1
臺北區 112 學年度第一學期第一次學測模擬考數學 B(112-B1)
第壹部分：選擇題(占 85 分)
一、單選題(占 30 分)
1. 假設 a 為整數，在數線上滿足
|
1|
x
a
− <
的區間中恰有三個整數，則 a 的值為下列哪一個
選項？(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
2. 某燈具的燈罩設計為直圓錐面，其軸與母線的夾角為 30
°。將此光
源設置在天花板，使得光線照射到地面上，其光線邊緣為一個圓
形。今將學生的畫作立在一面與地面夾角 80
°的展示板上，並將展
示板置於光線的正下方，則展示板上呈現的光線邊緣可能為下列
哪一個選項的一部分？
(1) 圓形 (2) 拋物線 (3) 長短軸不相等的橢圓
(4) 雙曲線 (5)直線
3. 有一架飛機欲從位置是北緯 60 度、東經 30 度的俄羅斯聖彼德堡
飛到位置是北緯 60 度、西經 150 度的美國 阿拉斯加，已知航空公司規劃的行駛路線為
球面上的最短距離，若飛行高度不計，試求飛機總飛行距離最接近下列哪一個選項？(地
球半徑約為 6371 公里)
(1) 6700 公里 (2) 10000 公里 (3) 13300 公里 (4) 14400 公里 (5) 17300 公里
4. 設實係數多項式函數
3
2
( )
2
f x
x
ax
bx c
=
+
+
+
，已知
( )
y
f x
=
的圖形在 x＝0 附近會近似於
一直線 y＝5x＋2，且其圖形的對稱中心為(1,3)，則
( )
f x
在 x＝
−1 附近的一次近似為下列
哪一個選項？(1) y＝
−x (2) y＝−x＋2 (3) y＝13x−24 (4) y＝23x−11 (5) y＝23x＋12
5. 設 A、B、C 為三個相異的二階非零方陣，且滿足 AB＝AC，則矩陣 A 不可能是下列哪一
個選項？(1)
2
6
1
3
(2)
sin 60
cos120
sin 240
cos 300
°
°
°
°
(3)
2
8
1
5
2
2
2
2
−
(4)
2
log 3
log
log 4
log 9
(5)
2
8
3
9
3 log 9
log
log 2
log 8
6. 禪繞畫是一種全新的繪畫方式，主要概念是在設定好的空間內
，運用不斷重複的基本圖形來創作出美麗的圖案。也在這樣不斷
重複的繪製圖形時，人腦可以很容易達到深度的專注，同時舒緩
壓力，所以禪繞畫也被稱作是「頭腦瑜伽」。今天一學生依照著
禪繞畫的原理，將一邊長為 3 的正三角形 A
1
B
1
C
1
，以外心 O 為
旋轉中心，逆時針旋轉 30 度並將邊長縮小為
1
3
倍(即
∠A
1
OA
2
＝30°，
2
2
1
A B
= )，使新的正三角形 A
2
B
2
C
2
能內接於原三角形 A
1
B
1
C
1
內。以此
模式操作，作出正三角形 A
3
B
3
C
3
。則線段 A
1
A
3
的長度為下列哪一個選項？(1)
2
3
(2)
5
3
(3)
6
3
(4)
7
3
(5)
2 2
3
二、多選題(占 30 分)
7. 已知某班級共有 30 位學生，包含 20 位男同學及 10 位女同學
，老師安排座位如右圖，其中第 1、2、3、4 行全部是男同學
，第 5、6 行全部是女同學，灰色區塊是有近視的同學。
試選出正確的選項。(1)若老師隨機派三位出公差，其中至少
要有一名男生和一名女生，則其選法有 5600 種
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2
(2)若老師隨機派兩位出公差，則此兩位同學都有近視的機率為
26
145
(3)若老師隨機派一位出公差，在已知該生是女同學的條件下，則她有近視的機率為
1
2
(4)若老師隨機派一位出公差，在已知該生有近視的條件下，則該生是女同學的機率為
5
13
(5)若老師隨機派一位出公差，設 A 表該生為女同學的事件，G 表該生有近視的事件，則
A、G 兩事件獨立
8. 下列哪些選項是正確的？
(1)兩函數 y＝2 sin x＋1 與
1
sin
2
y
x
=
的週期相同 (2)函數 y＝1＋2 sin 2x 的最大值
為 3，最小值為－1 (3)將函數 y＝sin x 的圖形向左平移
π
單位，會與 y＝sin (x－
π) 的
圖形重合 (4)函數 y＝sin 2x 的圖形對稱於直線
2
x
π
=
(5)函數
sin(
)
2
y
x
π
=
−
的圖形對稱
於點
(
, 0)
2
π
−
9. 觀察下列四組數據，試選出正確的選項。
X：x
1
＝1，x
2
＝2，x
3
＝3，…，x
20
＝20 Y：y
1
＝101，y
2
＝102，y
3
＝103，…，y
20
＝120
Z：z
1
＝110，z
2
＝120，z
3
＝130，…，z
20
＝300
W：w
1
＝219，w
2
＝227，w
3
＝235，…，w
20
＝371
(1) X 的標準差小於 Y 的標準差 (2) Z 的標準差大於 W 的標準差
(3) X 和 Y 的相關係數等於 X 和 Z 的相關係數 (4) Z 的第
3 四分位數等於 W 的第 1 四分位數
(5) 將 4 從 X 中移除後，X 的第 13 百分位數會改變
10. 將一列 7 個小方格中最左邊的黑棋向右移動到最右邊的小方
格，每次移動 1 格或 2 格，共有 m 種移動方法。假如選擇每
一種移動方法的機會均等，且移動次數 n 次的機率為 P
n
，「移動次數」的期望值為 E
次，試選出正確的選項。(1) m＝13 (2)
3
2
13
P
=
(3)
4
5
13
P
=
(4)
4
5
P
P
< (5)
58
13
E
=
11. 坐標平面上一圓
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
+
+
−
− = 及一直線 L：4x－3y＋12＝0。若直線 L 與 x
軸、y 軸所圍成三角形區域(內部含邊界)為 S，試選出正確的選項。
(1)圓 C 的圓心坐標為 (1,－1) (2)圓 C 的面積為 4
π (3)圓 C 與直線 L 所截弦長為 3
(4)與直線 L、x 軸和 y 軸皆相切的所有圓中，半徑最小為 1
(5)區域 S 有 11 個格子點(x，y 坐標皆為整數的點)
12. 利用邊長為 1 公分的正立方體小積木進行模型堆疊，已知此
模型是第一層用一塊積木，第二層用三塊積木所堆疊而成的
立體模型，如右圖，試選出正確的選項。(1)此立體模型的表面積
為 18 平方公分 (2)
AB
長度等於 3 公分
(3)此模型上恰有 2 個頂點到 A 點的距離為 3 公分
3
(4)若將此模型翻轉，將頂點 C、D、E 置於桌面上，則頂點 O 到桌面的距離為
4 3
3
(5)從 A 點沿模型表面走到 B 點的最短距離小於 3.5 公分
三、選填題(占 25 分)
13. 設 x，y 為兩正實數，且滿足
2
3
3
10000
x y
=
及
3
2 log
1
x y
= ，則 log y＝ 。
(化為最簡分數)
14. 已知一數列〈a
n
〉的遞迴關係式為
1
1
2
2
2
n
n
a
a
a
n n
−
=
=
+
≥
，
，則
5
6
7
8
9
10
+
+
+ + +
a
a
a
a
a
a 的值
為 。
15. 某天七堂課(上午四堂，下午三堂)，其中國文、英文、數學、歷史、地理、體育、自主
學習各一節，若體育課不排第一節及數學課必排上午，則此天課表共有 種排
法。
16. 某實係數多項式
( )
f x
，以
(
1)
x x
−
除之，其餘式為
3
ax
+
；以
(
1)
x x
+
除之，其餘式為
3x b
− +
；以
2
1
x
−
除之，其餘式為
2
4
x
− +
。已知另一個實係數多項式
2
( )
g x
ax
bx c
=
+
+ 且
1
x
+
為
( )
g x
的因式，則 c＝ 。
17. 坐標平面上有一方程式為
2
2
2
4
0
x
y
x
+
+
− = 的透明圓形障礙物，有一獵物從坐標 A(−6,0)
往
( 3, 4)
v
= −
的方向直線奔跑，若位於坐標 B(4,0)的獵人用雷射槍避開圓形障礙物於 C 點
射擊到此獵物，則 AC 的最小值為 。
第貳部分：混合題或非選擇題(占 15 分)
18-20 題為題組
如圖(一)之正方形農田是由 16 個小正方形組成，
有一畫家利用單點透視法的概念，將圖(一)之農田
畫入畫布如圖(二)，其中 V 為消失點，A'、B'、C'、
D'、P'、Q'、R'、S'分別對應圖(一)的點 A、B、C、D
、P、Q、R、S。已知線段 A'B'長為 12，V 到線段 C'D'
、線段 A'B'的距離分別為 8、24，直線 OV 為線段 A'B'
的中垂線。根據上述資料，試回答下列問題：
18. 如圖(二)，若以 O 為原點，設點 B'(6,0)，V(0,24)，
則下列哪一個選項為直線 B'D'的方程式？(單選題，4 分)
(1)
6
y
x
= − +
(2)
2
12
y
x
= − +
(3)
4
8
3
y
x
−
=
+
(4)
4
24
5
5
y
x
−
=
+
(5)
8
48
5
5
y
x
−
=
+
19. 承第 18.題，試求出圖(二)中，點 S'的坐標。(非選擇題，4 分)
20. 試求出圖(二)中，鋪色田地 P'Q'R'S'的面積。(非選擇題，7 分)
4
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臺北區 112 學年度第一學期第一次學測模擬考
數學 B(112-B1)
參考答案
選擇題：1. (2) 2. (4) 3. (1) 4. (5) 5. (5) 6. (4) 7. (2)(3)(4) 8. (1)(2)(3)(5) 9. (2)(3)(4)
10. (1)(5) 11. (2)(4)(5) 12. (1)(2)(3)(4)
選填題：13.
3
7
14. 400 15. 2520 16. 4 17. 10
混合題：18.
(2)
19.
6 72
(
,
)
5 5
−
20.
512
25