1
新竹區高中 112 年(111 學年度)高三上
學測模擬考（數 A）試題(翰林卷 111-E3)
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題
⼀、單選題
1.
當
(
)
y
x
P
,
在直線
5
2
3
=
+
y
x
上變動時，關於
y
x
Q
4
8
+
=
的敘述，
試問下列哪個選項是正確的？
(1) Q
有最大值 33 ，最小值
2
8
(2) Q
有最大值12 ，但沒有最小值
(3) Q
沒有最大值，但有最小值
2
8
(4) Q
沒有最大值，但有最小值12
(5) Q
沒有最大值也沒有最小值
答：
(3)
解：
2
8
2
2
2
2
2
2
2
5
2
3
2
3
=
=
⋅
≥
+
=
y
x
y
x
Q
2.
在平面上 A 、 B 、 C 、 D 四點中任意找三點組成三角形，已知AB
(
)
3
,
2
=
，
CB
(
)
4
,
2
−
=
，DC
(
)
2
,
3
=
，則其中最大三角形面積為多少？
(1)
8
(2)
9
(3)
11
(4)
14
(5)
16
答：
(1)
解：
令
(
)
0
,
0
A
，
(
)
3
,
2
B
，
(
)
1
,
4
−
C
，
(
)
3
,
1
−
D
7
1
4
3
2
2
1
=
−
=
∆ABC
，
2
11
3
1
1
4
2
1
=
−
=
∆ACD
2
9
3
1
3
2
2
1
=
−
=
∆ABD
，
8
2
9
2
11
7
=
−
+
=
∆BCD
(
Max
)
3.
設
n
a
為等差數列，若對所有的正整數 n ，點
(
)
n
n
b
a
,
皆在
x
y
3
=
的圖形上，
且點
9
13
81
1
,
b
a
亦為
x
y
3
=
圖形上的一點，則此等差數列的公差為多少？
(1)
3
−
(2)
2
−
(3)
1
−
(4)
0
(5)
1
答：
(3)
解：
(
)
=
n
a
n
n
n
a
b
a
3
,
,
x
a
y
d
a
b
a
3
3
81
1
,
4
81
1
,
9
9
9
13
=
∈
×
+
=
d
d
a
a
4
4
4
3
3
3
3
81
1
9
9
=
=
=
×
−
+
1
−
=
d
2
4.
右圖為一個以
3
=
AB
為直徑的圓，若 Q 為圓周上的動點，
試求
BQ
AQ
3
4
+
的最大值為多少？
(1)
10
(2)
15
(3)
2
5
(4)
2
10
(5)
2
15
答：
(2)
解：
令
Q
QAB
=
∠
，而
°
=
∠
90
AQB
，
3
=
AB
(
)
(
)
15
sin
3
3
cos
3
4
3
4
≤
+
=
+
θ
θ
BQ
AQ
5.
有一組皆為整數的8 筆資料，其中最大的數值為 2022 ，資料的全距為12 ，
則此組資料的變異數最小可能值為多少？
(1)
36
(2)
25
(3)
16
(4)
9
(5)
4
答：
(4)
解：
12
,
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
0
的標準差
(
)
3
36
36
8
1
=
+
二、多選題
6.
下表是臺灣在 2017 年至 2022 人的人口相關統計資料，
試根據此統計資料選出正確的選項。
(1)
從 2017 年至 2022 年的男性人口數逐年遞減
(2)
就 65 歲以上人口數而言， 2022 年比 2017 年增加不到100 萬人
(3)
從 2020 年至 2022 年的死亡人數皆高於出生人數
(4)
從 2017 年至 2022 年的
14
0
～ 歲人口數和西元年分為負相關
(5)
扶老比的定義為 65 歲以上人口數除以
64
15
～
歲人口數的百分比，則從 2017 年至 2022
年的扶老比逐年遞增
答：
(2)(3)(4)(5)
解：
(1)
×：
2021
年男性人口數低於
2022
年男性人口數
(2)
○：就
65
歲以上人口數而言，
2022
年比
2017
年增加
868
千人 86.8
=
萬人
< 100
萬人
(3)
○：
2020
年起的死亡人數都高於出生人數
(4)
○：
2017
年至
2022
年
14
~
0
歲人口數逐年降低，
3
西元年分逐年增加，所以兩者呈負相關
(5)
○：扶老比
歲歲歲歲
歲歲歲歲歲歲
64
~
15
65
=
，因
65
歲以上人口數逐年遞增，
而
64
~
15
歲人口數逐年遞減，所以扶老比逐年遞增
7.
如圖，一等腰 ABC
∆
，
13
=
=
AC
AB
，
10
=
BC
， D 為 ABC
∆
內部一點，
CD
BD
⊥
，
8
=
BD
， AH 為 BC 上的高，試選出以下正確的選項。
(1)
ABC
∆
的外接圓半徑為
24
169
(2)
ABD
∆
的面積為
5
132
(3)
5
269
=
2
AD
(4)
BD
⋅
BC
<
BA
⋅
BC
(5)
AH
⋅
BD
48
−
=
答：
(1)(2)(3)
解：
(
)
0
,
0
H
，
(
)
0
,
5
−
B
，
(
)
0
,
5
C
，
(
)
12
,
0
A
，
5
24
,
5
7
D
(1)
外心
(
)
t
,
0
半徑
2
2
5
12
+
=
−
=
t
t
24
119
=
t
(2)
2
1
=
∆ABD
||
BA
BD
||
5
132
5
24
5
32
12
5
2
1
=
=
(3)
5
269
25
1345
5
6
3
5
7
2
2
2
=
=
+
=
AD
(4)
應為BD
⋅
BC
>
BA
⋅
BC
(5)
AH
⋅
BD
(
)
5
288
5
24
,
5
32
12
,
0
−
=
⋅
−
=
8.
已知
( )
x
x
x
x
f
10
3
2
3
+
−
−
=
的對稱中心與另一實係數二次函數
( )
x
g
的頂點重合，
且
( )
11
0
−
=
g
，試選出以下正確的選項。
(1)
( )
x
f
的圖形與 x 軸恰交於一點
(2)
( )
x
g
除以
1
−
x
的餘式為 8
−
(3)
( )
0
≤
x
g
的整數解一共有 6 個
(4)
令
( )
( )
( )
x
g
x
f
x
h
−
=
，則
( )
x
h
可被
1
−
x
整除
(5)
( )
x
f
在
1
−
=
x
附近的一次近似為
1
13
+
=
x
y
答：
(2)(5)
解：
( )
(
)
(
)
12
1
13
1
3
−
+
+
+
−
=
x
x
x
f
，對稱中心
(
)
12
,
1
−
−
( )
(
)
( )
1
12
1
11
0
2
=
→
−
+
=
−
=
a
x
a
x
g
g
(1)
( )
(
)(
)
2
5
−
+
−
=
x
x
x
x
f
(2)
( )
8
1
−
=
g
(3)
( )
0
≤
x
g
⋯
⋯
46
.
2
46
.
4
3
2
1
3
2
1
≒
≒
+
−
≤
≤
−
−
−
x
→
∈ Z
x
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
,
4
−
−
−
−
=
x
(4)
( )
( )
( )
(
)
+
−
−
+
=
+
+
−
−
=
−
=
11
3
1
11
8
4
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
g
x
f
x
h
4
(5)
所求一次近似
(
)
12
1
13
−
+
=
x
y
9.
已知
( )
d
x
x
x
f
+
+
+
=
6
2
cos
2
2
sin
2
π
，其中 d 為實數，已知
( )
x
f
的最小值為 5
− ，
試選出以下正確的選項。
(1)
3
−
=
d
(2)
( )
x
f
的最大值為 5
(3)
( )
x
f
的週期為
π
4
(4)
( )
x
f
y
=
的圖形與
2
−
=
y
的圖形在區間
[
]
π
,
0
有兩個交點
(5)
已知
(
)
b
a ,
在
( )
x
f
的圖形上，則
−
b
a ,
3
π
也在
( )
x
f
的圖形上
答：
(1)(4)
解：
( )
d
x
x
x
x
f
+
⋅
−
⋅
+
=
2
1
2
sin
2
3
2
cos
2
2
sin
2
d
x
d
x
x
+
+
=
+
+
=
3
2
sin
2
2
cos
3
2
sin
π
(1)(2)
5
2
−
=
+
−
=
d
Min
3
−
=
d
，
1
2
−
=
+
=
d
Max
(3)
週期
π
π
=
×
2
1
2
(4)
當
2
3
3
2
sin
2
−
=
−
+
π
x
2
1
3
2
sin
=
+
π
x
，有
2
解
(5)
對稱軸應為
2
12
π
π
n
+
10.
如圖， ABCDE 五點所圍出的封閉區域為 Ω ，其中
(
)
1
,
0
A
、
(
)
3
,
4
B
、
(
)
1
,
8
C
、
(
)
7
,
4
D
、
(
)
9
,
0
E
，且 A 、 B 、 C 三點在圓
Γ
上，
試選出以下正確的選項。
(1)
封閉區域 Ω 為
(
)
(
)
≤
+
≤
+
≥
+
+
−
26
2
3
18
2
25
2
4
2
2
y
x
y
x
y
x
(2)
設 L 為過圓
Γ
上 C 點之切線，則 D 、 E 兩點在 L 的異側
(3)
封閉區域 Ω 的面積 40
<
(4)
設 P 為區域 Ω 內一點（含邊界），則 P 點到直線
40
3
4
−
=
− y
x
的最短距離為 3
(5)
設
(
)
b
a
Q
,
為區域 Ω 內一點（含邊界），則
(
)
(
)
2
2
6
4
−
+
+
b
a
的最大值為13 。
答：
(2)(3)(5)
解：
過
C
B
A
,
,
之圓
0
2
2
=
+
+
+
+
f
ey
dx
y
x
(
)
(
)
(
)
5
4
8
65
8
1
,
8
25
3
4
3
,
4
1
1
,
0
−
=
=
−
=
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
+
f
e
d
f
e
d
C
f
e
d
B
f
e
A
過
過
過
圓
0
5
4
8
2
2
=
−
+
−
+
y
x
y
x
(
)
(
)
25
2
4
2
2
=
+
+
−
y
x
26
2
3
:
=
+
y
x
CD
，
18
2
:
=
+
y
x
DE
5
(1)
應為
(
)
(
)
≥
≤
+
≤
+
≥
+
+
−
0
26
2
3
18
2
25
2
4
2
2
x
y
x
y
x
y
x
(2)
過C 切線：
(
)
(
)
0
5
1
2
8
4
8
=
−
+
+
+
−
+
y
x
y
x
即
(
)
(
)
(
)
8
9
,
0
2
7
,
4
35
3
4
35
3
4
,
−
=
=
→
=
+
−
+
=
f
f
y
x
y
x
y
x
f
令
(3)
ACDE 面積
40
1
9
7
1
1
0
0
4
8
0
2
1
=
=
Ω
面積 40
<
(4)
(
)
(
)
5
13
0
40
3
4
,
9
,
0
=
=
+
− y
x
E
d
(5)
所求
(
)
(
)
(
)
13
1
,
8
,
6
,
4
=
−
=
C
d
Max
11.
右圖是高雄流行音樂中心在高音塔建築外觀的平面示意圖。
在假設圖中每個小正三角形的邊長為1的前提下，
請選出正確的選項。
(1)
°
=
∠
90
CAB
(2) AB
在
AC
上的正射影為
4
1
−
AC
(3)
|
|
AB
t
+ AC
的最小值為
2
11
(4)
若
AP
5
3
=
PC
5
4
+
PB
，則 P 在
ABC
∆
的內部
(5)
承
(4)
，若
AP
5
3
=
PC
5
4
+
PB
，
則
APC
∆
的面積
ABC
∆
⋅
=
4
1
的面積
答：
(2)(3)(4)
解：
(1)
(
)
0
,
0
A
，
(
)
3
3
,
2
−
B
，
(
)
3
,
3
C
AB
⋅ AC
3
9
6
−
=
−
=
(2) AB
在
AC
上的正射影
×
×
−
×
=
12
31
9
6
31
12
1
AC
4
1
−
=
AC
(3)
|
AB
t
+
AC
|
(
)
t
t
3
3
3
,
3
2
+
−
+
=
(
)
(
)
2
2
3
3
3
3
2
t
t
+
−
+
+
=
2
11
4
121
4
1
12
2
≥
+
−
=
t
(4) AP
5
3
=
AC
− AP
5
4
+
AB
− AP AP
3
1
=
AB
4
1
+
AC
ABC
P
∆
∈
內部
(5) AP
12
7
=
[
7
4
AB
7
3
+
AC
]
ABC
ACP
∆
×
=
∆
7
4
12
7
6
三、選填題
12.
曉明自製了一組共
21
張的卡牌，其中紅色、黃色和藍色的卡牌各有
7
張，每種顏色的卡
牌上各標記了
1
到
7
號。將這
21
張卡牌隨機弄混順序以後，同時取出三張卡牌。假設每
張卡牌被取出的機率相等
，則這三張卡牌上的號碼為連續三整數的機率是
。
（化為最簡分數）
答：
266
27
解：
266
27
1330
27
5
3
5
21
3
3
567
,
456
,
345
,
123,234
=
×
=
×
C
13.
如圖， ABCD 為⼀圓內接四邊形，其中
AB
為直徑，
AC
為 DAB
∠
的角平分線，若
6
=
AD
，
8
=
DB
，
則
=
CD
。（化為最簡根式）
答：
5
2
解：
(
)
5
1
2
10
6
1
2
cos
1
2
1
sin
sin
=
−
=
∠
−
=
∠
=
∠
BAD
BAD
CAD
AB
CAD
CD
=
∠
sin
5
2
10
5
1
=
×
=
CD
14.
如上所示
，設
n
a
表示
n
n
×
方格內數字的總和且
( )
n
f
a
a
n
n
+
=
−1
，
則
( )
=
−
6
7
f
a
。
答：
202
解：
( )
(
)
(
)
(
)
[
]
1
2
7
5
3
2
1
7
5
3
2
1
5
3
2
1
3
2
1
1
1
3
4
2
3
1
2
1
−
+
+
+
+
×
+
+
=
+
+
×
+
+
=
+
×
+
+
=
×
+
+
=
=
−
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
⋯
相加：
−
+
=
−
1
2
2
1
n
a
a
n
n
7
(
)(
)
(
)(
)
=
+
−
=
−
+
+
×
=
−
=
n
k
n
n
n
n
n
n
n
n
k
a
1
2
3
2
1
2
6
1
2
1
2
1
2
所求
202
71
273
1
6
2
3
9
13
7
2
=
−
=
−
×
−
×
×
=
15.
已知 ABCD 為平面上⼀凸四邊形，此四點的極坐標表示法分別為
[
]
0
,
0
A
、
[
]
α
,
4
B
、
[
]
0
,
19
2
C
、
[
]
β
,
4
D
，其中
2
0
π
α
≤
≤
，若
3
2
π
=
∠ABC
且
3
π
=
∠BAD
，
則 ACD
∆
的面積為 。（化為最簡根式）
答：
3
4
解： ABC
∆
中，
(
)
BC
BC
×
×
−
+
=
°
4
2
19
2
4
120
cos
2
2
2
6
=
BC
(
)
(
)
19
2
7
19
2
4
2
6
19
2
4
cos
2
2
2
=
×
×
−
+
=
∴
α
，
19
2
3
3
sin
=
α
(
)
19
3
19
2
3
3
2
1
19
2
7
2
3
60
sin
sin
=
×
−
×
=
−
°
=
β
β
ACD
∆
面積
3
4
19
3
19
2
4
2
1
=
×
×
×
=
解：
°
=
∠
60
BCD
，
°
=
∠
120
ABC
BC
AD //
ACB
CAD
∠
=
∠
由正弦定理：
ACB
AB
AC
∠
=
°
sin
120
sin
19
3
sin
=
∠
ACB
ACD
∆
面積
CAD
AD
AC
∠
×
×
×
=
sin
2
1
3
4
19
3
4
19
2
2
1
=
×
×
×
=
16.
某科技大廠預計在年終尾牙舉辦加碼抽年終獎金的活動
，規則如下：
抽獎者丟擲一次各面點數為
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
的公正骰子，按照骰子擲出的數字，
讓動點 P 在 xy 平面上移動，假設 P 從原點出發，
(1)
若骰子出現的數字為偶數
，則動點 P 向右移動⼀個單位，
如為奇數則向左移動⼀個單位。
(2)
若骰子出現的數字為質數
，則動點 P 向上移動⼀個單位，
如為非質數則向下移動⼀個單位。
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
A
時，可獲得加碼的年終獎金
9000
元，
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
−
B
時，可獲得加碼的年終獎金
6000
元，
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
−
−
C
時，可獲得加碼的年終獎金
3000
元，
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
−
D
時，可獲得加碼的年終獎金
0
元，
則抽獎者參與遊戲⼀次可獲得額外加碼的年終獎金期望值為
元。
8
答：
4000
解：
故
(
)
6
1
=
點
移移A
P
；
(
)
6
2
=
點
移移B
P
；
(
)
6
1
=
點
移移C
P
；
(
)
6
2
=
點
移移D
P
；
因此期望值
4000
0
6
2
3000
3
1
6000
6
2
9000
6
1
=
×
+
×
+
×
+
×
=
17.
曉東想利用圓內接正六邊形及其正六角星製造出一美麗徽章
，如圖
(
四
)
所示，其方法為：
(1)
畫出第一個正六角星，並將其塗成黑色，如圖
(
一
)
。
(2)
畫出第二個正六角星，並將其塗成白色，如圖
(
二
)
。
(3)
畫出第三個正六角星，並將其塗成黑色，如圖
(
三
)
。
(4)
畫出第四個正六角星，並將其塗成白色，如圖
(
四
)
。
已知此徽章的半徑為 6 公分，則此徽章黑色部分的面積為 平方公分。
（化為最簡根式）
答：
3
3
80
解：
由半徑 6
=
知
3
2
=
AB
利用
°
−
°
−
°
90
60
30
直角三角形的邊⻑比關係
骰子擲出的點數
x
坐標
y 坐標
移動至
1
1
−
1
−
C 點
2
1
1
A 點
3
1
−
1
D 點
4
1
1
−
B 點
5
1
−
1
D 點
6
1
1
−
B 點
9
知
2
=
BC
、
3
3
2
=
CD
〈解法⼀〉
圖
(
二
)
的黑色部分面積為
3
24
6
2
3
2
2
2
1
=
×
×
×
×
觀察其比例關係知：
圖
(
四
)
中增加的黑色部分面積為圖
(
二
)
的黑色部分面積的
9
1
2
=
AB
CD
倍
故圖
(
四
)
中增加的黑色部分面積為
3
3
8
9
1
3
24
=
×
故面積和為
3
3
80
3
3
8
3
24
=
+
平方公分
〈解法二〉
第⼀個正六角星的面積
12
=
個小正三角形的面積
(
)
3
36
3
2
4
3
12
2
=
×
×
=
觀察其比例關係知：
第二個正六角星的面積
=
第⼀個正六角星的面積的
3
1
2
=
AB
BC
倍
故黑色部分的面積為
3
3
80
27
1
9
1
3
1
1
3
36
=
−
+
−
平方公分
第貳部分：混合題或非選擇題
18-19
題為題組
國家發展委員會於 2022 年 3 月正式公布「臺灣 2050 淨零排放路徑及策略總說明」，其
中的運輸項目提到預計在 2040 年電動車及電動機車市售比達
%
100
。因此政府近幾年皆有提
供電動機車的購買補助。滿18 歲的曉高為了響應淨零排放的行動，於今年8 月時購買了一臺
電動機車，電動機車與一般機車的使用習慣不同，主要的差異有兩點：
(1)
一般機車的動力來源是無鉛汽油，而電動機車的動力來源是電池。當電池沒電的時候需
至電池交換站換取新電池，電池交換站常設在加油站、便利商店外。
(2)
電池資費的計價方式是根據騎乘公里數的多寡來做選擇。
試根據以上資訊，回答下列問題：
18.
曉高目前的電池資費為甲方案，根據過去這幾個月的騎乘經驗，他每個月騎乘的里程都
10
超過300 公里且少於 600 公里，試問：依據下述資費方案，當曉高每個月騎乘的里程超過
公里時，選擇⼄方案會較甲方案划算。
資費方案
甲
乙
丙
預選里程
300
0
～
公里
600
0
～
公里
不限里程
月繳金額
500
元
800
元
1200
元
額外里程
超過
300
公里每公里
5
.
2
元
超過
600
公里每公里
5
.
1
元
無
答：
420
解：
120
5
.
2
500
800
=
−
選擇甲方案騎乘的里程至
420
公里時，須繳金額為
800
元
所以曉高騎乘的里程若超過
420
公里，建議改選擇⼄方案較划算
19.
曉高想要交換 2 顆滿格的電池，根據 APP 搜尋，
來到⼀個共有 24 個插槽的電池交換站，看到有
2
個空插槽且其餘的 22 個插槽皆放了滿格電池，
如圖所示。交換電池的步驟如下：
(a)
將兩顆沒電的電池放入空插槽中
(b)
認證與上傳里程資料後，交換站會同時彈出兩顆電池
(c)
將兩顆滿格電池再放回車廂
則曉高在此次換電池的過程中，同時彈出的兩顆電池在不同行且不同列的情況有多少種？
答：
151
種
解：
原本兩個空插槽為剛放入的低電量電池，所以不會彈出來需避開
所以可以分情況討論：
○
1
兩顆電池由列
3
且列
4
彈出：
30
5
6
=
×
○
2
一顆電池由列
1
或列
2
彈出，另一顆電池由：列
3
或列
4
彈出：
11
2
1
C
×
2
1
C
×
5
+
2
1
C
×
4
×
2
1
C
×
5
100
=
其餘 5 行行 1
列 3 列 4 行 1
行 1356 行 1
列 1 列 2 行 1
其餘 5 行行 1
列 3 列 4 行 1
一一一(2,2)或(1,4)彈彈
○
3
兩顆電池有列
1
且列彈出
4
×
4
+
1
×
5
21
=
列 2 一行 12356 行 1
列 1 行 4
列 2
列 1 一行 1356 行 1
○
1
+
○
2
+
○
3
151
=
(
種
)
解：全部
−
同行或同列
)
(
151
2
2
2
4
5
2
6
2
3
2
4
2
22
2
種
同行
同行
=
×
+
×
−
×
+
×
−
C
C
C
C
C
解：不同行且不同列
−
不同行且不同列且選中
(
)
2
,
1
−
不同行且不同列且選中
(
)
4
,
2
+
不同行且不同列且選中
(
)
2
,
1
及
(
)
4
,
2
1
15
15
2
15
24
+
−
−
×
=
151
=
(
種
)
解：○
1
(
)
2
,
1
，
(
)
4
,
2
無法彈出
○
2
若其中一顆彈出位置在
(
)
1
,
1
，
(
)
3
,
1
，
(
)
5
,
1
，
(
)
6
,
1
，
(
)
1
,
2
，
(
)
3
,
2
，
(
)
5
,
2
，
(
)
6
,
2
，
(
)
2
,
3
，
(
)
4
,
3
，
(
)
2
,
4
，
(
)
4
,
4
，共
12
種情況，
則另一顆剩
14
格可彈出：
168
14
12
=
×
○
3
若其中一顆彈出位置在
(
)
2
,
2
，
(
)
4
,
1
此
2
種情況，
則另一顆剩
15
格可彈出：
30
5
1
2
=
×
○
4
若其中一顆彈出位置在
(
)
1
,
3
，
(
)
3
,
3
，
(
)
5
,
3
，
(
)
6
,
3
，
(
)
1
,
4
，
(
)
3
,
4
，
(
)
5
,
4
，
(
)
6
,
4
，共
8
種情況
則另一顆剩
13
格可彈出：
104
13
8
=
×
○
1
+
○
2
+
○
3
+
○
4
302
=
但因為不分先後順序，故將排列數除掉為
151
2
302
=
(
種
)