全國高中 112 年(111 學年度)
高三上 第一次學測模擬考數學試題
（108 課綱第一冊）
俞克斌老師編寫
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題（
（
（
（占
占
占
占 85 分
分
分
分）
）
）
）
一
一
一
一、
、
、
、單選題
單選題
單選題
單選題（
（
（
（占
占
占
占 30 分
分
分
分）
）
）
）
1. 某一疾病發病的人數呈上升趨勢，經統計發現以每兩天上升
%
10
的速度增加，已知週一、
週二這兩天發病的人數共1000 人，若依此上升的比例發展，則接下來的週三到週六這四天
共有多少人發病？請選出最接近的答案。
(1) 2000 人 (2) 2152 人 (3) 2262 人 (4) 2310 人 (5) 4526 人。
答： (4)
（108 課綱第一冊第一章指數）
解：
(
) (
)
2310
1
.
1
1
.
1
1000
2
=
+
×
2. 學者韋斯特提出一城市規模、基礎設施、公司數量有如下關係：若城市規模要擴大為
a
倍，
則其基礎設施只要擴大為
85
.
0
a
倍，但公司數量可擴大為
15
.
1
a
倍。已知一城市想要將公司
數量擴大為10 倍，則基礎設施要擴大為幾倍？
(1) 25
.
5
倍 (2) 37
.
5
倍 (3) 50
.
5
倍 (4) 62
.
5
倍 (5) 75
.
5
倍。
答： (3)
（108 課綱第一冊第一章對數）
解：
10
15
.
1
=
a
5
.
5
10
≒
10
≒
10
5
.
5
log
74
.
0
15
.
1
85
.
0
85
.
0
=
=
a
3.
四次函數
( )
x
f
y
=
的圖形如右，則不等式
( )
0
>
x
f
的所有整數解的乘積為何？
(1)
48
−
(2)
8
−
(3)
6
−
(4)
4
(5)
0 。
答：
(5)
（
108
課綱第一冊第三章不等式）
解：
( )
0
>
x
f
之解：
4
2
<
<
−
x
，
Z
x
x
∈
≠ ,
1
,
3
,
2
,
0
,
1
−
=
x
4.
若
n
為自然數，且
n
3 為 49 位數，符合上述條件的
n
值有兩個，則這兩個
n
值的總和為何？
(1)
199
(2)
201
(3)
203
(4)
205
(5)
207 。
答：
(3)
（
108
課綱第一冊第一章對數）
解：
49
3
log
48
10
10
3
10
<
=
≤
n
n
49
4771
.
0
48
<
×
≤
n
N
n
n
∈
<
≤
,
7
.
102
≒
4771
.
0
49
6
.
100
≒
4771
.
0
48
⋯
⋯
102
,
101
=
n
5.
若過點
(
)
1
,
2
−
的圓與兩坐標軸均相切，則圓心到直線
0
21
4
3
=
+
−
y
x
的距離為何？
(1)
5
11
(2)
5
12
(3)
5
13
(4)
5
14
(5)
3 。
答：
(4)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
圓：
(
)
(
)
2
2
2
r
r
y
r
x
=
−
+
+
過
(
)
1
,
2
−
0
5
6
2
=
+
−
r
r
5
.
1
=
r
，圓心
(
)
1
,
1
−
或
(
)
5
,
5
−
(
)
(
)
5
14
0
21
4
3
,
1
,
1
=
=
+
−
−
y
x
d
或
(
)
(
)
5
14
0
21
4
3
,
5
,
5
=
=
+
−
−
y
x
d
6.
設
m
是實數，若方程式
(
)
0
3
1
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
m
m
y
m
mx
y
x
的圖形為一圓且圓心在
第四象限，已知
m
的範圍為
β
α
<
< m
，則
=
+
β
α
？
(1)
2
5
1
−
(2)
2
5
1
+
(3)
1
(4)
0
(5)
1
− 。
答：
(1)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
2
+
+
−
=
+
+
+
+
m
m
m
y
m
x
圓心
(
)
第第第第第
∈
−
−
−
1
,
m
m
0
1
2
>
+
+
−
m
m
0
1
,
0
1
,
0
2
<
−
−
<
−
−
>
−
m
m
m
m
0
2
5
1
<
<
−
m
二
二
二
二、
、
、
、多
多
多
多選題
選題
選題
選題（
（
（
（占
占
占
占 30 分
分
分
分）
）
）
）
7.
下列選項中的不等式，何者正確？
(1)
99
80
100
81
>
(2)
1
7
1
7
1
7
1
7
80
99
81
100
+
+
>
+
+
(3)
5
.
0
9
4
.
0
<
(4)
對所有實數
x
，
2
3
1
−
>
−
−
+
x
x
恆成立
(5)
若
b
a
< ，則
3
2
7
5
2
b
a
b
a
+
<
+
。
答：
(1)(2)
（
108
課綱第一冊第一章有理數、實數）
解：
(1)
99
80
1
99
1
80
>
+
+
(2)
1
7
1
7
7
7
7
7
1
7
1
7
81
101
81
101
80
99
+
+
<
+
+
=
+
+
(3)
5
.
0
9
4
.
0
=
(4)
4
3
1
4
≤
−
−
+
≤
−
x
x
(5)
b
a
< ，
3
1
7
5
>
3
2
7
5
2
b
a
b
a
+
>
+
8.
下列有關二次函數
Γ
：
2
2
x
y
=
與圓 C ：
(
)
2
2
2
4
r
y
x
=
−
+
（其中
0
>
r
）兩圖形的敘述，
何者正確？
(1)
當
23
=
r
時，
Γ
與 C 有 4 個交點
(2)
Γ
與 C 的交點個數可能有 0 ，1， 2 ， 3 ， 4 個
(3)
當
Γ
與 C 有 3 個交點時，此時
r
值只有一個
(4)
當
Γ
與 C 有 2 個交點時，此時
r
值只有一個
(5)
當
Γ
與 C 有 2 個交點且
Γ
不通過圓 C 內部時，此時交點的 y 坐標是整數。
答：
(3)(5)
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
當
2
2
x
y
=
與
(
)
2
2
2
4
r
y
x
=
−
+
相切
0
16
6
2
2
=
−
+
−
r
y
y
的判別式
0
16
4
36
2
=
−
−
=
r
7
=
r
，故當
點
相相相
與
切點
含
點
相相相
與
點
相相相
與
點
相切相
與
無相點
與
2
,
4
)
1
(
3
,
4
4
,
4
7
2
,
7
,
7
0
C
r
C
r
C
r
C
r
C
r
Γ
>
Γ
=
Γ
<
<
Γ
=
Γ
<
<
9.
下列有關三次函數
( )
(
)
(
)
1
3
4
3
+
−
−
+
=
=
k
x
k
x
x
f
y
（常數
0
>
k
）的敘述，何者正確？
(1)
若
( )
x
f
y
=
在
0
=
x
附近的一次近似圖形為直線 L ，則直線 L 的斜率為
3
−
k
(2)
承
(1)
，直線 L 必過點
(
)
4
,
1
−
(3)
( )
x
f
可被
1
−
x
整除
(4)
( )
x
f
y
=
的圖形與 x 軸可能會有 3 個交點
(5)
不等式
( )
0
>
x
f
的解為
1
<
x
。
答：
(1)(2)(3)
（
108
課綱第一冊第三章三次函數）
解：
(1)
所求一次近似：
(
)
(
)
1
3
+
−
−
=
k
x
k
y
(2)
(
)
L
∈
−4
,
1
(3)
( )
0
1
=
f
(4)
( ) (
)
(
)
+
+
+
−
=
1
4
4
1
2
k
x
x
x
x
f
，其中
0
>
k
∵
(
)
1
4
4
2
+
+
+
k
x
x
恆正 ∴
( )
x
f
y
=
與 x 軸僅交一點
(5)
( )
0
>
x
f
0
1
>
−
x
1
>
x
10.
設
2
5
1
+
=
a
，下列選項何者正確？
(1)
a 等於 618
.
1
(2)
1
+
a
可化簡成 a
(3)
可利用尺規作圖在數線上描出 a 的位置
(4)
a
a
1
<
(5)
a
log
是正數。
答：
(2)(3)(5)
（
108
課綱第一冊第一章無理數）
解：
(1)
Q
Q
a
=
≠
∈
618
.
1
(2)
(
)
5
1
2
2
=
−
a
0
1
2
=
−
− a
a
1
2
+
= a
a
1
+
=
a
a
(3)
平方根型無理數，可以尺規作圖
(4)
2
1
5
1
2
1
5
−
=
>
+
=
a
a
(5)
1
>
a
，
0
log
>
a
11.
如圖，矩形 FBED 為直角
ABC
∆
的內接矩形，
5
=
AF
、
3
=
EC
，
請問下列何者正確？
(1)
DEC
AFD
∆
∆
~
(2)
矩形 FBED 的面積是定值
(3)
矩形 FBED 的周長是定值
(4) ABC
∆
面積的最小值是15
(5) ABC
∆
的面積有最小值時，
5
=
FD
。
答：
(1)(2)
（
108
課綱第一冊第一章算幾不等式）
解：
∵
DCE
ADF
∆
∆
~
3
5
y
x
=
15
=
xy
∴矩形周長
(
)
15
4
2
2
2
=
×
≥
+
xy
y
x
而
ABC
∆
面積
(
)(
)
2
3
5
15
5
3
2
1
y
x
y
x
+
+
=
+
+
=
30
15
15
3
5
15
=
+
=
⋅
+
≥
y
x
等號成立於
15
3
5
=
= y
x
3
=
x
，
5
=
y
12.
已知
ABC
∆
的其中兩條高落在直線
1
L ：
7
=
+ y
x
、
2
L ：
11
2
=
− y
x
上，又頂點 A 的坐標
為
(
)
0
,
9
，頂點 B 在第一象限，請問下列何者正確？
(1)
直線
2
L 通過頂點 A
(2)
AB 方程式為
27
2
3
=
−
y
x
(3)
AC 方程式為
9
=
− y
x
(4)
B 點坐標為
(
)
3
,
4
(5) ABC
∆
的垂心坐標為
(
)
1
,
6
，其中垂心為三角形三高的交點。
答：
(3)(5)
（
108
課綱第一冊第二章直線）
解：
(1) ×
：
(
)
0
,
9
A
代入
2
L ：
11
2
=
− y
x
，不合∴直線
2
L 不通過頂點 A
(2) ×
：如下圖
∵
2
L
AB
⊥
且
2
1
2
2
=
−
−
=
m
∴
2
1
−
=
AB
m
AB ：
：
：
：
(
)
9
2
1
0
−
−
=
−
x
y
9
2
=
+
y
x
(3)
○：仿
(2)
，可得 AC ：
9
=
− y
x
(4) ×
：將 AB ：
9
2
=
+
y
x
與
1
L ：
7
=
+ y
x
解聯立，得 B 點坐標為
(
)
2
,
5
(5)
○：將
1
L ：
7
=
+ y
x
與
2
L ：
11
2
=
− y
x
解聯立
得
ABC
∆
的垂心坐標為
(
)
1
,
6
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題（
（
（
（占
占
占
占 25 分
分
分
分）
）
）
）
13.
已知直線 L 過點
(
)
4
,
0
A
，且將圓：
0
4
4
2
2
2
=
−
−
−
+
y
x
y
x
分成大、小兩弓形，當 L 的
斜率改變時，兩弓形的面積亦隨之改變。當直線 L 的斜率為 時，小弓形的面積為
最小。（化為最簡分數）
答：
2
1
（
108
課綱第一冊第二章圓）
解：
圓
(
)
(
)
9
2
1
2
2
=
−
+
−
y
x
，圓心
(
)
2
,
1
O
，半徑
3
=
r
斜率
1
2
−
=
OA
m
， L 斜率
2
1
=
時，小弓形面積最小
14.
將地面看成坐標平面，有一拋物線形道路符合二次函數
( )
3
2
2
−
−
=
x
x
x
f
，其圖形交
x
軸
負向於 A 點、交 y 軸於 B 點，又 C 點為
( )
x
f
y
=
圖形對稱軸上的動點。有甲、乙兩人分別
在 A、B 兩點上，今兩人相約在 C 點見面，當兩人走到 C 點的距離和是最小時，此時
ACB
∠
的內部（不含邊界）可用二元一次不等式
<
+
+
<
+
+
0
0
d
cy
x
b
ay
x
表示，則
=
+
+
+
d
c
b
a
。
答：
2
−
（
108
課綱第一冊第三章二次函數）
解：
令
( )
0
3
2
2
=
−
−
=
x
x
x
f
1
−
=
x
或 3
(
)
0
,
1
−
A
，
(
)
0
,
3
D
( )
3
0
−
=
f
(
)
3
,
0
−
B
( )
(
)
4
1
3
2
2
2
−
−
=
−
−
=
x
x
x
x
f
對稱軸 L ：
1
=
x
A 點關於對稱軸 L 的對稱點為 D
當 C 點為
BD
與 L 的交點時，兩人走到 C 點的距離和
BC
AC
+
會最小
(
)
1
0
3
3
0
=
−
−
−
=
BD
m
∴ BD ：
0
3
=
−
− y
x
再令
1
=
x
代入，得
2
−
=
y
∴
(
)
2
,
1
−
C
(
)
1
1
1
2
0
−
=
−
−
−
−
=
AC
m
∴ AC ：
0
1
=
+
+ y
x
故
ACB
∠
的內部（不含邊界）：
<
+
+
<
−
−
0
1
0
3
y
x
y
x
再比較係數得
2
−
=
+
+
+
d
c
b
a
15.
化簡
=
×
−
−
2023
2022
1
2023
2022
2022
2023
2
2
。
答：
3
（
108
課綱第一冊第一章因式分解）
解：
所求
3
2023
2022
1
1
2022
2023
3
1
2023
2022
1
2022
2023
3
3
3
=
×
−
×
×
×
+
=
×
−
−
=
16.
不等式
6
2
−
> x
x
的解為 。
答：
3
3
<
<
−
x
（
108
課綱第一冊第三章不等式）
解：
當
0
≥
x
，
6
2
−
> x
x
(
)(
)
0
2
3
<
+
−
x
x
3
2
<
<
−
x
，取
3
0
<
≤ x
當
0
<
x
，
6
2
−
>
−
x
x
(
)(
)
0
2
3
<
−
+
x
x
2
3
<
<
−
x
，取
0
3
<
<
−
x
綜合上述：
3
3
<
<
−
x
17.
設三次多項式
( )
x
f
除以
(
)
2
2
−
x
的餘式是 2 、除以
2
+
x
的餘式也是 2 ，
又
( )
x
f
的常數項是 6
− ，則
( )
x
f
的所有係數和為 。
答：
1
−
（
108
課綱第一冊第三章多項式）
解：
( ) (
) (
)
2
2
2
+
+
−
=
b
ax
x
x
f
(
)
(
)
2
2
2
16
2
=
+
+
−
=
−
b
a
f
且
( )
( )
6
2
4
0
−
=
+
=
b
f
2
−
=
b
，
1
−
=
a
，則
( )
(
)
1
2
2
1
1
1
−
=
+
−
−
×
=
f
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題
混合題或非選擇題（
（
（
（占
占
占
占 15 分
分
分
分）
）
）
）
18-20
題為題組
（
108
課綱第一冊第三章三次函數）
某製造公司採接單製造方式營運，因受疫情影響及產業競爭下，導致營運出現每月虧損
500 萬元，公司調查資料如下：每月接單生產數量
x
（萬個）與總成本 C （千萬元）的關係，
如下表。
x
（萬個）
1
2
3
C （千萬元）
3
5
13
當
5
0
≤
≤ x
時， C 恰為
x
的三次函數；點
(
)
3
,
1
為三次函數 C 的對稱中心。
根據上述，試回答下列問題。
18.
當
5
0
≤
≤ x
時，
d
cx
bx
ax
C
+
+
+
=
2
3
，試求
a
、 b 、
c
、 d 值。
答：
1
=
a
，
3
−
=
b
，
4
=
c
，
1
=
d
解：
(
)
(
)
3
1
1
3
+
−
+
−
=
x
p
x
a
C
(
)
(
)
13
3
2
8
13
,
3
5
3
5
,
2
=
+
+
=
+
+
p
a
p
a
過
過
1
=
a
，
1
=
p
，
(
)
(
)
1
4
3
3
1
1
2
3
3
+
+
−
=
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
C
19. (1)
若公司停止接單（即
0
=
x
）時，就無收入，而總成本就只剩固定成本（指無關生產量
但必須花費的成本，如行政費
……
等），請問公司每月虧損多少元？
(2)
若老闆堅持繼續營運，照顧員工生計，但公司接單方式有以下兩個方案：
方案 A ：繼續接單（每月虧損 500 萬元）
方案 B ：停止接單。
請問哪一個方案對公司較好（虧損少）？（請詳細說明理由）
答：
(1)
1千萬元
(2)
方案 A
解：
(1)
當
0
=
x
，
1
=
C
，表虧損1千萬元
(2)
若繼續接單，則虧損500 萬元
20.
（承
18.
題）下列哪些函數的圖形可經適當平移後和
d
cx
bx
ax
C
+
+
+
=
2
3
的圖形重合？
（多選題）
(1)
3
3
+
+ x
x
(2)
x
x
+
3
(3)
x
x
−
3
(4)
3
3
−
− x
x
(5)
3
3
−
−
−
x
x
。
答：
(1)(2)