1
7
31
7
7
17
1
7
7
1
7
T
T
15-17 題為題組
坐標平面上有一圓方程式
0
8
6
2
:
2
2
=
+
−
−
+
Γ
y
x
y
x
，以及一直線
mx
y
L
=
:
，
0
>
m
。
試回答下列問題：
15.
若直線 L 與圓 Γ 兩圖形恰交於一點，試求
m
值。
答：1
解：
(
)
(
)
2
3
1
:
2
2
=
−
+
−
Γ
y
x
、
0
:
=
−
y
mx
L
相切：
7
2
1
3
2
−
=
=
+
−
m
m
m
、1（取正，
0
>
m
）
16.
承
15.
，試求直線 L 與圓 Γ 的交點坐標。
答：
(
)
2
,
2
解：
(
)
(
)
2
3
1
:
2
2
=
−
+
−
Γ
y
x
、
0
:
=
−
y
x
L
相交：
2
0
8
8
2
2
=
=
=
+
−
y
x
x
x
17.
承
15.
，若直線 L 、圓 Γ 外部與 y 軸所圍成的封閉區域為 R ，
試求將 R 繞
x
軸旋轉一圈的旋轉體體積。
答：
2
3
3
38
π
π
−
8
解：
(
)
×
×
×
−
−
−
−
2
0
2
2
2
2
2
3
1
1
2
3
π
π
x
(
)
−
−
−
−
−
+
=
2
0
2
2
3
8
1
2
6
2
10
π
π
x
x
x
2
0
3
2
3
1
10
+
−
+
=
C
x
x
x
π
3
8
1
2
4
1
6
π
π
π
−
+
×
−
−
+
=
3
8
4
20
π
3
8
6
3
2
π
π
π
−
−
−
2
3
3
38
π
π
−
=