1
台中區高中 108 年(107 學年度)
高三上第一次學測模擬考數學(107-1)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題（占 60 分）
一、單選題（占 30 分）
1. 櫻桃家族成員有爺爺、奶奶、爸爸、媽媽、姐姐、小丸子，一家六口要去照相館拍全家
福照，有六張椅子排成一列供拍照者就坐，然而因前一晚某些爭吵導致爺爺與爸爸不相
鄰、爸爸與媽媽不相鄰、媽媽與姐姐不相鄰，請問攝影師有幾種安排座位的排法？
(1)132 (2)180 (3) 240 (4) 276 (5) 426 。
【108 中區學測模①】
答：(2)
解：
且媽姐相鄰
且爸媽相鄰
爺爸相鄰
且媽姐相鄰
爺爸相鄰
且媽姐相鄰
爸媽相鄰
或
且爸媽相鄰
爺爸相鄰
媽姐相鄰
或
爸媽相鄰
或
爺爸相鄰
任意排
媽、姊、丸
爺、奶、爸、
2
!
3
2
!
4
2
!
4
2
2
!
5
3
!
6
2
180
12
96
96
720
720
2. 擲一個公正的正四面體骰子（四面點數分別為
1
、
2
、 3 、
4
）二次，設第一次擲出點數
為 a ，第二次擲出點數為 b ，求直線 L ：
1
3
2
a
y
ax
與圓 C ：
2
2
2
b
y
x
相交的
機率為多少？
(1)
16
7 (2)
2
1 (3)
16
9 (4)
8
5 (5)
16
11 。
【108 中區學測模①】
答：(3)
解：相交滿足
b
a
a
4
1
3
2
4
,
3
4
,
3
4
,
3
4
,
3
,
2
9
.
2
20
13
7
.
2
13
10
4
.
2
8
7
7
.
1
5
4
4
1
3
4
3
2
1
2
b
a
a
a
機率：
16
9
4
4
2
2
2
3
3. 已知可行解區域為
37
3
4
30
2
5
0
0
y
x
y
x
y
x
， x 、
Z
y
，
如右圖，求目標函數
y
x
y
x
f
5
8
,
的最大值？
(1) 63 (2) 61 (3) 60 (4) 59 (5) 48 。
【108 中區學測模①】
2
答：(1)
解：
4. 求方程組
29
4
2
4
2
x
y
y
x
的所有解
y
x ,
中， x 值的總和為何？
(1) 8 (2)
2
(3) 0 (4)
2
(5) 8
。
【108 中區學測模①】
答：(2)
解：原式
29
4
4
4
4
16
8
29
4
2
4
2
2
x
x
x
x
x
x
（不合）
，則
當
（不合）
，則
當
5
,
5
0
25
4
1
,
7
0
7
8
4
0
4
4
9
4
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
5. 若遞迴數列〈
n
a 〉滿足
1
4
3
1
1
1
n
a
a
a
n
n
，則此數列第 51 項最接近下列哪一個數？
(1)
5
10
(2)
6
10
(3)
7
10
(4)
8
10
(5)
9
10
。
【108 中區學測模①】
答：(2)
解：
7
51
50
51
10
.
5
log
7531
.
0
7
2469
.
6
4
log
3
log
50
log
4
3
1
a
a
6. 小明參加國防課實彈射擊，一排10 個人，由右到左分別為
10
1 ～
號靶位，小明在
5
號靶
位，每位同學每發子彈射中自己靶位的機率
10
4
，射中右邊同學靶位的機率
10
3
（例如：
小明射中
4
號靶位），射中左邊同學靶位的機率
10
2
，完全沒射中的機率
10
1
，每人有
2
發子彈，射擊結束後，已知
5
號靶位上有
2
個彈孔，試問這
2
個彈孔均由小明射中的機
率為何？
(1)
8821
1296
(2)
20665
1296
(3)
55
16
(4)
8821
3136
(5)
20665
3136
。
【108 中區學測模①】
答：
(5)
.
9
,
.
2
7
65
,
7
16
9
,
2
7
,
3
5
,
4
11
,
1
12
,
0
30
2
5
y
x
37
3
4
y
x
k
y
x
5
8
27
5
,
4
59
7
,
3
61
9
,
2
63
11
,
1
60
12
,
0
5
8
,
y
x
y
x
並代入目標函數
找出其他格子點
再由階梯法
向內找格子點
先由
9
,
2
.
9
,
.
2
7
65
,
7
16
3
解：
20665
3136
330640
50176
48384
75264
129024
7056
20736
50176
50176
2
10
8
10
2
2
10
7
10
3
10
6
2
10
8
10
2
10
7
2
10
6
10
4
10
8
2
10
7
10
3
2
10
6
10
4
10
2
10
7
10
6
10
8
10
3
10
6
10
8
10
7
10
4
10
8
10
7
10
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
二、多選題（占 30 分）
7. 下列敘述何者正確？
(1)若 a 、 b 為異於 0 之實數，若
b
a
，則
b
a
1
1
(2)沒有實數 x 滿足
4
3
2
x
x
(3)若 a 、 c 為有理數， b 、 d 為無理數，且
d
c
b
a
，則
c
a
，
d
b
(4)
0
a
、
0
b
，則
b
a
b
a
(5)數線上
A
點坐標為 a ，
B
點坐標為 b ，滿足 PA：
m
PB
： n ，
則
P
點坐標為
n
m
mb
na
。
【108 中區學測模①】
答：(2)
解：(1)必須 a 、 b 同號才成立
(2)
5
3
2
x
x
恆成立，故
4
3
2
x
x
無解
(3)反例：
3
a
、
2
b
、
2
c
、
2
1
d
(4)應為：
0
a
、
0
b
，則
b
a
b
a
(5) P 點坐標應為：
n
m
mb
na
（內分點）或
n
m
mb
na
（外分點）
8. 坐標平面上，直線
k
y
（
0
k
）與函數
x
y
3
、
x
y
9
的圖形分別交於
A
、
B
兩點。
AB
d
k
代表
A
、
B
兩點的距離，下列何者正確？
4
(1)
6
1
d
(2)
2
1
3
d
(3) A
在
B
右側
(4)
3
d ，
9
d ，
27
d
三數成等差數列
(5)
k
d
k
9
log
。
【108 中區學測模①】
答：
(2)(4)
解：
(5)
k
k
A
,
log
3
、
k
k
k
d
k
k
B
k
9
9
3
9
log
log
log
,
log
(3)
當
1
k
，
A
在
B
右側。當
1
0
k
，
A
在
B
左側
(1)
0
1
log
9
1
d
(2)
2
1
3
log
9
3
d
(4)
2
1
3
log
9
3
d
、
1
9
log
9
9
d
、
2
3
27
log
9
27
d
，成等差數列
9.
設 50 筆資料
i
i
y
x ,
，
1
i
，
2
， 3 ，……， 50 ，平均數
60
x
，
60
y
，
x 與
y
的相關係數為 8
.
0 ，
y
對 x 的迴歸直線
L
過點
45
,
30
，下列何者正確？
(1)
迴歸直線斜率為 8
.
0
(2)
迴歸直線過點
50
,
40
(3)
x 的標準差大於
y
的標準差
(4)
若將 50 筆資料標準化，得到新數據
i
i
y
x
,
，則
y
對 x 的迴歸直線斜率為 8
.
0
(5)
若第 51 筆資料的
80
51
y
，則可用 50 筆資料的迴歸直線
L
預測
100
51
x
。
【108 中區學測模①】
答：
(2)(3)(4)
解：
(1)
迴歸直線斜率
2
1
30
60
45
60
m
(2)
迴歸直線
60
2
1
60
x
y
，過點
50
,
40
(3)
x
y
x
y
x
y
r
m
8
5
5
4
2
1
， x 的標準差大於
y
的標準差
(4)
資料標準化後新數據
i
i
y
x
,
，則
y
對 x 的迴歸直線斜率
8
.
0
r
(5)
由
y
對 x 的迴歸直線，只能以
i
x 預測
i
y
10.
請問下列選項何者正確？
(1)
2
30
11
2
20
1
10
k
k
k
k
(2)
1
1
1
1
1
k
k
k
k
n
k
n
k
n
k
(3)
n
m
mn
m
k
2
1
1
(4)
若
n
k
k
a
3
1
為等比數列，則
k
n
k
a
1
，
k
n
n
k
a
2
1
，
k
n
n
k
a
3
1
2
亦為等比數列
(5)
若 a 、 b 、 c 為等比數列，則 b 必不為 0 。
【108 中區學測模①】
答：
(1)(4)(5)
解：
(2)
無此規則
(3)
n
m
mn
m
mn
m
k
2
1
5
11.
設
3
2
2
5
2
3
x
x
x
x
f
，則下列敘述哪些正確？
(1)
0
3
x
f
恰有一個正實根
(2)
x
f
x
f
x
f
x
2
10
除以
1
x
的餘數為18
(3)
不等式
0
x
f
與
0
1
3
5
2
x
x
的解集合相同
(4)
0
12
log
16
f
(5)
若
ABC
中，
A
為鈍角且
A
sin
為
0
x
f
的一個有理根，
則
5
1
360
sin
270
sin
A
A
。
【108 中區學測模①】
答：
(2)(4)
解：由牛頓定理：
1
3
5
3
2
2
5
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
f
(1)
5
3
3
x
，恰有一個正實根
(2)
所求餘式
18
6
3
1
3
1
1
1
1
2
10
f
f
f
f
(3)
0
x
f
的解為
5
3
x
。
0
1
3
5
2
x
x
的解為
5
3
x
，但
1
x
(4)
5
3
89
.
0
2
log
4
3
log
2
log
2
12
log
16
，故
0
12
log
16
f
(5)
A
為鈍角且
5
3
sin
A
， 則
5
4
cos
A
故
5
1
sin
cos
360
sin
270
sin
A
A
A
A
12.
如右圖所示，等腰直角
ABC
中，
A
為直角，
6
,
0
A
，
B
， C 分別位於第二象限與第一象限，若直線
AB
與 x 軸
正向之夾角為
，且
5
1
cos
，斜邊 BC 之斜率為正
且與
y
軸交於點
3
8
,
0
D
，則下列敘述哪些正確？
(1) AB 直線方程式為
0
6
3
y
x
(2) BC 直線方程式為
0
8
3
y
x
(3) BA
CB
30
(4)若
y
x ,
為 ABC
內部及邊界上之任一點，則
y
x
3
的最大值為 6
(5) ABC
邊上有 9 個點與原點距離為整數。
【108 中區學測模①】
答：(2)
解：(1)
5
1
cos
，
6
,
0
A
，
故
2
tan
，
0
,
3
B
，
AB
：
0
6
2
y
x
(2)
A
為直角，則
AB
：
0
12
2
y
x
BC 的斜率為
0
m
0
,
3
E
12
2
y
x
8
3
y
x
4
,
4
C
2
,
2
6
2
y
x
6
3
1
2
1
1
2
1
4
tan
m
m
m
(3)
AB
、 BC 交於
2
,
2
B
，
AC 、 BC 交於
4
,
4
C
，
BA
CB
20
2
,
6
4
,
2
(4)
8
8
6
3
4
,
4
2
,
2
6
,
0
,
y
x
y
x
(5)
5
.
2
10
8
,
BC
O
d
，
則
ABC
邊上有
7
1
2
2
2
個點與原點距離為整數
第貳部分：選填題（占 40 分）
A. 有一透明建築物名為「超級圓」，從側面觀察形狀是個標準的半圓，如附圖，有一個小
舞台在圓心 O 點。今有兩工人要進行表面維修，分別站於
A
、
B
兩點，由
A
點看 O 點的
俯角為
'
20
23
，由
B
點看 O 點的俯角為
'
50
66
，已知
A
、
B
兩點之高度差為 370 公尺，
求 O 點到
A
點的距離為 公尺。（四捨五入至整數位）
參考數據
角度
sin
cos
'
00
23
0.3907 0.9205
'
10
23
0.3934 0.9194
'
20
23
0.3961 0.9182
'
30
23
0.3987 0.9171
'
40
23
0.0414 0.9159
'
50
23
0.4041 0.9147
【108 中區學測模①】
答： 707
解：
'
50
66
sin
r
'
20
23
sin
r
'
10
23
cos
r
'
20
23
sin
r
370
3961
.
0
9194
.
0
r
故
05
.
707
r
OB
OA
B. 設
1
x ，
2
x ，……，
20
x
是從
1
，
2
， 3 這三個數中重複取值所構成的數列，
若
110
2
20
2
2
2
1
x
x
x
，
296
3
20
3
2
3
1
x
x
x
，
則
1
x ，
2
x ，……，
20
x
這 20 筆資料的標準差
。
【108 中區學測模①】
答：
50
33
解：1 有 a 個， 2 有 b 個， 3 有 c 個
9
6
5
296
27
8
110
9
4
20
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
7
50
33
20
44
20
110
20
27
12
5
20
110
2
2
C.
ABC
中，
A
的內角平分線交
BC
於
D
，
5
BD
，
7
CD
，
60
ABC
，
求
AD
。
【108 中區學測模①】
答：
7
2
5
解：
A
的內角平分線交
BC
於
D
，
5
BD
，
7
CD
，故
t
AB
5
，
t
AC
7
，
ABC
中，
2
3
12
5
2
7
12
5
60
cos
0
2
2
2
t
t
t
t
t
ABD
中，
2
7
5
5
2
15
2
5
2
15
60
cos
2
2
2
AD
AD
D. 若 x 的一元二次方程式
0
3
log
2
log
3
3
2
a
x
a
x
有兩相異實根，
則 a 的範圍是 或 。
【108 中區學測模①】
答：
27
a
或
3
1
0
a
解：
0
3
log
2
log
2
3
3
2
a
x
a
x
有兩相異實根，
0
1
log
3
log
0
0
3
log
2
4
log
2
3
3
3
2
3
a
a
a
a
a
a
或
真數：
判別式：
27
a
或
3
1
0
a
E. 設
1
5
x
x
f
的圖形
交 y 軸於 A 點，且 上一點 B 在 x 軸正向的投影點為C ，
已知 ABC
的面積為
14
5
，若 B 點的 x 坐標落在正整數 n 與
1
n
之間，則
n
。
【108 中區學測模①】
答：11
解：
5
,
0
A
，
1
5
,
t
t
B
，
0
,
t
C
，
0
t
0
12
0
11
5
5
2
1
14
1
5
5
2
1
14
1
f
f
t
ABC
t
t
f
t
t
。由勘根定理知：
11
n
F. A 、 B 、 C 、 D 四人在足球場上踢球，將足球場坐標化後，這四人的位置分別對應的坐
標為
2
,
1
A
、
4
,
3
B
、
5
,
4
C
、
3
,
7
D
，球在 A 腳下，當 A 以秒速 2 公尺的速
度跑向 B 時，同一時間 C 以秒速
13
公尺的速度跑向 D ， B 、 D 不動，
A
要將球傳給
C ，試問 秒後有最短傳球距離。
【108 中區學測模①】
8
答：
13
3
解：
1
,
1
//
2
,
2
AB
、
2
,
3
CD
，
A
秒速
2
、 C 秒速
13
，故
t
y
t
x
A
2
1
、
t
y
t
x
C
2
5
3
4
，
13
225
13
3
13
18
6
13
3
3
2
3
2
2
2
2
t
t
t
t
t
AC
當
13
3
t
時，有最短距離
13
15
G.
如右圖，四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 相交於 E ，已知
AC
2
AB
3
AD，求
ABE
面積：
CDE
面積的比值
。
【108 中區學測模①】
答：
8
3
解：AC
2
AB
3
AD， B 、 D 、 E 共線。
故
5
3
5
2
AC
AF
AE
，且
5 AE
AC
（亦即：
4 AE
EC
）
令
t
ADE
2
、
t
ABE
3
、
t
CDE
8
、
t
CBE
12
ABE
面積： CDE
面積 3
：8
H.
現有 9 台不同的汽車，包含
1
台休旅車，
4
台轎車，
4
台小轎車，
其中小林夫妻有
1
台轎車及
1
台小轎車。停車場配置圖如右圖，
編號
2
、 3 停車位三種車型都能停，編號
1
、
4
、 6 、
7
、 8 只能
停轎車及小轎車，編號
5
、 9 只能停小轎車，小林夫妻的車子一
定要相鄰，試問這 9 台車有 種不同的停車方式。
【108 中區學測模①】
答： 3168
解：
576
!
3
1
2
!
2
8
,
7
,
6
,
4
4
3
2
3
4
,
3
2
,
1
其餘小轎車
之三
轎車在
休旅車在
休旅車在
小林車在
小林車在
P
1440
!
3
2
2
1
5
3
2,3
8
,
7
6
,
5
其餘小轎車
轎車
之一
休旅車在
小林車在
小林車在
P
1152
!
3
2
2
!
2
4
3
3
,
2
8
,
7
7
,
6
其餘小轎車
轎車在
之一
休旅車在
小林車在
小林車在
P
合計
3168
1152
1440
576
種