1
新竹區高中 113 年(112 學年度)
高三上 學測模擬考數學(數 A)試題
俞克斌老師編寫
第壹部分：選擇(填)題
一、單選題
1. 已知三次函數
( )
12
21
9
2
3
−
+
−
=
x
x
x
x
f
的函數圖形有對稱中心，則下列何者為此圖形
的對稱中心？
(1)
(
)
12
,
0
−
(2)
(
)
3
,
3
−
(3)
(
)
43
,
1
−
−
(4)
( )
1
,
1
(5)
(
)
2
,
2
答： (2)
解：
( ) (
)
(
)
3
3
6
3
3
−
−
−
−
=
x
x
x
f
，對稱中心
(
)
1
,
3
−
2. 若點
(
)
b
a ,
在函數
x
y
2
log
=
的圖形上，則下列敘述何者正確？
(1)
b
a
1
,
在函數
x
y
2
1
log
=
的圖形上
(2)
(
)
1
,
−
b
a
和
(
)
b
a ,
4
所形成的線段與
x
y
2
log
=
的圖形有相交
(3)
(
)
b
a ,
和原點所形成的直線斜率必小於 2
(4)
(
)
b
a ,
可能是第二象限的點
(5)
(
)
b
a ,
可能同時在
x
y
2
=
的圖形上
答： (3)
解：
(
)
x
y
b
a
2
log
,
=
∈
⇒
a
b
2
log
=
(1)應為
(
)
x
y
b
a
2
1
log
,
=
∈
−
(2)
a
b
2
log
1
<
−
且
a
b
4
log
2
<
，表
(
)
1
,
−
b
a
，
(
)
b
a ,
4
在
x
y
2
log
=
同側
(3)
x
y
= 與
x
y
2
log
=
無交點，故斜率必 1
< ，也必 2
<
(4)
a
必為正，故不合
(5)
x
y
2
=
與
x
y
2
log
=
無交點，故不合
3. 已知 a 、 b 為整數，若不等式
>
−
≤
−
0
5
0
3
b
x
a
x
的整數解為 2、3、4、5，則
b
a
+ 不可能為下列
何者？
(1) 27 (2) 26 (3) 25 (4) 24 (5) 23
答：(1)
解：
26
,
25
,
24
,
23
,
22
,
21
,
20
10
5
18
15
2
5
1
6
3
5
=
+
⇒
<
≤
<
≤
⇒
<
<
≤
<
≤
≤
b
a
b
a
x
b
a
x
2
4. 玩家想要設定一組讓其他人進入遊戲空間的密碼，已知密碼設定須滿足兩個條件：
(
ⅰ)密碼須為 3 位以上（含）的正整數；
(
ⅱ)數字須由左而右愈來愈小。
試問設定密碼的選擇有幾種？
(1) 84 種 (2)120 種 (3) 967 種 (4) 968 種 (5) 999 種
答： (4)
解：
10
2
10
1
10
0
10
10
10
10
5
10
4
10
3
2
C
C
C
C
C
C
C
−
−
−
=
+
+
+
+
968
45
10
1
1024
=
−
−
−
=
5. 在坐標平面上一點 C 與
(
)
0
,
0
O
及直線
5
4
3
=
+ y
x
上任一點 P ，恆有 OP
E
A
⋅
A
OC
E
A
10
=
，
則 C 點在下列哪一條直線上？
(1)
10
4
3
=
+ y
x
(2)
10
5
2
−
=
− y
x
(3)
14
=
+ y
x
(4)
5
2
=
− y
x
(5)
10
3
4
=
− y
x
答：(3)
解：
(
) (
)
(
) (
)
10
,
8
,
6
5
,
4
,
3
5
4
3
=
⋅
⇔
=
⋅
⇔
=
+
y
x
y
x
y
x
而
(
)
∈
8
,
6
(3)
14
=
+ y
x
二、多選題
6. 令
( )
x
x
x
f
cos
sin
−
=
，請選出正確的選項。
(1)
( )
x
f
y
=
是週期為
π
2
的函數
(2)若
6
5
0
π
≤
≤ x
，則
( )
x
f
的最大值為
2
(3)若
6
5
0
π
≤
≤ x
，則
( )
x
f
的最小值為
2
−
(4)
( )
x
f
y
=
的圖形可由
x
y
sin
2
−
=
經過適當（左右、上下）平移得到
(5)鉛垂線
4
π
=
x
為
( )
x
f
y
=
圖形的對稱軸
答： (1)(2)(4)
解：
( )
−
=
−
=
4
sin
2
cos
2
1
sin
2
1
2
π
x
x
x
x
f
(1)週期
π
2
(2)(3)
6
5
0
π
≤
≤ x
⇒
12
7
4
4
π
π
π
≤
−
≤
−
x
⇒
1
4
sin
2
2
≤
−
≤
−
π
x
⇒
( )
2
1
≤
≤
−
x
f
(4)向右平移
4
π
π
+
(5)
0
4
=
π
f
，不為對稱軸
3
7. 已知直線
1
L
：
1
2
3
=
− y
x
，
2
L
：
0
1
2
=
+
+ ky
x
，
3
L
：
2
−
+
=
m
mx
y
，
若
1
L
與
2
L
平行，則下列哪些選項正確？
(1)
3
4
−
=
k
(2)
3
L
必過
(
)
2
,
1
−
(3)若
1
L
與
3
L
互相垂直，則
3
2
−
=
m
(4)
1
L
與
3
L
必不相交
(5)
1
L
與
2
L
的距離為
13
13
2
答： (1)(3)
解：
2
1
// L
L
⇒
2
L
：
0
1
3
4
2
=
+
−
y
x
且
(
)
26
13
5
4
6
2
3
,
2
2
2
1
=
+
+
=
L
L
d
3
L
：
(
)
(
)
1
2
+
=
+
x
m
y
，表過
(
)
2
,
1
−
−
若
3
1
L
L
⊥
⇒
3
2
−
=
m
，此時
1
L
、
3
L
必相交
8. 上一屆奧運賽場上，臺灣選手表現優異屢屢得牌，以郭婞淳舉重項目而言，也讓更多人想
要接觸舉重。下表為舉重協會為素人選手舉辦的比賽成績，分為抓舉重量
( )
X
以及挺舉重
量
( )
Y
，令 X 的平均為
x
µ
，標準差為
x
σ
，Y 的平均為
y
µ
，標準差為
y
σ
， X 與Y 的相
關係數為 r 。已知
36
=
x
µ
，
5
4
=
x
σ
，以及Y 對 X 以最小平方法所得的迴歸直線方程
式為
2
27
8
9
+
=
x
y
，請選出正確的選項。
抓舉 X
35
35
34
37
39
挺舉Y
53
51
a
b
59
(1)
54
=
y
µ
(2)
54
<
b
(3)
b
a
> (4)
1
<
x
y
σ
σ
(5)
75
.
0
=
r
答： (1)(2)(3)(5)
解：
(
)
54
2
27
8
9
,
36
=
→
+
=
∈
=
y
y
x
x
x
y
µ
µ
µ
µ
i
x
i
y
x
i
x
µ
−
y
i
y
µ
−
(
)
x
i
x
µ
−
(
)
(
)
y
i
x
i
y
x
µ
µ
−
−
35
53
1
−
1
−
1
1
35
51
1
−
3
−
1
3
34
a
2
−
54
−
a
4
108
2
+
− a
37
b
1
a
−
53
1
53
+
− a
39
59
3
5
9
15
a
b
−
=
−
53
54
16
=
∑
180
3
+
−
=
∑
a
16
180
3
8
9
+
−
=
=
a
m
⇒
54
=
a
，
53
=
b
4
( )
( )
( )
5
6
5
1
0
3
1
5
1
2
2
2
3
2
=
+
−
+
+
−
+
−
=
y
σ
⇒
1
2
3
5
4
5
6
>
=
=
x
y
σ
σ
x
y
r
m
σ
σ
×
=
⇒
2
3
8
9
×
= r
⇒
4
3
=
r
9. 若
( )
c
bx
ax
x
f
+
+
=
2
，且
( )
0
1
=
f
，
( )
( )
2
6
2
=
=
−
f
f
，則下列哪些選項正確？
(1)當
2
=
x
時，
( )
x
f
有最大值
(2)
0
>
+
−
c
b
a
(3)此函數圖形的對稱軸為
2
=
x
(4)
( )
x
f
除以
(
)(
)
6
2
−
+
x
x
的餘式為 2
(5)
( )
x
f
除以
(
)(
)
2
1
+
−
x
x
的餘式為
3
2
答： (2)(3)(4)
解：
( ) (
)
k
x
a
x
f
+
−
=
2
2
( )
( )
( )
2
16
6
2
0
1
=
+
=
=
−
=
+
=
k
a
f
f
k
a
f
⇒
15
2
=
a
，
15
2
−
=
k
(1)應為最小值 (3)正確
(2)
( )
(
)
+
−
=
−
−
=
3
4
15
2
15
2
2
15
2
2
2
x
x
x
x
f
⇒
15
16
=
+
−
c
b
a
(4)
( )
2
15
2
12
4
2
+
×
−
−
=
x
x
x
f
(5)
( )
( ) (
)
+
−
+
×
−
−
=
+
−
+
−
+
=
3
2
2
15
2
2
5
5
1
2
15
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
f
10. 坐標平面上有一正八邊形 ABCDEFGH ，請選出正確的選項。
(1)若 AP
E
A
=
A
AB
E
A
2
1
+
A
BC
E
A
，則 P 點在
BC
邊的中點
(2)若 AQ
E
A
=
A
AB
E
A
2
+
A
AH
E
A
，則 Q 點在正八邊形的外部
(3)若 R 為平面上的任一點，則 AR
E
A
可表示成 x
A
BC
E
A
y
+
A
HE
E
A
，其中 x 、 y 為實數
(4)
EFG
EAG
∠
=
∠
sin
sin
(5)
GFD
GD
EAD
ED
∠
=
∠
sin
sin
答：(1)(4)(5)
解： (1) AP
= AB
2
1
+
AC
−
AB
⇒ AP
2
1
=
AB
+
AC
(2) 2
EA
|
|
AH
E
A
<
AAEA
|
|
BG
E
A
，故仍在內部
(3)
A
BC
E
A
//
A
HE
E
A
，不可為基底
(4)
°
=
∠
+
∠
180
EFG
EAG
，成立
(5)正弦定律
5
三、選填題
11. 有一遊戲規則為：袋中有 1 號、2 號、3 號、
、9 號球各一個，
由袋中任抽兩球，每球被抽出的機率相同。若兩球的號碼，在右方
的看板上，為同行不相鄰或同列不相鄰，則可以得到兩個格子內金
額的獎金；否則沒有獎金，例如：抽到 6 號、8 號則可得到
8
6
+ 元，
抽到 1 號、9 號得到 0 元，則玩此遊戲一次所得獎金的期望值
為 元。(化為最簡分數)
答：
18
29
解：
( )
[
]
18
29
36
58
5
16
9
7
14
7
1
9
2
=
=
+
+
+
+
+
=
C
X
E
12. 曉華在一直角坐標平面上玩射擊遊戲，若她在
(
)
4
,
2
−
P
的位置手持雷射槍射到
(
)
2
,
0
Q
後，以 y 軸當鏡面反射，則反射後會射中位於 的目標。
答：
(
)
6
,
8
−
−
解： 反射光為
0
2
=
+
− y
x
，過
(
)
6
,
8
−
−
13. 某銀行的信用卡循環利息為年利率10% 並且每年以複利計息一次，若刷卡刷了一筆款項後
一直沒有繳卡費，則在不計額外產生的違約金的情況下，至少需要 年所欠繳的卡費
會超過原本刷卡金額的兩倍。
答： 8
解：
(
)
2
%
10
1
>
+
n
2
log
1
.
1
log
>
⇒ n
2
.
7
0414
.
0
3010
.
0
≒
>
⇒ n
14. 設一等差數列
n
a
首項為 20，公差為 3
− ，
則
=
+
+
+
+
+
20
19
3
2
1
a
a
a
a
a
。
答： 324
解：
(
)( )
0
3
1
20
>
−
−
+
=
n
a
n
7
3
23
≒
<
⇒ n
( )
2
3
6
20
7
=
−
+
=
⇒ a
( )
1
3
7
20
8
−
=
−
×
+
=
a
，
( )
37
3
19
20
20
−
=
−
+
=
a
所求
(
)
(
)
324
247
77
2
13
37
1
2
7
2
20
=
+
=
×
+
+
×
+
=
15. 若一個三角形的高分別為
4
1
、
6
1
、
8
1
，則以
6
1
為高的底邊長為 。
答：
15
15
解：
2
1
8
1
2
1
6
1
2
1
4
1
×
×
=
×
×
=
×
×
=
∆
c
b
a
4
:
3
:
2
:
:
=
⇒
c
b
a
令
t
a
2
=
，
t
b
3
=
，
t
c
4
=
(
)
t
c
b
a
S
2
9
2
1
=
+
+
=
⇒
5
9
2
8
1
6
4
7
3
6
2
1
4
1
2
2
2
3
2
5
2
9
×
×
=
×
×
×
=
∆
t
t
t
t
t
15
3
1
=
⇒ t
15
1
3
=
=
⇒
t
b
16. 已知兩平行線
0
2
=
+
−
m
y
x
與
0
2
=
+
−
n
y
x
將圓 C ：
(
)
10
1
2
2
=
−
+ y
x
的圓周四等分，
則
=
+ n
m
。
答： 4
解：
(
)
(
)
5
0
2
,
1
,
0
=
=
+
−
k
y
x
d
5
5
2
=
−
⇒
k
7
=
⇒ k
或 3
−
⇒ 兩線為
0
7
2
=
+
− y
x
或
0
3
2
=
−
− y
x
17. 紅色、藍色、黃色卡片各有 6 張，每組相同顏色的 6 張卡片分別寫有號碼 1 到 6。
將這 18 張卡片裝進一個袋子裡，一次取出三張卡片，每張卡片被取出的機率相同，
則取出的三張卡片上的號碼連續的機率為 。（化為最簡分數）
答：
68
9
解：
68
9
3
4
18
3
3
=
×
C
第貳部分：混合題或非選擇題
18-20 題為題組
棒球比賽時，打擊者站在投手的南方 16 公尺處，短打擊中了投手所投出的球，此球從打
擊者位置保持以每秒 5 公尺的速度往東
°
30 北直線等速滾過去，若已知投手跑步最快的速度
是每秒
x
公尺，試回答下列問題：
18. 若投手想跑最短距離去接球，則他應該往何種方向跑去？（單選題）
(1)東
°
60 北 (2)東
°
30 北 (3)東
°
60 南 (4)東
°
30 南 (5)正東方
答： (3)
解：
19. 承 18.題，此時
x
至少要多少才能接住球？
答：
3
5
20. 若投手實際跑步最快的速度是每秒 7 公尺，則此投手最快幾秒可以接到球？
答： 2
解：
( )
( )
t
t
t
5
16
2
7
5
16
60
cos
2
2
2
×
×
−
+
=
°
2
=
⇒ t
，
3
16
−
(不合)