加載中. ..
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臺北區
臺北區臺北區
臺北區 111 學年度第一學期第一次學測模擬考
學年度第一學期第一次學測模擬考學年度第一學期第一次學測模擬考
學年度第一學期第一次學測模擬考
數學
數學數學
數學 A(111-B1)
第壹部分
第壹部分第壹部分
第壹部分：
：：
：選擇題
選擇題選擇題
選擇題(占
占占
占85 分
分分
分)
一
一一
一、
、、
、單
單單
單選題
選題選題
選題(占
占占
占30 分
分分
分)
1. 小茂在計算機上依序按下 鍵，計算出
10
2
的值，接著連按了
2
次
鍵，則在面板上出現的數字最接近下列哪一個選項？
(1)
0.3
(2)
0.5
(3)
1
(4)
3
(5)
10
。
2. 已知多項式函數
(
)
3 2
9 23 14
f x x x x
= − + −
，則
(
)
y f x
=的圖形在
2
x
=
附近的一次近似直
線斜率為下列何者？
(1)
4
−
(2)
1
−
(3)
1
(4)
3
(5)
23
。
3. 已知兩直線
1
L
：
5 12 60
x y
+ =
、
2
L
：
12 5 60
x y
+ =
，則下列哪一個選項之直線與
1
L
、
2
L
所
圍出的三角形面積最大？
(1)
1
M
：
3 4 10
x y
− = −
(2)
2
M
：
3 4 5
x y
− = −
(3)
3
M
：
3 4 0
x y
− =
(4)
4
M
：
3 4 5
x y
− =
(5)
5
M
：
3 4 10
x y
− =
。
4. 右圖的長方體是由六個大小相同的小正立方體所組成，
請問由頂點
A
沿著正立方體的稜邊走捷徑(僅能向右「→」
、向下「↓」、向後「↗」)到頂點
B
的走法有幾種？
(1)
20
種 (2)
36
種 (3)
54
種 (4)
60
種 (5)
72
種。
5. 現有兩個糖果盒
A
、
B
，當中各有
3
顆糖果。你以均等機會隨機選一個盒子並吃掉當中的
一顆糖果，重複這個過程直到你吃掉其中一個盒子的最後一顆糖果為止。假設停止時另
一個盒子裡恰有
X
顆糖果，則
X
的期望值為何？
(1)
3
2
顆 (2)
8
5
顆 (3)
5
3
顆 (4)
15
8
顆 (5)
2
顆。
6. 某大學○○系隨機觀察了
3
名學生
A
、
B
、
C
的
「大學畢業成績(分)」與入學時「學測科目成績
(級分)」如附表，請問下列哪個「學測科目成績」
與「大學畢業成績」的相關係數最大？
(1)國文 (2)英文 (3)數學
(4)社會 (5)自然。
二
二二
二、
、、
、多選題
多選題多選題
多選題(占
占占
占30 分
分分
分)
7. 在坐標平面上，
ABC
∆
三個頂點的坐標分別為
(
)
0,3
A、
(
)
2,0
B、
(
)
4,1
C。
試選出正確的選項。 (1)
sin sin
A C
<
(2)
1
cos
5
B
=
(3)
ABC
∆
為銳角三角形
(4)令
D
為
AC
上的點且
BD AC
⊥，則sin
AC BD
B
AB BC
×
=× (5)
ABC
∆
的外接圓半徑為
5 13
8
。
8. 已知多項式函數
(
)
3 2
f x x ax bx c
= + + +
滿足
(
)
(
)
1 2 3
f f
= =
且
(
)
1 3
f
− = −
。試選
出正確的選項。 (1)
(
)
f x
的各項係數和為
3
(2)
(
)
f x
除以
(
)
2
x
−
的餘式為
3
(3)
(
)
f x
的常數項為
3
−
(4)
(
)
(
)
1
x f x
+除以
(
)
1
x
−
的餘式為
3
(5)
(
)
y f x
=圖形的對稱中心為
(
)
1,3
。
A
B
C
大學畢業成績
90 80 70
學測國文成績
11 14 10
學測英文成績
12 11 13
學測數學成績
13 9 12
學測社會成績
14 12 11
學測自然成績
10 13 14
RA292
2
9. 下列方程式中，請選出有實數解的選項。 (1)
2 3 1
x x
+ + − =
(2)
2 3 6
x x
+ + − =
(3)
2 3 1
x x
+ − − =
(4)
2 3 6
x x
+ − − =
(5)
2 3 1
x x
+ − − = −
。
10.如圖，設計師預計於相距
100
公尺的
A
、
B
兩地建造一個
半圓形拱橋，並於水平橋面
AB
上每間隔
x
公尺的距離豎立
一根鋼柱至拱橋頂端，鋼柱與拱橋頂端的接點為
1
P
，
2
P
，
3
P
，……，
n
P
。試選出正確的選項。
(1)若
5
x
=
，分別從
A
、
B
兩地朝第
11
根鋼柱與拱橋頂端
接點
11
P
拉繩並綁緊成直線，則
11
90
AP B
∠ = °
(2)若
5
x
=
，則自
A
地算起的第
3
根鋼柱與第
6
根鋼柱高度
相同 (3)「
4
x
=
時，自
A
地算起的第
9
根鋼柱高度」比
「
5
x
=
時，自
A
地算起的第
8
根鋼柱高度」還要低
(4)欲使某一根鋼柱高度為
25 3
公尺，則
X
的值可為
5
(5)相鄰兩鋼柱與拱橋頂端的接點距離皆相同，即 1 2 2 3 1
n n
PP P P P P
−
= = =
⋯⋯
。
11.心血管系統把血液輸送至全身各處，系統運作要能減少心臟打出血液所需能量，特別是
降低血管阻力。根據帕醉定律(Poiseuille’s law)，血液流經血管所產生的阻力
R
和流經血
管長度
L
成正比，和血管半徑
r
的四次方成反比，
亦即
4
L
R
r
λ
= ⋅
，其中
λ
為一正值常數。如下圖，
一條半徑為
1
r
的主血管，及一條與主血管夾角為
θ
、半徑為
2
r
的較小分支血管，且經證明，當
4
2
4
1
cos
r
r
θ
=
時，血液流過
AB
段和
BC
段所產生的
血管阻力總和為最小。若
0.25
1
10
r=，
0.75
2
2
r=，
20
a
=
，
12
b
=
，其中
a AD
=，
b CD
=，且
AD CD
⊥，若在血液流過
AB
段和
BC
段所產
生的血管阻力總和為最小的情形之下，則下列選項哪些正確？(1) 4
2
8
r
=
(2)
4
cos
5
θ
=
(3)
20
BC
=
(4)
4
AB
=
(5)血液流過
AB
段和
BC
段所產生的血管阻力總和為
2.9
λ
。
12.給定一圓心
(
)
3, 1
A
−
，半徑為
2
的圓
C
，與一直線
L
：
y mx
=
，其中
0
m
<
；已知直線
L
和圓
C
相交於
P
、
Q
兩點，以點
P
、
Q
為切點的兩切線互相垂直於
R
點。試選出正確的
選項。 (1)
PAQ
∆
的面積為
4
(2)在圓
C
上有
4
個點到直線
L
的距離等於
1
(3)
1
7
m
= −
(4)
(
)
1, 3
R
−
(5)
PQR
∆
的外接圓為
( ) ( )
2
2 2 2
x y 2
− + + =
。
三
三三
三、
、、
、選
選選
選填題
填題填題
填題(占
占占
占25 分
分分
分)
13.已知有一組數據
(
)
,
i i
x y
，
1, 2, ,10
i
=
⋯
，其中
x
、
y
的算術平均數分別為
8
、
5
，且
x
和
y
的相關程度為高度相關，若
y
對
x
的最適直線通過點
(
)
3, 2
，則當
22
x
= −
時可
預測
y
=
。
14.將任意數量的士兵棋子，放置於
3 3
×
的棋盤上，如圖，每個格子至多
只能放一個士兵，且放完後使得每行與每列都有奇數個士兵，則共有
種不同的放置情形。
3
15.已知
(
)
,
B x y
為坐標平面上異於
(
)
0,0
O，
(
)
4, 2
A的點，且
90
OBA
∠ = °
， 則滿足此條件
之格子點(
(
)
,
B x y
坐標皆為整數的點)共有 個。
16.已知
A
、
B
兩點的極坐標為
[
]
4,
A
α
、
[
]
2,
B
β
，其中
90 180
α
° ≤ ≤ °
、
45 0
β
− ° ≤ ≤ °
。若
A
、
B
兩點之斜率的最小值為
a
，最大值為
b
，則
a b
+ =
。(化為最簡根式)
17.設
(
)
f x
，
(
)
g x
皆為實係數多項式，其中
(
)
y f x
=的首項係數為 1，
(
)
y g x
=的圖形
為開口向上的拋物線，已知
( )
(
)
2
g x
和
(
)
g x
分別除以
(
)
f x
的餘式皆為
1
2
x
，則
不等式
(
)
0
f x
≤
的整數解有 個。
第貳部分
第貳部分第貳部分
第貳部分：
：：
：混合題或
混合題或混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題非選擇題
非選擇題
18-20 題為題組
根據自然期刊網站（https://doi.org/10.1038/s41427-020-0201-3）刊載文章指出，研究學
者利用 STM 顯微鏡發現，在石墨分子上所形成的 chiral Kagomé
α
−
納米結構，是 Baravelle
Spiral 三角三聚體。
觀察下圖，他們是在不同的正多邊形中製造 Baravelle Spiral（螺線的一種）的方式。
圖(一)～(四)分別是正三、四、五、六邊形，今在每個正多邊形中以其各邊的中點為頂點，
再連成新的小正多邊形，依照此規律一直持續進行，黑灰色部分可視為 Baravelle Spiral 所分
割出的圖形。例如圖(一)中Baravelle Spiral 可分割出面積相等的三塊圖形： 。
18.圖(二)中共有
7
個由大至小的正方形，假設其中最大的正方形面積為
S
，最小的正方形
面積為
T
，且圖(二)中灰色區域的面積為
S mT
n
−
，則數對
(
)
,
m n
=
。
(選填題，3分)
19.觀察圖(三)的灰色區域，它是由
8
個由大至小的等腰三角形所組成，若他們的面積可形成
一個等比數列，求此等比數列的公比。(非選擇題，6分)
20.若圖(四)中最大的正六邊形面積為
6
，試求其灰色區域的
5
個等腰三角形的面積和。
(非選擇題，6分)
4
RA292 臺北區
臺北區臺北區
臺北區 111 學年度第一學期第一次學測模擬考
學年度第一學期第一次學測模擬考學年度第一學期第一次學測模擬考
學年度第一學期第一次學測模擬考數學
數學數學
數學 A(111-B1)
參考答案
參考答案參考答案
參考答案
選擇題
選擇題選擇題
選擇題：
：：
：1. (2) 2. (2) 3. (5) 4. (4) 5. (4) 6. (4) 7. (1)(4)(5) 8. (1)(2)(5) 9. (2)(3)(5)
10. (1)(3)(4) 11. (1)(2)(3)(4)(5) 12. (4)(5)
選填題
選填題選填題
選填題：
：：
：13.
13
−
14. 16 15. 6 16.
1 2 2
− − 17. 3
混合題
混合題混合題
混合題：
：：
：18. (1, 4) 19.
3 5
8
+ 20.
781
1024