1
全國高中 109 年(108 學年度)
高三上第三次學測模擬考數學(108-3)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇題（占
第壹部分：選擇題（占
第壹部分：選擇題（占
第壹部分：選擇題（占 65
65
65
65 分）
分）
分）
分）
一、
一、
一、
一、單
單
單
單選題
選題
選題
選題（占
（占
（占
（占 30
30
30
30 分）
分）
分）
分）
1.
1
1
log
1
log
2
2
=
−
−
+
x
x
的實數解有幾個？
(1) 0
(2)1 (3) 2 (4)3 (5) 4 。
答：(3)
解：原式
2
log
1
1
log
2
2
=
−
+
x
x
2
1
1
=
−
+
x
x
2
2
1
−
=
+
x
x
(
)(
)
0
3
1
3
=
−
−
x
x
3
1
=
x
或3
2.
如圖所示，平面上有 A 、 B 、 C 、 D 四個定點，
並以 A 為圓心， r 、 r
2
、 r
3
為半徑作三個同心圓，
若 B 、 D 分別落在半徑為 r 與 r
3
的同心圓上，
且AB ⋅ AC
170
=
，請以附圖估計AB ⋅ AD的值
最接近下列哪個整數？
(1)
20
−
(2) 7
−
(3)13 (4) 20 (5) 26 。
答：(2)
解：AB ⋅ AC =
|
|
AB
|
|
AC
170
2
cos
1
=
⋅ r
r
≒
θ
AB
⋅ AD =
|
|
AB
|
|
AD
(
)
7
2
170
cos
2
−
−
−
⋅
≒
≒
≒
r
r
θ
3.
從
9
,
,
2
,
1
,
0
⋯
⋯
中選出三個不同數字組成四位數（其中的一個數字用兩次），如5242 。
這樣的四位數共有幾個？
(1)1692
(2)3672 (3)3708 (4)3888 (5) 4320 。
答：(4)
解：
ab
00
216
!
3
!
2
!
4
9
2
=
−
×
C
aab
0
648
!
2
!
3
!
2
!
4
2
1
9
2
=
−
×
C
C
aabc
3024
!
2
!
4
3
1
9
3
=
×
C
C
2
合計
3888
3024
648
216
=
+
+
4. O
為原點，已知直線
mx
y
=
與對數函數
x
y
2
log
=
的圖形交於
(
)
1
1
, y
x
A
、
(
)
2
2
, y
x
B
兩點。若
OB
OA
=
8
，則
1
x
的值為下列哪一個選項？
(1)
7
3
2
(2)
8
3
2
(3)
9
4
2
(4)
5
2
2
(5) 2 。
答：(1)
解：
OB
OA
=
8
(
)
1
1
, y
x
A
，
(
)
1
1
8
,
8
y
x
B
(
)
=
=
1
2
1
1
2
1
8
log
8
log
x
y
x
y
x
x
2
1
2
log
3
log
8
1
+
=
7
3
log
1
2
=
x
7
3
1
2
=
x
5.
小明利用星期四到星期日四天，安排北臺灣旅遊，四天共安排兩個整日行程及四個半日
行程，其中整日行程有陽明山、九份；半日行程有淡水、故宮、101大樓、西門町。半
日行程僅安排於上午或下午，為了旅遊品質，小明增加了幾個限制，
限制一：星期六、星期日的行程不安排九份
限制二：九份、陽明山的行程不排在相鄰兩天
限制三：西門町的行程不排在上午
試問小明四天的旅遊行程共有幾種排法？
(1) 24
(2)36 (3) 48 (4) 60 (5) 72 。
答：(2)
解：週四（九份）
(
)
(
)
24
!
3
2
1
2
1
=
×
×
西西西西西
陽陽陽陽陽
C
C
週五（九份）
(
)
(
)
12
!
3
2
1
1
1
=
×
×
西西西西西
陽陽陽陽
C
C
合計：
36
12
24
=
+
（種）
6.
已知一個線性規劃問題的可行解區域為四邊形 ABCD 及其內部，其中
(
)
6
,
7
A
，
(
)
8
,
1
−
B
，
(
)
5
,
5
−
C
，
(
)
3
,
2
D
。今增加一個限制條件
k
y
x
≤
+ 2
5
，當
b
k
a
<
<
時，
新的限制條件會讓可行解區域變為五邊形 BCDEF 及其內部，其中 E 、 F 分別在原可行
解區域邊界 AD 、 AB 上，則
a
b
−
之最大值為下列哪一個選項？
(1) 5
(2) 26 (3)31 (4)36 (5) 52 。
3
答：(3)
解：
k
y
x
=
+ 2
5
(
)
(
)
47
6
,
7
16
3
,
2
=
=
k
k
過
過
47
16
<
< k
二
二
二
二、
、
、
、多
多
多
多選題
選題
選題
選題（占
（占
（占
（占 35
35
35
35 分）
分）
分）
分）
7.
設
1
a
、 r 均為正數，已知數列〈
n
a
〉是首項為
1
a
，公比為 r 的等比數列，
設
n
n
a
b
log
=
，試選出正確的選項：
(1)
數列〈
n
b
〉為公差大於零的等差數列
(2)
數列〈
n
b
〉為公差小於零的等差數列
(3)
若
2
1
n
b
n
+
=
，則
10
10
1
=
a
(4)
若
2
1
n
b
n
+
=
，則
10
1
=
a
(5)
若
2
1
n
b
n
+
=
，則
10
=
r
。
答：(3)(5)
解：(1)(2)
r
a
a
a
a
b
b
n
n
n
n
n
n
log
log
log
log
1
1
1
=
=
−
=
−
+
+
+
當
1
0
≤
< r
，公差
0
log
<
r
，當
1
≥
r
，公差
0
log ≥
r
(3)(4)(5)
1
1
log
2
3
2
1
1
a
b
=
=
+
=
10
10
10
2
3
1
=
=
a
公差
r
log
2
1
=
=
10
10
2
1
=
=
r
8.
等腰 ABC
∆
中，
°
=
∠
90
BAC
， P 、Q 為斜邊 BC 上的三等分點，
如圖所示，試選出正確的選項：
(1)
5
4
cos
=
∠PAQ
(2)
PAB
PAQ
∠
=
∠
sin
sin
(3)
PAB
AB
PAQ
AQ
∠
=
∠
sin
sin
(4) AP − AQ // BC
(5) AP + AQ
= AB + AC
。
答：(1)(3)(4)(5)
解：
(
)
0
,
0
A
，
(
)
0
,
3
B
，
(
)
3
,
0
C
，
(
)
1
,
2
P
，
(
)
2
,
1
Q
(1)
=
∠PAQ
cos
AP
⋅ AQ
|
AP
||
AQ
|
5
4
5
5
2
2
=
+
=
(2)
=
∠PAB
cos
AP
⋅ AB
|
AP
||
AB
|
PAQ
∠
≠
=
×
+
=
cos
5
2
3
5
0
6
5
3
sin
5
1
sin
=
∠
≠
=
∠
PAQ
PAB
4
(3)
5
1
3
sin
5
3
5
sin
×
=
∠
=
×
=
∠
PAB
AB
PAQ
AQ
(4) AP − AQ = QP // BC
(5) AP + AQ
(
)
=
=
3
,
3
AB
+ AC
9.
如圖，
( )
x
f
y
=
為二次函數，
( )
x
g
y
=
為一次函數，
其中 a 、 c 為
( )
x
f
y
=
與 x 軸交點的 x 坐標，b 為
( )
x
g
y
=
與 x 軸交點的 x 坐標，試選出正確的選項：
(1)
( )
( )
0
=
+
x
g
x
f
在 a 、b 之間有實數解
(2)
( )
( )
0
=
+
x
g
x
f
在b 、 c 之間有實數解
(3)
( ) ( )
0
<
x
g
x
f
的解為
c
x
a
<
<
(4)
( ) ( )
0
≥
x
g
x
f
的解為
a
x
≤
或
c
x
b
≤
≤
(5)
( )
( )
0
≤
x
g
x
f
的解為
b
x
a
≤
≤
或
c
x
≥
。
答：(1)(4)
解：(1)(2)
( )
x
f
y
=
與
( )
x
g
y
−
=
交點在區間
(
)
b
a ,
，
(
)
∞
,
c
內
(3)
( ) ( )
0
<
x
g
x
f
之解為
b
x
a
<
<
或
c
x
>
(4)
( ) ( )
0
≥
x
g
x
f
之解為
a
x
≤
或
c
x
b
≤
≤
(5)
( )
( )
0
≤
x
g
x
f
等同
( ) ( )
0
≤
x
g
x
f
且
( )
0
≠
x
g
，其解為
b
x
a
<
≤
或
c
x
≥
10.
設
1
θ
、
2
θ
、
3
θ
、
4
θ
分別為第一、二、三、四象限角，且都介於 0 與
π
2
之間，
已知
a
=
=
2
1
sin
sin
θ
θ
，
b
=
=
4
3
sin
sin
θ
θ
，試選出正確的選項？
(1)
2
2
1
cos
a
−
=
θ
(2)
π
θ
θ
=
+
2
1
(3)若
4
1
=
b
，則
4
3
2
θ
π
θ
<
+
(4)
若
b
a
=
，則
π
θ
θ
=
−
2
4
(5)若
b
a
>
，則
3
4
1
2
θ
θ
θ
θ
−
>
−
。
答：(2)(3)(4)
解：(1)
2
2
1
cos
a
−
−
=
θ
(2)
(
)
π
θ
π
θ
θ
θ
=
−
+
=
+
1
1
2
1
(3)
4
1
sin
2
1
4
−
−
=
π
θ
，
4
1
sin
1
3
−
+
=
π
θ
故
2
2
4
1
sin
2
1
3
4
π
π
π
π
θ
θ
=
−
>
−
=
−
−
(4)
1
4
2
θ
π
θ
−
=
，
1
2
θ
π
θ
−
=
π
θ
θ
=
−
2
4
(5)
a
a
a
1
1
1
1
2
sin
2
sin
sin
−
−
−
−
=
−
−
=
−
π
π
θ
θ
5
b
b
b
1
1
1
3
4
sin
2
sin
sin
2
−
−
−
−
=
+
−
−
=
−
π
π
π
θ
θ
但
b
a
>
b
a
1
1
sin
sin
−
−
>
3
4
1
2
θ
θ
θ
θ
−
<
−
11.
優級
果形完整、色澤良好，果面清潔且無病蟲害
品質標準
良級
品質次於優級品
L
超過 28 公克
M
28
~
25
公克
重量規格（每個）
S
未達 25 公克
上表是草莓品質的分級標準，已知富野農場於本屆草莓季出產的草莓，有
5
3 是優級；
有
5
2 是良級。在優級的草莓中，重量超過 28 公克的佔
3
2 ，其餘的每個重量至少都有 25
公克；在良級的草莓中，重量超過 28 公克的佔
6
1 ；重量在
28
~
25
公克的佔
2
1 ；其餘的
每個重量未達 25 公克。草莓要出貨時，會將優級品或重量規格是 L 的草莓，包裝成禮盒
販售。根據以上敘述，試選出正確的選項：
(1)
富野農場本屆草莓季出產的草莓，重量規格是 M 的佔
5
2
(2)
富野農場本屆草莓季出產的草莓，重量規格是 L 的超過一半
(3)
任取一個富野農場本屆草莓季出產的草莓，已知取到重量規格是 L 的，
則取到優級草莓的機率是
7
6
(4)
任取一個富野農場本屆草莓季出產的草莓，已知取到的是良級的，
則可以包裝成禮盒販售的機率為
15
1
(5)
包裝成禮盒販售的草莓，是良級的佔
15
1 。
答：(1)(3)
解：
<
≥
≥
3
1
25
2
1
28
~
25
6
1
28
5
2
3
1
28
25
3
2
28
5
3
g
g
g
g
g
良
～
優
(1)
5
2
2
1
5
2
3
1
5
3
=
×
+
×
(2)
2
1
15
7
6
1
5
2
3
2
5
3
<
=
×
+
×
6
(3)
7
6
15
7
3
2
5
3
=
×
(4)
6
1
5
2
6
1
5
2
=
×
(5)
10
1
6
1
5
2
5
3
6
1
5
2
=
×
+
×
12.
今有兩組資料 x 、 y 如附表，已知 y 對 x 的最適合
直線為
13
4
.
0
+
=
x
y
，若將兩組資料 x 、 y 分別
標準化即
x
x
i
i
x
x
σ
µ
−
=
′
，
y
y
i
i
y
y
σ
µ
−
=
′
，且 '
y
對 '
x
的最適合直線為
k
x
y
+
=
'
8
.
0
'
，
試選出正確的選項：
(1)
0
=
k
(2)兩組資料 x 、 y 的相關係數
8
.
0
<
r
(3)
37
=
+ b
a
(4)
2
=
y
σ
(5)
8
.
0
2
'
=
y
σ
。
答：(1)(3)(4)
解：(1)
k
x
y
+
=
'
8
.
0
'
過
(
)
(
)
0
,
0
'
,
'
=
Y
X
0
=
k
(2)
k
x
y
+
=
'
8
.
0
'
的斜率 8
.
0
，恰為
(
)
y
x
r
,
(3)
(
)
13
4
.
0
5
48
,
10
,
+
=
∈
+
+
=
x
y
b
a
Y
X
37
=
+ b
a
(4)
(
)
(
)
(
)
8
4
2
0
2
4
5
1
5
1
2
2
2
2
2
2
5
1
=
+
+
+
−
+
−
=
−
=
=
X
x
i
i
x
σ
x
y
r
m
σ
σ
×
=
2
8
8
.
0
1
4
.
0
=
×
×
=
y
σ
(5)
1
'
=
y
σ
x
6
8
10
12
14
y
16
15
17
a
b
7
13.
年度
101
102
103
104
105
二氧化碳排放量
( )
a
（千公噸）
272332
272618
276235
275634
279216
國內生產毛額
( )
b
（十億元）
14607
14929
15529
15654
15891
人口數
( )
c
（千人）
23270
23345
23404
23465
23516
二氧化碳排放密集度
( )
d
( )
( )
( )
b
a
d
=
（千公噸／十億元）
18.6
18.3
17.8
17.6
17.6
每人平均二氧化碳排放量
( )
e
( )
( )
( )
c
a
e
=
（千公噸／千人）
11.70
11.68
11.80
11.75
11.87
上表為臺灣地區在民國
105
101～
年二氧化碳排放量與每人平均排放量的調查，
請依表格內容選出正確的選項：
(1)
二氧化碳排放量
( )
a
的中位數為 275634 （千公噸）
(2)
國內生產毛額
( )
b
每年的成長率皆超過 %
1
(3)
人口數
( )
c
的標準差大於130（千人）
(4)
二氧化碳排放密集度
( )
d
與國內生產毛額
( )
b
為負相關
(5)
二氧化碳排放量
( )
a
與每人平均二氧化碳排放量
( )
e
的相關係數為1。
答：(1)(4)
解：(1)
279216
276235
275634
272618
272332
<
<
<
<
(2)
%
2
.
2
14607
14607
14929
≒
−
，
%
0
.
4
14929
14929
15529
≒
−
%
8
.
0
15529
15529
15654
≒
−
，
%
5
.
1
15654
15654
15891
≒
−
(3)
最大離均差130，故標準差 130
<
(4)
正確
(5)
資料點不共線
第貳部
第貳部
第貳部
第貳部分：選填題（占
分：選填題（占
分：選填題（占
分：選填題（占 35
35
35
35 分）
分）
分）
分）
A.
已知數列
512
,
,
2
,
,
1
10
1
1
+
+
+
−
a
a
a
k
k
⋯
⋯
⋯
⋯
共有十項，且其和為
12
2
，
則
k
k
a
10
1
=
之和為 。
答： 3073
8
解：
12
10
10
1
10
10
1
1
10
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
=
−
+
=
−
−
+
=
+
=
=
−
=
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
3073
1
2
2
10
12
10
1
=
+
−
=
=
k
k
a
B.
已知投擲一個公正的骰子兩次，得到的點數分別為 a 、 b ，則
(
)
b
a
1
log
+
的值為有理數的
機率為 。
答：
36
13
解：
36
13
6
6
1
2
2
3
2
3
1
,
6
6
,
1
,
5
5
,
1
,
4
4
,
2
,
1
,
3
3
,
1
,
2
4
,
2
,
1
,
1
=
×
+
+
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
機機
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
C.
海面上有一圓形人工島，其圓周在坐標平面上的方程式為
0
16
8
6
2
2
=
+
−
−
+
y
x
y
x
，
今一艘觀光遊艇欲從原點沿
kx
y
=
路徑航行，若此觀光遊艇要在人工島靠岸，則在不計
船身大小的情況下，實數 k 的最小值為 。
答：
24
7
解：圓：
(
)
(
)
9
4
3
2
2
=
−
+
−
y
x
，切線：
0
=
− y
kx
。則：
3
1
4
3
2
≤
+
−
k
k
24
7
≥
k
D.
已知
( )
x
f
為實係數四次多項式函數，且首項係數為1，
若
( )
x
f
y
=
的函數圖形如圖所示，且
(
)
0
2
1
=
+ i
f
，
則
( )
x
f
的常數項為 。
答： 5
解：
( ) (
)(
)(
)
2
1
2
1
2
1
+
+
−
−
−
=
x
i
x
i
x
x
f
常數項
( ) (
)(
)( )
5
1
2
1
2
1
0
2
=
+
−
−
−
=
i
i
f
E.
ABC
∆
中，已知三邊長
5
=
BC
、
6
=
CA
、
7
=
AB
。若a、b均為單位向量且a與BC垂直
，b與CA垂直，則a ⋅ b之值為 。
答：
5
1
±
9
解：a ⋅ b
(
)
5
1
6
5
2
7
6
5
cos
cos
2
2
2
±
=
×
×
−
+
±
=
±
=
+
±
=
C
B
A
F.
坐標平面上，給定一正 ABC
∆
，已知直線 BC 的方程式為
0
2
2
=
−
−
y
x
，若 ABC
∆
的重
心坐標為
(
)
2
,
1
，則 A 點的坐標為 。
答：
(
)
6
,
1
−
解：
(
)
2
,
1
G
， BC ：
0
2
2
=
−
−
y
x
AG
：
0
4
2
=
−
+ y
x
AG
與 BC 交於
(
)
→
=
1
2
0
,
2
：
：GM
AG
M
(
)
6
,
1
−
A
G.
依汽車基本構造與作用原理，當汽車轉彎的時候，
其前後輪前進的軌跡不相同，也就是會產生偏移，
此種情形稱為輪差。在轉彎內側者，稱為「內輪
差」，而內輪差隨著前後車輪軸距的長度及轉向角
度而有所不同。通常車身愈長（即軸距越長）內輪
差就愈大。如右圖的陰影區域為內輪差危險區域，
斜線區域為安全區，其中 D 點為距離汽車之理論安
全位置，即當行人與汽車之垂直距離 CD
>
時，理
論上能確保行人之安全。假設汽車前後車輪軸距
200
=
AB
公分，轉向角度
°
= 30
θ
，則理論安全距離
=
CD
公分。（四捨五入到整數位）
答： 46
解：
(
)
°
−
=
°
=
30
cos
30
cos
AO
BO
BD
CD
(
)
⋯
⋯
4
.
46
300
3
200
2
3
3
200
400
≒
−
=
×
−
=