1
新竹
新竹
新竹
新竹區
區
區
區高中
高中
高中
高中 111 學年度
學年度
學年度
學年度學測
學測
學測
學測模擬考
模擬考
模擬考
模擬考(數
數
數
數 B)試題
試題
試題
試題(111-E3)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 35 分
分
分
分)
1. 試問有多少組整數數對
( , )
a b
滿足
| 3
2
2 |
|
3 | 1
a
b
b
+
−
+
+
=
？
(1) 0
組
(2) 1
組
(3) 2
組
(4) 3
組
(5) 4
組
2.
令
160
100
70
2
,
3 ,
5
a
b
c
=
=
=
，請選出正確的大小關係。
(1)
a
b
c
>
>
(2)
a
c
b
>
>
(3)
b
a
c
>
>
(4)
b
c
a
>
>
(5)
c
a
b
>
>
3.
直角坐標平面上，以原點 O 為極點，x 軸的正向為極軸，建立極坐標系。今若點 A 的極
坐標為
[36, ]
A
θ
，其中廣義角
θ
為第二象限角且
1
sin
4
θ
=
，則直線 OA 的斜率為下列哪一
個選項？
(1) 3 (2)
3
−
(3)
1
15
(4)
1
15
−
(5)
1
3
−
4.
己知兩實數
a、b，若
(1, )
(3, )
A
a
B
b
、
兩點對直線
y
x
=
的對稱點分別為
A′
、
B′
，且
A′
、
B′
均在對數函數
2
log
y
x
=
的圖形上。試問下列何者是梯形
ABB A
′ ′
的高？
(1) 5 (2) 5 2 (3) 4 (4) 4 2 (5) 3
5. 設一組數據自小而大為
1
2
111
,
,
,
x x
x
⋯⋯
。已知這組數據的算術平均數為 28，標準差為 10。
若這組數據的
32
36
40
44
,
,
,
x
x
x
x
其標準化數值依序為
0.9
0.7
0.5
0.3
−
−
−
−
、
、
、
，則下列哪一個選
項中的數值最接近原數據
1
2
111
,
,
,
x x
x
⋯⋯
的第 30 百分位數？
(1) 21 (2) 22 (3) 23 (4) 24 (5) 25
6. 讀外文系的小鎧為了訓練記憶單字的能力，今天(第 l 天)先背 20 個英文單字，且之後的
每天要比前一天多背某固定數量個英文單字，目標是第 50 天可背完一本 7000 個英文單
字的單字書。如果小鎧沒有違背承諾的話，則小鎧最少從第幾天開始，每天要背超過 199
個英文單字？ (1) 第 35 天 (2) 第 37 天 (3) 第 39 天 (4) 第 41 天 (5) 第 43 天
7. 實數
0,
0
a
b
>
<
，則二元一次聯立不等式
0
0
ax by
bx
ay
+
≥
−
≤
的所有解可能為下列哪個選項所示的
區域？
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題
(
占
占
占
占
25
分
分
分
分
)
8. 設
a
為實數，函數
2
2
( )
4
f x
ax
ax
a
=
+
+
的最小值為
k
，試問下列哪些
a
值能使得 ( )
f x
為二
次函數且滿足
3
5
k
− ≤
≤
？ (1)
1
a = −
(2)
0
a =
(3)
1
a =
(4)
2
a =
(5)
3
a =
9. 將三次函數
3
2
( )
2
12
27
23
y
f x
x
x
x
=
=
−
+
−
的圖形平移，使其對稱中心平移至點 ( 1,1)
−
。設
平移後得到的三次函數為
3
2
( )
2
y
g x
x
bx
cx
d
=
=
+
+
+
，試問下列哪些選項正確？
(1)
21
b
c
d
+
+
=
(2)
( )
y
g x
=
的圖形和
x
軸只有一個交點
RB306
2
(3)
( )
y
g x
=
在
1
x = −
附近的一次近似為
3
4
y
x
=
+
(4) 「
( )
y
g x
=
在
1
x = −
附近的一次近似圖形」平行「
( )
y
f x
=
在
2
x =
附近的一次近似
圖形」
(5) 「
( )
y
g x
=
在
1
x = −
附近的一次近似圖形」和「
( )
y
f x
=
在
1
x = −
附近的一次近似圖
形」相交於一點
10.設某一個以
(3,1)
K
為圓心的圓和直線
L
相切於 (7, 6)
A
，請問下列哪些選項的敘述是正確
的？ (1) 直線
AK
和此圓相交於 (7, 6)
A
及 (1, 4)
B
(2)
L
的斜率為
4
5
−
(3)若
(10, 8)
AP
=
−
，則
P
在
L
上 (4)若
P
在
L
上且
P
A
≠
，則|
2022
| |
111
|
KA
AP
KA
AP
−
>
+
(5) 若點
P
，
Q
在
L
上且
6
PQ =
，又點
C
在此圓上，則△
PQC
面積的最大值為 3 41
11.如圖(一)，用三個邊長為 1 且有三邊重疊的正六邊形來組成一個凹多邊形，把這個凹多邊
形當作基本元件，將它適當地平移到一些不同的位置，像玩
拼圖那樣子互相拼接(沒有縫隙且不重疊)，就可以得到某些
凹多邊形圖案，圖(二)為其中一個例子(此兩圖中的
O
，
P
，
Q
，
R
，
A
，
B
，
C
，
D
，
E
皆為正六邊形的某些頂點)。
請問下列哪些選項的敘述正確？
(1)
0
OP OQ OR
+
+
=
(2)
2
2
AD
OP
OR
=
−
(3)
0
AD AE
⋅
=
(4) △ABC 為正三角形
(5) 可以把圖(一)的凹多邊形適當地平移到一些不同的位置而互相拼接(沒有縫隙且不重疊)
出一個凹 2022 邊形
12.某手搖飲連鎖店熱烈推出甲，乙兩款招牌飲料，並在七夕情人節時調查這兩款飲料的銷
售情形。志明分別以 X 杯、Y 杯表示甲、乙兩款飲料的銷售量，並統計旗下某 10 個店面
的銷售量，得到 X，Y 的 10 組數據為
1
1
2
2
10
10
( ,
) ( ,
)
(
,
)
x y
x y
x
y
⋯⋯
，
，
，
。志明先算出 X、Y 的算
術平均數分別為 123、76，而 X、Y 的標準差分別為 42、28。接著，他畫出如右所示之散
布圖(其中 X 軸，Y 軸的單位長度相等)，並根據此圖得到 X，Y 的相關係數為 0.98。可是
後來檢查，懊惱地發現，急著趕赴情人節約會的他，竟把 Y 的 10 個數據的順序弄顛倒！
右圖中的 10 個點，由左而右，其實是
1
10
2
9
10
1
( ,
) ( ,
)
(
,
)
x y
x y
x
y
⋯⋯
，
，
，
，於是相關係數也被迫
要重新計算才行；除此之外他沒有犯其他錯誤。根據上述，請問下列哪些選項的敘述正
確？ (l) X，Y 負相關 (2) Y 對 X 的最適直線通過點 (123, 76)
(3) Y=1056 時，可估計
1377
X = −
(4)
2
2
2
2
2
2
1
2
10
1
2
10
(
99)
(
99)
(
99)
(
123)
(
123)
(
123)
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
+
−
>
−
+
−
+
+
−
⋯
⋯
(5) 若已知此連鎖店的某一家店面在七夕情人節共賣出 134 杯甲飲料，則可估算這家
店面當天的甲、乙兩款飲料的總銷售量不超過 210 杯
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題
(
占
占
占
占
25
分
分
分
分
)
13.設某圓以
( 2, 3)
K −
為圓心且被直線 2
9
0
x
y
+
−
=
截出一條長度為 10 的弦，則這個圓的外切
正方形面積為 。
14. 如右圖，C 在 BD 上，
2 2
cos
3
B =
，
6,
3
AB
AC
AD
=
=
=
，
則△ACD 的外接圓半徑為 。 (化為最簡分數)
3
15.媽媽買車輪餅給 4 個小孩，不過老闆準備要收攤了，只剩 3 個奶油口味、3 個紅豆口味和
2 個芋頭口味。礙於媽媽不想讓小孩吃太多車輪餅，所以打算從剩下的口味中任選 4 個，
分給每個孩子一人 l 個，則媽媽有 種分配方法。
16.有一箱子，箱中有 2 顆白球與 2 顆紅球。有一遊戲，從箱中一次取一球，取後不放回，
持續取球至 2 顆紅球皆被取出時停止遊戲。假設每次取球時，還在箱中的每一顆球被取
出的機會皆相同。若第 k 次取球時取出紅球，就可獲得金額 (4
) 100
k
−
×
元，將兩次取到
紅球時所獲得的金額加總即為參加遊戲的獎金。試問參加遊戲的獎金期望值為
元。
17.某銀行推出青年成家方案，針對首購族群提供年利率 1.32%的房屋貸款利率，按月複利計
息，且利率升降方式配合中央銀行升降息調整。某日金龍利用該方案向該銀行貸款 1000
萬元，每月還款相同金額，分 20 年還清。但在尚未還款時中央銀行突然宣布年利率升息
0.24%(即年利率變為 1.56%)。若金龍不想延長貸款年限，請幫金龍計算升息後每月還款
金額增加 萬元。(四捨五入至小數點後第二位)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題
(
占
占
占
占
15
分
分
分
分
)
18-20 題為題組
根據聲學理論，物體的振動會引起介質有週期性的振動，使周圍的空氣產生疏密變化，
進而形成聲音。當介質某處的振動量 y 隨時間 x 呈現週期性變化時，我們稱此週期函數為聲
波函數。
在聲波函數中，「頻率」為「週期」的倒數，例如：若聲波函數的週期為
1
440
秒，則每 l
秒鐘恰含 440 個週期，於是頻率為 440Hz(赫茲)。另外，已知聲音每提高 1 個 8 度(例如，從
一個 Do 音提高到下一個較高的 Do 音)，頻率就恰好增加為 2 倍。
18. 設聲波函數 ( )
5sin 2
4
3
f x
x
π
=
+
+
的最大值為 M，最小值為 m，請問下列哪些選項的敘
述正確？ (多選題，5 分) (1)
12
M
f
π
=
(2) 若
0
( )
f x
m
=
，則
0
7
12
x
π
=
(3)
4
2
M
m
+
=
(4)
( )
f x 的振幅為
10 (5)
( )
f x 的週期是函數
( )
sin
g x
x
=
週期的 2 倍
19. 明朝的學者朱載堉研創了「十二平均律」 ，他在相差 1 個 8 度的兩個聲音之間插入另外
11 個聲音，使這 13 個聲音的頻率形成等比數列。現在假設，由低而高，有 13 個聲音的
頻率形成等比數列且最高音比最低音提高 1 個 8 度，又設第 l 個聲音(即最低音)的聲波函
數為
sin(
)
y
ax
=
，而第 10 個聲音的聲波函數為
sin(
)
y
bx
=
，其中的常數 a，b > 0。
試求
2
log
b
a
之值。(非選擇題，5 分)
20. 根據報導，美國的太空總署(NASA)從觀測的數據分析出英仙座的黑洞發出一種約比鋼琴
的中央 C 音低了 57 個 8 度的聲音。今設甲聲音及乙聲音的聲波函數分別為
440 sin(
1000)
y
cx
=
+
及
3
4.40 10 sin(
1000)
y
dx
=
×
+
，其中的常數 ,
0
c d >
。若甲聲音比乙
聲音提高 57 個 8 度，則
c
d
的整數部分是幾位數？ (非選擇題，5 分)
4
RB306
新竹
新竹
新竹
新竹區
區
區
區高中
高中
高中
高中 111 學年度
學年度
學年度
學年度學測
學測
學測
學測模擬考
模擬考
模擬考
模擬考(數
數
數
數 B)試題
試題
試題
試題(111-E3)
參考答
參考答
參考答
參考答案
案
案
案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1.
(3)
2.
(5)
3.
(4)
4.
(4)
5.
(1)
6.
(2)
7.
(2)
8.
(3)(5)
9.
(1)(2)(3)(4)(5)
10.
(2)(3)(4)
11.
(1)(3)(4)
12.
(1)(2)(4)(5)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
13.
180
14.
9
4
15.
70
16.
300
17.
0.11
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：
18.
(1)(3)
19.
3
4
20.
18