1
臺北區
臺北區
臺北區
臺北區 111 學年度第一學期第二次學測模擬考
學年度第一學期第二次學測模擬考
學年度第一學期第二次學測模擬考
學年度第一學期第二次學測模擬考
數學
數學
數學
數學 B(111-B2)
第壹部分
第壹部分
第壹部分
第壹部分：
：
：
：選擇題
選擇題
選擇題
選擇題(占
占
占
占 85 分
分
分
分)
一
一
一
一、
、
、
、單
單
單
單選題
選題
選題
選題(占
占
占
占 35 分
分
分
分)
1. 放射性物質的半衰期 T(單位：小時)定義為每經過時間 T 小時，該物質的質量會衰退成原
來的一半。已知某放射性物質在經過 100 小時後，該物質的質量會衰退成原來的
1
8
，則
此物質半衰期 T 最接近下列哪一個選項？
(1) 25 小時 (2) 33 小時 (3) 60 小時 (4) 300 小時 (5) 400 小時
2. 設等差數列
n
a
之首項
1
11
a
=
，公差 d 為正整數，且數列的前 50 項滿足不等式
1
2
49
50
1
2
49
50
1
2
k
k
a
a
a
a
a
<
<
<
<
<
<
⋯⋯
，試問有多少個 d 滿足此條件？
(1) 6 個 (2) 7 個 (3) 8 個 (4) 9 個 (5) 10 個
3. 有兩組供機器運作的配件 A、B，其單獨發生故障的機率分別為 0.1、0.3，故障情形互不
影響；當配件 A 或配件 B 發生故障時，此機器即無法運作。此機器無法運作的機率為下
列哪一個選項？ (1) 0.03 (2) 0.3 (3) 0.4 (4) 0.5 (5) 0.6
4. 右圖為由平面上三段相同半徑、圓心角為
60
的弧線 (
,
,
AB BC CA）
所組成，其中點 A、B 分別為 BC 、 AC 的圓心，點 M 為
AB
的
中點，則在△AMC 中，邊長比值
AM
CM
是下列哪一個選項？
(1)
1
3
(2)
3
4
(3)
1
2
(4)
3
3
(5)
2
2
5. 請問下列哪一個選項中的矩陣乘積等於
5
6
5
6
b
a
d
c
？ (1)
5
6
b
a
d
c
(2)
[
]
5 6
b
d
a
c
(3)
5 6
5 6
a
b
c
d
(4)
0
6
5
0
a
b
c
d
(5)
0
5
6
0
a
b
c
d
6. 假設某飲料杯封口後為圓錐臺的形狀(即上底與下底皆為圓形，下底半徑略小於上底半徑
，且過兩圓心的直線同時垂直上底圓與下底圓)，如圖(一)所示。今將該飲料杯裝八分滿
的水，在封口後側置於平坦的水平桌面上，如圖(二)所示。用手拿著飲料杯上底部分扶正
的過程中如圖(三)所示，水面與飲料杯側面的截痕為某些圓形的一部分，其變化順序為下
列哪一個選項？
(注意：假設飲料杯移動過程中，水面皆與桌面(水平面)平行。不考慮與兩底面的截痕，
只考慮飲料杯側面的截痕)
(1) 拋物線→橢圓→圓 (2) 拋物線→雙曲線→圓 (3) 拋物線→雙曲線→橢圓
(4) 雙曲線→橢圓→圓 (5) 雙曲線→拋物線→橢圓
RB424
2
7. 老師準備 8 顆球，分別是 1 到 8 號球各一顆，甲、乙兩位同學各拿 2 顆相異號碼球排成 2
位數整數(兩人共 4 個號碼皆不同)。若滿足甲的十位數字大於乙的十位數字，且甲的個位
數字也大於乙的個位數字(例如：甲排出 68、乙排出 35，滿足條件；但甲排出 65、乙排
出 38，不滿足條件)。則兩位同學能排出滿足條件的方法數共有多少種？
(1) 35 種 (2) 140 種 (3) 210 種 (4) 420 種 (5) 840 種
二
二
二
二、
、
、
、多選題
多選題
多選題
多選題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
8. 下列選項中的絕對值方程式，哪些恰有兩個相異實數解？
(1)
| | 2
111
x
x
+
=
(2) | | 2
111
x
x
−
=
(3) | |
0
x
x
+ = (4)
| |
111
2
x
x
+
=
(5)
| |
111
2
x
x
−
=
9.
坐標平面上，圓 C 分別與直線
3
4
0
x
y
−
=
以及直線
4
3
0
x
y
−
=
所截的兩個弦長皆為
4
，且
兩弦交於點 P。試選出正確的選項。
(1)
P 點坐標為
(0, 0) (2)
圓心在直線
0
x
y
−
=
上
(3)
兩直線夾角正弦值為
7
25
(4)
圓 C 面積的最大值為
200
49
π
(5)
圓 C 面積的最小值為 4
π
10.
甲、乙兩班討論舉辦班際籃球友誼賽的事項，調查結果兩班同學中有
80%
贊成舉辦，在
確定舉辦比賽後，接著討論是否男女分組比賽，調至更結果有
60%
贊成男女分組比賽
(
調
至結果只有同意與不同意隔個選項，且所有同學皆表達意見，沒有廢票
)
。現在由兩班同
學中隨機抽出一位。請選出正確的選項。
(1)
若此同學贊成舉辦比賽，一定也贊成分組
(2)
此同學贊成舉辦比賽的機率為
0.8 (3)
此同學贊成舉辦比賽，且贊成分組的機率至
多為
0.6 (4)
此同學贊成舉辦比賽，且贊成分組的機率至少為
0.48 (5)
此同學不贊成
舉辦比賽，但是贊成分組比賽的機率至多為
0.2
11.
在球心為 O 的地球儀上，已知 A 點的經緯度為北緯
30
度，東經
10
度；B 點的經緯度為
南緯
20
度，東經
10
度；C 點的經緯度為北緯
30
度，東經
60
度。今在地球儀表面上，
質點 P 沿著經線或緯線移動，下列關於 P 點移動過程之描述，試選出正確的選項。
(1)
若 P 從 A 點沿著東經
10
度經線向南移動至 B 點，則
OP
與通過南北極直線的銳夾角
不變
(2)
若
P
從
A
點沿著北緯
30
度緯線向東移動至
C
點，則
OP
與通過南北極直線的
銳夾角不變
(3)
若
P
從
A
點沿著東經
10
度經線向南移動至
B
點，則
P
、
C
兩點間的距
離不變
(4)
若
P
從
A
點沿著北緯
30
度緯線向東移動至
C
點，則
P
、
B
兩點間的距離不
變
(5)
若
P
從
A
點沿著東經
10
度經線向南移動至
B
點，則
A
、
P
、
B
三點不會在同一
個大圓上
12.
將平面上三次多項式函數
3
( )
9
y
f x
x
x
=
=
−
的圖形向左平移
3
單位再向上平移
4
單位，可
得到新函數
3
( )
(
3)
9(
3) 4
y
g x
x
x
=
=
+
−
+
+ 。若點
( , )
P r s
在函數
( )
y
f x
=
的圖形上，則下列
哪些選項的點在
( )
y
g x
=
的圖形上？
(1) (
,
)
r
s
− −
(2) (
3,
4)
r
s
−
+
(3) (
3,
4)
r
s
+
−
(4) (
3,
4)
r
s
− −
− +
(5) (
3,
4)
r
s
− +
− −
三
三
三
三、
、
、
、選
選
選
選填題
填題
填題
填題(占
占
占
占 25 分
分
分
分)
13.
平面上有一直線
6
L y
mx
=
+
：
，其中斜率
0
m
<
，又直線
L 上的動點
( , )
P a b 在第一象限。若依序以點
(0, 0) 、 ( , 0)
a
、 ( , )
a b 、
(0, )
b 為頂點的矩形其面積的最大值為
36，
則直線 L 的斜率為 。(化為最簡分數)
14.將坐標平面上的函數
1
:
log
y
x
Γ
=
圖形沿著 y 軸向上平移 l 單位得圖形
2
Γ
。且點 ( , )
P a b 在
1
Γ
上，水平線 y b
=
與圖形
2
Γ
交於點 ( , )
Q c b ，鉛垂線 x
a
= 與圖形
2
Γ 交於點 ( ,
1)
R a b
+
。若
13
5
QR
=
，則 a = 。 (化為最簡分數)
3
15.有三顆特製的骰子 A、B、C，其六個面點數如下：
A 骰子：3, 3, 3, 3, 3, 6 B 骰子：2, 2, 2, 5, 5, 5 C 骰子：1, 4, 4, 4, 4, 4
假設投擲這 3 顆骰子每面出現的機率都相等。甲、乙兩人從這 3 顆骰子各選一顆進行遊
戲。已知甲先選擇 A 骰子，按著乙隨機(機率皆為
1
2
)從 B、C 中選擇一顆，兩人丟擲自己
選的骰子一次並比較點數大小。在已知乙丟擲的點數大於甲的點數條件下，乙選到 C 骰
子的條件機率為 。 (化為最簡分數)
16.已知二階方陣
a
b
A
b
a
=
滿足
1
1
1
1
A
=
與
1
3
1
3
A
−
−
=
，則數對(a, b)= 。
17.若三次函數
3
2
( )
2
6
f x
x
x
cx
d
=
+
+
+ 圖形在
1
x
= −
附近的一次近似為
3
5
y
x
= −
− ，
則
(
1)
( )
y
x
f x
=
+ ⋅
在
1
x
= −
附近的一次近似為 。
第貳部分
第貳部分
第貳部分
第貳部分：
：
：
：混合題或
混合題或
混合題或
混合題或非選擇題
非選擇題
非選擇題
非選擇題
(
占
占
占
占
15
分
分
分
分
)
18-20 題為題組
平面上的相異三點 A、B、C 分別位於直線 2
0
x
y
+
= 、 2
0
x
y
−
= 、
0
x
y
+
= 上，且原點
(0, 0)
O
為△ABC 的垂心。已知點 A 的坐標為 ( , 2 )
t
t
−
，其中
0
t
≠
。試回答下列各題：
18. 點 B 坐標為下列哪一個選項？ (單選題，4 分)
(1) ( , 2 )
t
t
(2) ( , 2 )
t
t
− −
(3) ( 2 , 4 )
t
t
−
−
(4) (3 , 6 )
t
t
(5) ( 3 , 6 )
t
t
−
−
19. 在△ABC 中，試問 cosA 的值最接近下列哪一個選項？ (單選題，5 分)
(1)
1
2
−
(2)
1
3
−
(3) 0 (4)
1
3
(5)
1
2
20. 若向量線性組合 OA
AB
AC
β
γ
=
+
，則數對 ( , )
β γ
為何？ (非選擇題，6 分)
4
RB424
臺北區
臺北區
臺北區
臺北區 111 學年度第一學期第
學年度第一學期第
學年度第一學期第
學年度第一學期第二
二
二
二次學測模擬考數學
次學測模擬考數學
次學測模擬考數學
次學測模擬考數學 B(111-B2)
參考答案
參考答案
參考答案
參考答案
選擇題
選擇題
選擇題
選擇題：
：
：
：
1.
(2)
2.
(4)
3.
(3)
4.
(5)
5.
(4)
6.
(1)
7.
(4)
8.
(4)(5)
9.
(1)(3)(5)
10.
(2)(3)(5)
11.
(2)
12.
(2)(4)
選填題
選填題
選填題
選填題：
：
：
：
13.
1
4
−
14.
8
3
15.
5
8
16.
(2, 1)
−
17.
2
2
x
−
−
混合題
混合題
混合題
混合題：
：
：
：
18.
(5)
19.
(2)
20.
1
( ,1)
4