1
新竹
新竹
新竹
新竹區
區
區
區高中
高中
高中
高中 111 學年度
學年度
學年度
學年度學測
學測
學測
學測模擬考
模擬考
模擬考
模擬考(數
數
數
數 A)試題
試題
試題
試題(111-E3)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇
選擇
選擇
選擇(填
填
填
填)題
題
題
題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
1.
當
(
)
,
P x y 在直線
3
2
5
x
y
+
=
上變動時，關於
8
4
x
y
Q
=
+
的敘述，
試問下列哪個選項是正確的？
(1)
Q 有最大值 33 ，最小值
8 2 (2)
Q 有最大值12 ，但沒有最小值
(3)
Q 沒有最大值，但有最小值
8 2 (4)
Q 沒有最大值，但有最小值12
(5)
Q 沒有最大值也沒有最小值
2.
在平面上 A 、 B 、 C 、 D 四點中任意找三點組成三角形，已知
AB
(
)
3
,
2
=
，
CB
(
)
4
,
2
−
=
，
DC
(
)
2
,
3
=
，則其中最大三角形面積為多少？
(1)
8
(2)
9
(3)
11
(4)
14
(5)
16
3.
設
n
a
為等差數列，若對所有的正整數
n
，點
(
)
,
n
n
a b
皆在
3
x
y
=
的圖形上，且點
13
9
1
,
81
a
b
亦為
3
x
y
=
圖形上的一點，則此等差數列的公差為多少？
(1)
3
−
(2)
2
−
(3)
1
−
(4)
0
(5)
1
4.
右圖為一個以
3
=
AB
為直徑的圓，若
Q
為圓周上的動點，試求
BQ
AQ
3
4
+
的最大值為多少？
(1)
10
(2)
15
(3)
2
5
(4)
2
10
(5)
2
15
5.
有一組皆為整數的8 筆資料，其中最大的數值為 2022 ，資料的全距為12 ，則此組資料
的變異數最小可能值為多少？
(1)
36
(2)
25
(3)
16
(4)
9
(5)
4
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
6.
下表是臺灣在 2017 年至 2022 人的人口相關統計資料，
試根據此統計資料選出正確的選項。
(1)
從 2017 年至 2022 年的男性人口數逐年遞減
(2)
就 65 歲以上人口數而言， 2022 年比 2017 年增加不到100 萬人
(3)
從 2020 年至 2022 年的死亡人數皆高於出生人數
(4)
從 2017 年至 2022 年的
14
0
～ 歲人口數和西元年分為負相關
(5)
扶老比的定義為 65 歲以上人口數除以
64
15
～
歲人口數的百分比，則從 2017 年至 2022
年的扶老比逐年遞增
RA395
2
7.
如圖，一等腰
ABC
∆
，
13
AB
AC
=
=
，
10
BC
=
， D 為
ABC
∆
內部一點，
BD
CD
⊥
，
8
BD
=
，
AH
為
BC
上的高，試選出以下正確的選項。
(1)
ABC
∆
的外接圓半徑為
169
24
(2)
ABD
∆
的面積為
132
5
(3)
269
5
AD
2
=
(4) BD BC
BA BC
⋅
<
⋅
(5)
48
AH BD
⋅
= −
8.
已知
( )
3
2
3
10
f x
x
x
x
= −
−
+
的對稱中心與另一實係數二次函數
( )
g x 的頂點重合，且
( )
0
11
g
= −
，試選出以下正確的選項。
(1)
( )
f x 的圖形與
x
軸恰交於一點
(2)
( )
g x 除以
1
x
− 的餘式為 8
−
(3)
( )
0
g x
≤ 的整數解一共有 6 個
(4)
令
( )
( )
( )
h x
f x
g x
=
−
，則
( )
h x 可被
1
x
− 整除
(5)
( )
f x 在
1
x
= − 附近的一次近似為
13
1
y
x
=
+
9.
已知
( )
d
x
x
x
f
+
+
+
=
6
2
cos
2
2
sin
2
π
，其中 d 為實數，已知
( )
x
f
的最小值為 5
− ，
試選出以下正確的選項。
(1)
3
−
=
d
(2)
( )
x
f
的最大值為 5
(3)
( )
x
f
的週期為
π
4
(4)
( )
x
f
y
=
的圖形與
2
−
=
y
的圖形在區間
[
]
π
,
0
有兩個交點
(5)
已知
(
)
b
a ,
在
( )
x
f
的圖形上，則
−
b
a ,
3
π
也在
( )
x
f
的圖形上
10.
如圖， ABCDE 五點所圍出的封閉區域為 Ω ，其中
(
)
0,1
A
、
(
)
4, 3
B
、
( )
8,1
C
、
(
)
4, 7
D
、
(
)
0, 9
E
，且 A 、 B 、 C 三點在圓
Γ
上，
試選出以下正確的選項。
(1)
封閉區域 Ω 為
(
)
(
)
2
2
4
2
25
2
18
3
2
26
x
y
x
y
x
y
−
+
+
≥
+
≤
+
≤
(2)
設 L 為過圓
Γ
上 C 點之切線，則 D 、 E 兩點在 L 的異側
(3)
封閉區域 Ω 的面積 40
<
(4)
設 P 為區域 Ω 內一點
(
含邊界
)
，則 P 點到直線
4
3
40
x
y
−
= −
的最短距離為 3
(5)
設
(
)
,
Q a b 為區域
Ω 內一點
(
含邊界
)
，則
(
)
(
)
2
2
4
6
a
b
+
+
−
的最大值為13 。
11.
右圖是高雄流行音樂中心在高音塔建築外觀的平面
示意圖。在假設圖中每個小正三角形的邊長為1的前
提下，請選出正確的選項。
(1)
°
=
∠
90
CAB
(2) AB
在
AC
上的正射影為
4
1
−
AC
(3) |
|
AB t AC
+
的最小值為
2
11
(4)
若
3
4
5
5
AP
PC
PB
=
+
，則 P 在
ABC
∆
的內部
(5)
承
(4)
，若
3
4
5
5
AP
PC
PB
=
+
，則
APC
∆
的面積
ABC
∆
⋅
=
4
1
的面積
3
三
三
三
三、
、
、
、選填題
選填題
選填題
選填題(占
占
占
占 30 分
分
分
分)
12.
曉明自製了一組共
21
張的卡牌，其中紅色、黃色和藍色的卡牌各有
7
張，每種顏色的卡
牌上各標記了
1
到
7
號。將這
21
張卡牌隨機弄混順序以後，同時取出三張卡牌。假設每
張卡牌被取出的機率相等，則這三張卡牌上的號碼為連續三整數的機率是
。
(
化為最簡分數
)
13.
如圖， ABCD 為一圓內接四邊形，其中
AB
為直徑，
AC
為
DAB
∠
的角平分線，若
6
=
AD
，
8
=
DB
，則
=
CD
。
(
化為最簡根式
)
14.
如上所示，設
n
a
表示
n n
×
方格內數字的總和且
( )
1
n
n
a
a
f n
−
=
+
，
則
( )
7
6
a
f
−
= 。
15.
已知 ABCD 為平面上一凸四邊形，此四點的極坐標表示法分別為
[
]
0, 0
A
、
[
]
4,
B
α
、
2 19, 0
C
、
[
]
4,
D
β
，其中 0
2
π
α
≤
≤
，若
2
3
ABC
π
∠
=
且
3
BAD
π
∠
=
，
則 ACD
∆
的面積為 。
(
化為最簡根式
)
16.
某科技大廠預計在年終尾牙舉辦加碼抽年終獎金的活動，規則如下：
抽獎者丟擲一次
各面點數為
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
的公正骰子，按照骰子擲出的數字，
讓動點 P 在 xy 平面上移動，假設 P 從原點出發，
(1)
若骰子出現的數字為偶數，則動點 P 向右移動一個單位，
如為奇數則向左移動一個單位。
(2)
若骰子出現的數字為質數，
則動點 P 向上移動一個單位，如為非質數則向下移動一個單位。
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
A
時，可獲得加碼的年終獎金
9000
元，
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
−
B
時，可獲得加碼的年終獎金
6000
元，
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
−
−
C
時，可獲得加碼的年終獎金
3000
元，
當點 P 移動到
(
)
1
,
1
−
D
時，可獲得加碼的年終獎金
0
元，
則抽獎者參與遊戲一次可獲得額外加碼的年終獎金
期望值為
元。
17.
曉東想利用圓內接正六邊形及其正六角星製造出一美麗徽章，如圖
(
四
)
所示，其方法為
4
(1)
畫出第一個正六角星，並將其塗成黑色，如圖
(
一
)
。
(2)
畫出第二個正六角星，並將其塗成白色，如圖
(
二
)
。
(3)
畫出第三個正六角星，並將其塗成黑色，如圖
(
三
)
。
(4)
畫出第四個正六角星，並將其塗成白色，如圖
(
四
)
。
已知此徽章的半徑為 6 公分，則此徽章黑色部分的面積為 平方公分。
(
化為最簡根式
)
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題(占
占
占
占 15 分
分
分
分)
18-19
題為題組
國家發展委員會於 2022 年 3 月正式公布「臺灣 2050 淨零排放路徑及策略總說明」，其
中的運輸項目提到預計在 2040 年電動車及電動機車市售比達
%
100
。因此政府近幾年皆有提
供電動機車的購買補助。滿18 歲的曉高為了響應淨零排放的行動，於今年8 月時購買了一臺
電動機車，電動機車與一般機車的使用習慣不同，主要的差異有兩點：
(1)
一般機車的動力來源是無鉛汽油，而電動機車的動力來源是電池。當電池沒電的時候需
至電池交換站換取新電池，電池交換站常設在加油站、便利商店外。
(2)
電池資費的計價方式是根據騎乘公里數的多寡來做選擇。
試根據以上資訊，回答下列問題：
18.
曉高目前的電池資費為甲方案，根據過去這幾個月的騎乘經驗，他每個月騎乘的里程都
超過 300 公里且少於 600 公里，試問：依據下述資費方案，當曉高每個月騎乘的里程
超過 公里時，選擇乙方案會較甲方案划算。
(
選填題，
6
分
)
資費方案
甲
乙
丙
預選里程
300
0
～
公里
600
0
～
公里
不限里程
月繳金額
500
元
800
元
1200
元
額外里程
超過
300
公里每公里
5
.
2
元
超過
600
公里每公里
5
.
1
元
無
19.
曉高想要交換 2 顆滿格的電池，根據 APP 搜尋，
來到一個共有 24 個插槽的電池交換站，看到有
2
個空插槽且其餘的 22 個插槽皆放了滿格電池，
如圖所示。交換電池的步驟如下：
(a)
將兩顆沒電的電池放入空插槽中
(b)
認證與上傳里程資料後，交換站會同時彈出兩顆
電池
(c)
將兩顆滿格電池再放回車廂則曉高在此次換電池
的過程中，同時彈出的兩顆電池在不同行且不同列的情況有多少種？
(
非選擇題，
9
分
)
RA395
新竹
新竹
新竹
新竹區
區
區
區高中
高中
高中
高中 111 學年度
學年度
學年度
學年度學測
學測
學測
學測模擬考
模擬考
模擬考
模擬考(數
數
數
數 A)試題
試題
試題
試題(111-E3)
參考答
參考答
參考答
參考答案
案
案
案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：1.
(3)
2.
(1)
3.
(3)
4.
(2)
5.
(4)
6.
(2)(3)(4)(5)
7.
(1)(2)(3)
8.
(2)(5)
9.
(1)(4)
10.
(2)(3)(5)
11.
(2)(3)(4)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：12.
266
27
13.
2 5
14.
202
15.
4 3
16.
4000
17.
80 3
3
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：18.
420
19.
151