1
全國高中 111 年(110 學年度)高三上
第三次學測模擬考 數 A 試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題
一、單選題
1. 請問滿足絕對值不等式
x
x
3
2
的實數 x 所形成的區間，
其長度為下列哪一個選項？
(1)
1
(2)
2
(3) 3
(4) 4 (5)
5 。
答：
(2)
解：
2
2
3
2
x
x
0
3
3
3
x
x
3
1
x
2.
聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特
(
2
/ m
w
)
來衡量，一般人能感覺出聲音的最小強度
為
12
0
10
I
(
2
/ m
w
)；當測得的聲音強度為
I
(
2
/ m
w
)時，所產生的聲音分貝數 d ，其
中
0
log
10
I
I
d
，一般人高聲說話所產生的分貝數為 65 ，樹葉沙沙聲所產生的分貝數
為 20 ，若一般人高聲說話所產生的強度為樹葉沙沙聲所產生的強度的 m 倍，則 m 值最
接近下列哪一個數值？
(1)
10000
(2)
20000
(3)
30000
(4)
40000
(5)
50000
答：
(3)
解：
0
log
10
65
I
I
人
6.5
0
10
I
I
人
0
log
10
20
I
I
樹
2
0
10
I
I
樹
4
.
3
log
4
4.5
10
.
3
10
10
10
樹
人
I
I
m
3.
已知 ABC
的三邊長為 3 ， 5 ， 7 ，則該三角形的外接圓半徑為下列哪一個數？
(1)
6
7
5
(2)
3
5
2
(3)
6
3
(4)
2
2
3
(5)
3
3
7
答：
(5)
解：
面積
R
4
7
5
3
2
1
2
5
2
9
2
15
3
7
R
2
4.
某公司為激勵創新，計畫逐年加大研發資金投入。若該公司民國110 年全年投入研發資
金 500 萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12% ，則該公司全年投入
的研發資金開始超過 8000 萬元的年份是民國幾年？
(
0492
.
0
12
.
1
log
，
3010
.
0
2
log
)
(1)
126
(2)
129
(3)
132
(4)
135
(5)
138
答：
(4)
解：
8000
%
2
1
1
500
n
4
2
16
12
.
1
n
4
2
log
12
.
1
log
10
10
n
2
log
4
12
.
1
log
n
4
.
24
≒
0492
.
0
3010
.
0
4
n
所求年份
4
.
134
4
.
24
110
5.
將函數
3
2
sin
x
y
圖形上的點
t
P
,
4
向左平移
0
s
s
個單位長，得到點
Q
，
若
Q
點在函數
x
y
2
sin
的圖形上，則下列哪一個選項是正確的？
(1)
2
1
t
， s 的最小值為
6
(2)
2
3
t
， s 的最小值為
6
(3)
2
1
t
， s 的最小值為
6
5
(4)
2
3
t
， s 的最小值為
6
5
(5)
2
1
t
， s 的最小值為
3
答：(1)
解：
3
2
sin
2
1
,
4
x
y
P
x
y
s
Q
2
sin
2
1
,
4
s
s
2
cos
2
2
sin
2
1
3
2
s
6
s
6. 從1到 500 的正整數中挑選 4 個相異的數字，使這 4 個數由小到大排列後形成一個等差數
列，已知此等差數列的首項為 32 ，則下列哪一個數不可能出現在所挑選的
4
個數中？
(1) 91 (2)190 (3) 348 (4) 491 (5) 500
答：(3)
解：設
4
數為 32 ，
d
32
，
d
2
32
，
d
3
32
500
3
32
35
d
156
1
d
，
N
d
(1) 令
d
32
91
59
d
(合)
(2) 令
d
2
32
190
79
d
(合)
(3) ○
1
d
32
348
316
d
(不合)
○
2
d
2
32
348
158
d
(不合)
○
3
d
3
32
348
3
316
d
(不合)
故 348 不可能在此 4 個數中
(4) 令
d
3
32
491
153
d
(合)
(5) 令
d
3
32
500
156
d
(合)
3
二、多選題
7. 直角坐標平面上，直線
L
方程式為
3
1
x
m
y
，其中 m 為實數，
圓 C 方程式為
1
4
3
2
2
y
x
，圓心為 O 點，試選出正確的選項。
(1)當
0
m
時，直線
L
和圓 C 交一點 (2)當
3
1
m
時，直線
L
和圓 C 交二點
(3)當
1
m
時，直線
L
和圓 C 交二點 (4)當
3
4
m
時，直線
L
和圓 C 交二點
(5)若直線
L
與圓 C 相交
A
、
B
兩點時，當
2
1
m
時，
AB
長度最大。
答：
(1)(2)(3)(5)
解：
1
1
1
2
,
0
2
2
m
m
L
d
3
4
0
m
當
0
m
，
3
4
時， L 與 C 交於一點，
當
3
4
0
m
時， L 與 C 交於二點，
當 L 過
4
,
3
時，即
2
1
m
時，截弦長最大
8. 已知三次實係數多項式函數
b
ax
x
x
x
f
2
3
9
3
的圖形通過
2
,
0
、
16
,
2
兩
點，試選出正確的選項。
(1)數對
2
,
13
,
b
a
(2)若
d
x
c
x
x
f
1
1
3
3
，則
14
d
c
(3)對稱中心點為
9
,
1
(4)
2020
2021
f
f
(5)
x
f
的圖形平移後可與
9
5
3
3
x
x
x
g
y
的圖形重合。
答：
(1)(3)(4)
解：
(1)
2
0
f
2
b
，又
16
2
f
13
a
(2)
9
1
4
1
3
2
13
9
3
3
2
3
x
x
x
x
x
x
f
故所求
13
9
4
d
c
(3)
承
(2)
，對稱中心
9
,
1
(4)
承
(2)
，知
x
f
為嚴格增函數
(5)
應與
9
4
3
3
x
x
x
g
y
重合
9.
設〈
n
a 〉為等差數列，〈
n
b 〉為等比數列，
n
n
a
a
a
S
2
1
，且
1
1
1
b
a
，
3
5
3
b
a
a
，
4
4
2
a
b
b
。試問下列選項哪些是正確的？
(1)
滿足題意的數列〈
n
a 〉有兩種可能
(2)
滿足題意的數列〈
n
b 〉有兩種可能
(3)
2
10
2
1
a
a
a
(4)
2
2
10
2
2
2
1
b
b
b
(5)
設
n
S 的最大值為
k
S ，則
4
k
。
答：
(2)(3)(4)
4
解：
令公差 d ，公比
r
4
4
4
2
2
3
5
3
3
1
6
2
r
d
a
b
b
r
d
b
a
a
(1)(2)
2
1
2
r
2
1
r
，
4
1
d
(3)
原式
2
4
5
4
5
4
4
4
3
4
2
4
1
0
4
1
4
2
4
3
1
(4)
原式
2
512
1023
2
1
1
2
1
1
1
1
1
10
2
10
2
r
r
(5)
承
(3)
，
4
k
或 5 時，
k
S 有最大值
2
5
10.
有 30 筆數據
i
i
y
x ,
，
30
,
,
2
,
1
i
，其中平均數
60
x
，
70
y
， x 與
y
的相關係
數為 8
.
0 ，且
y
對 x 的迴歸直線方程式通過點
40
,
20
，試問下列敘述哪些是正確的？
(1)
y
對 x 的迴歸直線斜率為 75
.
0
(2)
x 的標準差小於
y
的標準差
(3) y
對 x 的迴歸直線通過另一點
84
,
76
(4)
若
2
3
i
i
x
x
，
10
2
i
i
y
y
，則 x 與
y
的相關係數為
8
.
0
(5)
承
(4)
，
y
對 x 的迴歸直線斜率為負數。
答：
(1)(4)(5)
解：
(1)
4
3
20
60
40
70
m
(2)
x
y
S
S
r
m
1
8
.
0
75
.
0
x
y
S
S
(3)
迴歸直線：
60
4
3
70
x
y
通過
82
,
76
(4)
8
.
0
,
10
2
,
2
3
'
'
xy
y
x
y
x
y
x
r
r
r
r
(5)
'
m 與
'
'y
x
r
同號
11.
在平面直角坐標系中，若
0
,
1
A
、
0
,
1
B
，則下列哪些函數的圖形上可以找到
P
點，
使得
PA
PB
0
(1)
2
x
y
(2)
2
2
x
y
(3)
5
4
2
y
x
(4)
1
2
2
2
y
x
(5)
x
y
2
。
答：
(1)(4)(5)
解：
以
AB
為直徑的圓為
1
2
2
y
x
與
(1)(4)(5)
有交點，與
(2)(3)
無交點
5
12.
設
a
、
b
為平面上的二個非零向量，
定義一個新的運算為：
a
b
| |
a
2
| |
b
2
a
b
2
，
試選出正確的選項。
(1)
a
100
,
99
、
b
99
,
98
，則
a
b 1
(2)
對所有的
a
、
b
，
a
b 1
(3)
若
a
//
b
，則
a
b
0
(4)
若
| |
a
3
，
| |
b
4
，則
a
b
的最大值為
12
(5) 2 a
3
b
6
a
b
。
答：
(1)(3)
解：
a
b
| |
a
2
| |
b
2
2
cos
1
| |
a
2
| |
b
2
2
sin
| |
a
| |
b
sin
2
a
、
b
張拓之平行四邊形面積
2
(1)
1
1
98
1
99
99
98
100
99
2
2
(2)
不一定
(3)
正確
(4)
| |
a
| |
b
12
1
4
3
90
sin
(5)
應為
2 a
3
b
2
2
3
2
a
b
三、選填題
13.
有一數列〈
n
a 〉滿足遞迴關係式
2
,
2
1
4
7
,
3
1
2
1
n
a
a
a
a
n
n
，其中
是常數，
則
4
a
。（化為最簡分數）
答：
16
13
解：
2
1
2
1
4
7
,
3
1
2
2
1
a
a
a
a
2
1
2
1
2
1
1
3
4
a
a
16
13
2
1
2
5
8
1
4
a
14.
設直線
a
x
y
2
與圓 C ：
0
2
2
2
2
ay
y
x
相交於
A
、
B
兩點，若
3
2
AB
，
則圓 C 的半徑為 。
答：
2
解：
圓 C ：
2
0
2
2
2
a
a
y
x
，
L
：
0
2
a
y
x
6
2
2
2
2
3
2
2
2
0
2
1
,
0
a
a
a
AB
r
L
d
1
2
2
2
a
a
2
2
a
，半徑
2
2
2
a
15.
全台因為缺水問題需要停水，以下為15 天內的停水計劃，如下表，月曆上
1
至15 天，要
規劃其中 3 天停水，為了民眾生活的便利性，停水的 3 天皆要不相鄰，且第
1
天，第 8
天，第15 天也不能停水，例如：可停
2
，
4
， 6 或者 3 ， 7 ， 9 …等等。試問有
種停水方式。
月曆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14
15
停水
答：
128
解：
三天皆在前區或後區
8
2
4
3
C
（利用插空隙）
三天分成
1
2
在前後區
120
2
6
1
5
2
C
C
合計：
種
128
120
8
16.
有一百貨公司舉辦週年慶滿額抽獎活動，遊戲規則如下：參加者自箱中一次抽出兩球，
確定顏色後放回。其顏色組合及可得金額如下表所列：
顏色組合
二球皆為藍色 二球皆為紅色
一球為藍色，
一球為紅色
其它顏色組合
可獲折價券金額
元
1800
元
1200
元
600
元
0
已知箱中置有 2 顆藍色球及
3
顆紅色球，在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希
望參加者所得折價券金額的期望值為
200
元，則主辦單位應於箱內再放入 顆其
他顏色的球。
答：
5
解：
A
二藍
二紅
一藍一紅
其他
P
5
2
2
2
n
C
C
5
2
3
2
n
C
C
5
2
3
1
2
1
n
C
C
C
＄
1800 1200 600 0
200
6
600
3
1200
1
1800
1
5
2
n
C
X
E
5
n
17. 如圖， ABC
是邊長為1的正三角形，點 D 、 E
分別為
AB
、
BC
的中點，
F
點在
DE
直線上，
且
EF
DE
2
，試求
AF
BC 。
（化為最簡分數）
7
答：
8
1
解：
AE
3
1
AD
3
2
AF
AF
2
3
AE
2
1
AD
AF
2
3
2
1
AB
2
1
AC
2
1
2
1
AB
2
1
AB
4
3
AC
AF
BC
2
1
AB
4
3
AC
[
]
AC
AB
2
1
|
|
AB
4
3
2
|
|
AC
4
1
2
AB
AC
8
1
60
cos
1
1
4
1
1
4
3
1
2
1
2
2
第貳部分：混合題或非選擇題
18-20 題為題組
在
ABC
中，
C
A
B
C
A
sin
sin
2
sin
sin
sin
2
2
2
，試回答下列問題：
18.
B
的大小為多少弧度？（單選題）
(1)
6
(2)
4
(3)
3
(4)
4
3
(5)
6
5
。
答： (2)
解： 由正弦定律，原式
ac
b
c
a
2
2
2
2
由餘弦定律，
2
2
2
cos
2
2
2
ac
b
c
a
B
4
B
19. 試求
C
A
cos
cos
2
的最大值。
答： 1
解：
2
2
sin
2
2
cos
cos
2
4
3
cos
cos
2
A
A
A
A
A
1
4
sin
cos
sin
2
2
A
A
A
20.
承
19.
，當
C
A cos
cos
2
有最大值時，
C
？
答：
2
解：
當
2
4
A
，即
4
A
，
2
C
時，有
1
Max