1
臺北區 112 學年度第一學期第一次學測模擬考數學 A(112-B1)
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 30 分)
1. 已知
n
a
為公差不為 0 的等差數列、
n
b
為公比不為 1 的等比數列，且
0,
0
n
n
a
b
>
> ，其
中 n 為任意正整數，則下列各數列，有幾個是等差數列？
〈2
n
a ＋3〉，〈
4
n
a
〉，〈log
n
a 〉，〈log
n
b 〉，
1
n
n
b
b
+
(1)1 個 (2)2 個 (3)3 個 (4)4 個 (5)5 個
2. 考慮函數 ( )
2 sin
2 cos
6
f x
x
x
π
=
+
−
，其中
4
2
3
x
π
π
≤ ≤
，若 ( )
f x 的最大值為m，最小值為
n，則數對(m, n)為下列何者？(1) (2, 1)
− (2) (2,
3)
−
(3) (2, 3) (4) ( 3, 1)
− (5) ( 3,
3)
−
3. 設 ( )
f x 是一個二次函數，已知
2
(
4) (
1)
( )
x
f x
x
x
xf x
+
− =
+ +
，則 (1) ?
f
=
(1)
1
− (2) 0 (3) 1 (4) 2 (5) 3
4. 蒐集數據資料時，有時會出現與其他數據有較大差異的數值，統計學上稱這樣的數值為
極端值，又稱為離群值(outlier)。極端值有時會嚴重影響許多統計值，使結果有所誤差。
判斷極端值的方式有許多學者提出不同說法，其中有一種是：「先將數據標準化後，將
數值大於3或小於－3的數據視為極端值。」
下表為某餐廳過去20週漢堡的銷售量(單位：個)：
已知蟹老闆想透過上表數據做出漢堡銷售對策，他希望可以找到極端值並考慮刪除，
請問：若使用上述的方式判斷極端值，這20週中大約有多少筆極端值？
(已知過去20週漢堡的平均銷售量μ＝80個，標準差σ近似於100個)
(1) 0筆 (2) 1筆 (3) 2筆 (4) 3筆 (5) 4筆
5. 設坐標空間中由三向量 AB
， AC
， AD
所決定的平行六面體，其體積為10，已知
A(0, 0, 0)，B(2, 1, －2)，C(1, 3, 1)，D(a, b, c)，則下列選項何者正確？
(1)
2
1
2
1
3
1
10
a
b
c
−
=
(2) 7
4
5
10
a
b
c
−
+
= − (3) 點(3, 4, 1)在平面ABC上
(4) 此平行六面體的其中一面可能落在平面7x－4y＋5z＝±10上
(5) 直線
1
7
4
5
x
y
z
+
=
=
−
與平面ABC平行
二、多選題(占 30 分)
6. 已知兩實係數方程式
Γ
：
2
2
4
2
5
2
0
x
y
mx
my
m
+
+
−
+
− = ，L： 3
4
10
0
x
y
−
+
= ，試選出正
確的選項。 (1) 不論 m 為任何實數，方程式
Γ
的圖形恆為一圓
(2) 方程式
Γ
的圖形之最小面積為
3
4
π
(3) 不論 m 為任何實數，方程式
Γ
與 L 的圖形恆
有兩個交點 (4) 方程式
Γ
與 L 的圖形可能恰交於一點 (5) 方程式 L 的圖形被方程式
Γ
的圖形所截出的線段有最大長度
週次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
銷售量
27
42
57
0
72
22
102
49
17
201
週次
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
銷售量
283
26
12
63
21
51
32
390
20
113
RA4105
2
7. 設坐標空間中有兩條相異直線
1
L 、
2
L ，已知
1
0
:
0
ax by
cz
L
dx ey
fz
+
+
=
+ + =
，
2
:
ax by
cz
m
L
dx ey
fz
n
+
+
=
+ + =
其中 m，n 均為非零實數，且 a，b，c，d，e，f 均為實數，試選出正確的選項。
(1) 原點(0, 0, 0)必在
1
L 上 (2) 向量(a, b, c)與向量(d, e, f)可能平行
(3) 向量(a, b, c)與向量(d, e, f)可能垂直 (4) 直線
1
L 與直線
2
L 平行
(5) 若已知
1
L 上有一點 A(6, 1, 4)，
2
L 上有一點 B(1, 0, 6)，則點 C(－2, 0, 8)必也在
2
L 上
8. 已知實係數三次函數
3
2
( )=
f x
ax
bx
cx
d
+
+
+ ，其中
0
a
> ，且 ( )
f x 除以
3
(
1)
x
−
的餘式為
3x＋1。試選出正確的選項。 (1)
( )
y
f x
=
圖形的對稱中心為(1,1)
(2)
( 3
)
(5
)
8
f
f
π
π
− −
+
+
= (3)
( )
y
f x
=
的圖形與 x 軸不可能會有 3 個交點
(4)
( )
y
f x
=
在對稱中心附近的一次近似為 y＝3(x－1)
(5)
( )
y
f x
=
的圖形與直線 y＝5x－1 恰有 1 個交點
9. 設坐標平面上有一個線性變換的二階方陣 A，且
8
1
0
0
1
A
=
。試選出可能是 A 的選項。
(1)
1
1
2
2
1
1
2
2
−
(2)
cos 22.5
sin 22.5
sin 22.5
cos 22.5
−
(3)
1
0
0
1
−
−
(4)
cos 240
sin 240
sin 240
cos 240
−
(5)
1
1
2
2
1
1
2
2
−
10. 已知△ABC 為銳角三角形，試選出正確的選項。
(1) sin
sin
sin
A
B
C
+
<
(2)
2
2
2
1 cos
cos
cos
C
A
B
+
>
+
(3) 1 cos 2
cos 2
cos 2
C
A
B
+
>
+
(4) sin
cos
A
B
>
(5) sin
sin
sin
cos
cos
cos
A
B
C
A
B
C
+
+
>
+
+
11. 某 AI 人臉辨識系統進行人臉辨識的正確率為 90%，且每次的辨識結果互不影響。現將
AI 人臉辨識系統安裝在置物櫃內有的開關上，置物櫃編號 A、B、C 共三個櫃子，分別
為 Selina、Hebe、Ella 所有。她們三人長得特別像，經統計，若 AI 人臉辨識系統見到
Selina 時，有 90%的機率會打開編號 A 的置物櫃，打開另兩個置物櫃的機率分別為
5%，而其餘兩人利用人臉辨識系統去開置物櫃時，也有 90%的機率會打開自己的置物
櫃，打開另兩個置物櫃的機率亦分別為 5%。今擲一顆公正的骰子從三人中選一人用 AI
人臉辨識系統去開置物櫃，擲出一、二、三點選 Selina，擲出四、五點選 Hebe，擲出六
點選 Ella。試選出正確的選項。
(1) 選到 Selina 去開置物櫃的機率為
1
3
(2) 編號 A 的置物櫃被打開的機率為
9
20
(3) 已知選到 Selina 去開置物櫃，則編號 A 的置物櫃被打開的機率為
9
10
(4) 已知編號 A 的置物櫃被打開，則是選到 Selina 去開置物櫃的機率為
18
19
(5) 各置物櫃被打開的機率以編號 C 為最高
3
三、選填題(占 30 分)
12. 已知平面上一動點 P(a, b)位於第一象限，且滿足
25
6
ab
=
。則點 P(a, b)到直線
L：2x＋3y＋3＝0 的最短距離為 。(化為最簡根式)
13. 已知實數
1
a
> ，正方形 ABCD 的面積為 16，其中 AB 與 y 軸平行，且 A、B、C 分別為
函數
x
y
a
=
，
2
x
y
a
=
，
3
x
y
a
=
圖形上的點，則
2
a ＝ 。(化為最簡根式)
14. 2023 年的杭州亞運「男籃 3 對 3」項目中，中華隊逆轉強敵卡達隊摘下金牌。已知訓練
期間中華籃球協會選出共 8 位頂尖的籃球員平分為兩隊，每隊 4 人，來進行分組對抗賽
，同時每隊須選出一人擔任隊長。則由此 8 位籃球員平分成兩隊、並選出隊長的方法數
共有 種。
15. 如右圖，四邊形 OABC 為一平行四邊形。已知
5,
4
OA
OC
=
= ，
1
cos
4
AOC
∠
= ，
OA
邊上取一點 D，使得
3
OD
=
，並連接 BD 。
若過 A 點對 BD 作垂線交 BD 於 F 點，並延長 AF 交 OC 於 E 點，
則
OE
長度為 。(化為最簡分數)
16. 在△ABC 中，
12,
4
BC
AC
=
= 且
1
cos(
)
5
A B
−
= − ，則 AB = 。(化為最簡根式)
17. 設 a、b 皆為實數，則
2
2
2
(2 3
4 )
a
b
a
b
+
+ −
−
的最小值為 。(化為最簡分數)
第貳部分：混合題或非選擇題(占 15 分)
18-20 題為題組
如右圖，
,
,
OA OB OC 為長方體的三邊，D 為離 O 最遠的頂點，
設 BC
m
= 、 AC n
= 、 OD
= ，試回答下列問題：
18. 若以 m、n、
表示 AB 的長度，則 AB ＝？(單選題，5 分)
(1)
2
2
2
2
m
n
+
+
(2)
2
2
2
2
m
n
−
−
(3)
2
2
2
2
m
n
+
+
(4)
2
2
2
2
m
n
−
−
(5)
2
2
2
2
m
n
−
+
19. 承第 18.題，若 m＝5、n＝13，則
的範圍為 。(選填題，5 分)
20. 若將此長方體放置在坐標空間中，O 為原點，D 在 z 軸正向上，C 在 xy 平面上的投影點
剛好落在 x 軸正向上。已知
6
,
6
2
OA
OB
OC
=
=
=
，則 C 點的坐標為何？
(非選擇題，5 分)
4
RA4105
臺北區 112 學年度第一學期第一次學測模擬考
數學 A(112-B1)
參考答案
選擇題：1. (3) 2. (1) 3. (5) 4. (2) 5. (4) 6. (1)(2)(4) 7. (1)(3)(4) 8. (2)(3) 9. (1)(3)(5)
10. (2)(3)(4)(5) 11. (3)(4)
選填題：12. 13 13.
6
2
14. 560 15.
10
3
16.
8 70
7
17.
2
13
混合題：18.
(4)
19. 13
194
< <
20. ( 2, 0, 2)